高中數(shù)學奧賽系列輔導資料數(shù)列奧賽競賽練兵教案

1、數(shù)列奧賽競賽練兵一、選擇題1（2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽）給定正數(shù)p，q，a，b，c，其中pq。若p，a，q是等比數(shù)列，p，b，c，q是等差數(shù)列，則一元二次方程（ ）a無實根 b有兩個相等實根c有兩個同號相異實根 d有兩個異號實根二、填空題2（2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽）等比數(shù)列，的公比是_。三、解答題3（2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽）設，nn。求的最大值。4（第五屆北京高中數(shù)學知識應用競賽）pc505型文曲星具有選定一組或多組英文單詞，根據(jù)科學記憶曲線在十四天內進行初記和強化復習的功能。對于每一組單詞（詞量自定），初記完成后，文曲星提示“立即復習一遍”，然后在第二、第四天、第七天、第九天、第十

2、天、第十四天，“每天復習一遍”該組單詞，其他天無須復習，當你在這十四天內，按時正確地拼寫這組單詞后，文曲星就不再提示對該組單詞的記憶。高中英語第一冊（下）生詞表中，unit17unit20共99個單詞，請你將這99個單詞適當分組，利用文曲星的強化復習功能，制定一個在20天內記憶99個單詞的計劃，把每天需要初記的單詞數(shù)和每天需要初記和復習的單詞總數(shù)填入下表中，使得每天初記和復習的單詞總數(shù)不少于10個，且不多于50個。5（第十一屆美國數(shù)學邀請賽（aime）試題第九題）在一圓周上給定2000個點，取其中一點標記上數(shù)1，從這點開始按順時針方向到第二個點標記上數(shù)2，從標記上2的點開始按順時針方向數(shù)到第三

3、個點標記上數(shù)3（如圖33），繼續(xù)這個過程直到1，2，3，1993都被標記到點上，圓周上這些點中有些會標記上不止一個數(shù)，也有一些點未標記上任何數(shù)，在標上1993的那一點上所有標數(shù)中最小的數(shù)是什么？6（第五屆北京高中數(shù)學知識應用競賽）電子器件廠兼營生產和銷售某種電子器件，流水線啟動后每天生產p500個產品，可銷售q400個產品，未售出的產品存入庫房，每件產品在庫房內每過一夜將支付存儲費用r0.2元。該流水線在開機生產一段時間后將停機銷售，待所有庫存產品銷完再開機生產，流水線啟動的費用是c1000元（與產品數(shù)量無關）。這樣，開機生產停機銷售產品售完構成了一個產銷周期。為管理方便，流水線的生產和停機的

4、時間均以天為單位安排。請你設計一個產銷周期，即開機生產多少天，停機銷售多少天，使得平均每件產品用于流水線啟動和存儲的費用最少？參考答案1a由題意知，2bpc，2cqb，由后二式得，。于是有。因為pq，故，方程的判別式。因此方程無實根。故選a。2設公比為q，由已知條件知，由比例性質，。3解：由已知，對任何nn，有 ，又因，故對任意xn，有。由于，故f（n）的最大值為。4解：制定方案的原則可以是：第一條：為了能在20天內完成99個單詞的復習任務，最后一組初記單詞最晚在第7天輸入；設第i天初記的單詞量為，則有下表第二條：易知，只有第7天和第10天初記和復習單詞的組數(shù)最多，是4組，為了方便，先確定這兩

5、天的記憶總數(shù)。此題答案不惟一，下面是一個解法。因為10每天初記和復習的單詞總數(shù)50，可知，均小于10。在第7天，則，不妨設。于是。在第10天，則。據(jù)已知，得。在第4天，則，在第14天，則，于是，。這樣，（i1，2，3，4，5，6，7）均已確定。經驗證，符合題目要求，產生下表5解：從標上數(shù)1的那點數(shù)起，標記上數(shù)1數(shù)過的點個數(shù)為1，標記上數(shù)2的點數(shù)為12，標記上數(shù)3的點數(shù)為123，。由歸納推理得出，標上數(shù)字n的數(shù)過的點數(shù)符合關系式，由此得到上數(shù)1993數(shù)過的點個數(shù)為：，用2000除1987021余數(shù)為1021，無整數(shù)解，再考慮末四位數(shù)7021，解出得n118。故可知符合條件的最小整數(shù)為118。6解

6、：設流水線開機生產天，停機銷售天，為了除低存儲費用，在產品足夠的情況下，每天銷售q個產品，則生產期間最高庫存量為。由題意，它要在天內全部售完，故有，其中a取值為100，200，300，400。即。這時在生產期間庫存產品的存儲費用為，即。在停機銷售期間庫存產品用于存儲的費用為，將代入，上式變?yōu)?。于是在整個產銷周期內用于啟動流水線和存儲的總費用為。平均每件產品所負擔的流水線啟動和存儲的費用為，其中，。當a100時，；當a200時，；當a300時，；當a400時，?？紤]函數(shù)，它有最小值，且只有一個最小值點，在最小值點的左側，函數(shù)是單調遞減的，在最小值點的右側，函數(shù)是單調遞增的。分別取a100，200，300，400，求得s（x）的最小值點，那么的最小值在的左側或右側的相鄰可取整數(shù)處取得。由以上可得，對于a400，s最小值在或12時取得，經檢驗，時，s取得最小值為0.45，即生產8天，停機銷售2天，費用最少。同理，對于，s最小值在或10時取得，經檢驗，時，s取得最小值為0.452，即生產10天，停機銷售3天，費用最少。當a100，a300時，s關于