全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題05

1、2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題05第一試（時(shí)間：8:00-9:20 滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.函數(shù)的值域是 2.函數(shù)在中的零點(diǎn)個數(shù)為 3.設(shè)是平面上的兩點(diǎn),是關(guān)于的對稱點(diǎn),是關(guān)于的對稱點(diǎn),若,則 4.設(shè)動點(diǎn),其中參數(shù),則線段掃過的平面區(qū)域的面積是 5.從正十二邊形的頂點(diǎn)中取出4個頂點(diǎn),它們兩兩不相鄰的概率是 6.一個球外接于四面體，另一半徑為1的球與平面相切，且兩球內(nèi)切于點(diǎn)，已知,，則四面體的體積為 8. 用表示非空整數(shù)集s中所有元素的和，設(shè)是正整數(shù)集，且，若對每個正整數(shù)，存在a的子集s，使得，則滿足上述要求的的最小值為 二、解答題：本大題共3小題

2、，共56分.9. （本小題滿分16分）已知是正實(shí)數(shù),求證:10. （本小題滿分20分）設(shè)是不同的正實(shí)數(shù).證明：是一個等比數(shù)列的充分必要條件是：對所有整數(shù)，都有11. （本小題滿分20分）已知直線與橢圓c：交于兩點(diǎn)，過橢圓c的右焦點(diǎn)、傾斜角為的直線交弦于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)（1）用表示四邊形的面積；（2）求四邊形的面積取到最大值時(shí)直線的方程2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題05加試（時(shí)間：9:40-12:10 滿分：180）一、（本小題滿分40分）如圖，的外心為，是的中點(diǎn)，直線交于，點(diǎn)分別是的外心與內(nèi)心，若，證明：為直角三角形.二、（本小題滿分40分）對給定的自然數(shù)與，任意一個由個連續(xù)整數(shù)組成的集合都

3、含有兩個不同的數(shù)，它們的乘積能被整除三、（本小題滿分50分）求證：數(shù)列的每一項(xiàng)都是整數(shù)，但都不是3的倍數(shù)四、（本小題滿分50分）圓周上有個點(diǎn)，用弦兩兩連結(jié)起來，其中任何3條弦都不在圓內(nèi)共點(diǎn)，求由此形成的互不重疊的圓內(nèi)區(qū)域的個數(shù)2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題05第一試參考解答一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.函數(shù)的值域是 解：由(1)時(shí),該方程有解(2)時(shí),因?yàn)?所以所以, 且綜合(1)(2) ,故答案為法二：,令,則,故該函數(shù)的值域?yàn)榉ㄈ?1)時(shí),(2)時(shí),因?yàn)樗曰蛩曰蛩?且即且所以, 且綜合(1)(2) ,故答案為法四：求導(dǎo),該函數(shù)在區(qū)間及上單調(diào)遞增,在區(qū)間上

4、單調(diào)遞減,計(jì)算即得答案為2.函數(shù)在中的零點(diǎn)個數(shù)為 解:由于所以,在上的零點(diǎn)個數(shù)即是因?yàn)榈淖钚≌芷跒?故之間函數(shù)的圖象有1007個周期,每個周期有兩個零點(diǎn),考慮到兩個端點(diǎn)為閉區(qū)間,故答案為20153.設(shè)是平面上的兩點(diǎn),是關(guān)于的對稱點(diǎn),是關(guān)于的對稱點(diǎn),若,則 解:設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為由題意:所以,所以,所以,所以, 4.設(shè)動點(diǎn),其中參數(shù),則線段掃過的平面區(qū)域的面積是 解:直線的方程為,時(shí),直線方程為,時(shí),直線方程為,故不妨設(shè),直線方程為,對每個,當(dāng)變化時(shí),所以,線段掃過的平面區(qū)域是函數(shù)及直線圍成的封閉圖形,由積分的幾何意義,故答案為5.從正十二邊形的頂點(diǎn)中取出4個頂點(diǎn),它們兩兩不相鄰的概率是 解:將

5、這十二個點(diǎn)依次標(biāo)為,從十二個點(diǎn)中取4個點(diǎn)的方法數(shù)為,取出的四個點(diǎn)兩兩不相鄰的包含以下兩類,(1)如果不取點(diǎn),則從這11個點(diǎn)中取4個點(diǎn),兩兩不相鄰,則方法數(shù)為(相當(dāng)于把4個點(diǎn)插到7個點(diǎn)中(2)如果取點(diǎn),由于不能取,故從這9個點(diǎn)中取三個點(diǎn),兩兩不相鄰,方法數(shù)為(相當(dāng)于把三個點(diǎn)插到6個點(diǎn)中)故所求概率為6.一個球外接于四面體，另一半徑為1的球與平面相切，且兩球內(nèi)切于點(diǎn)，已知,，則四面體的體積為 8. 用表示非空整數(shù)集s中所有元素的和，設(shè)是正整數(shù)集，且，若對每個正整數(shù)，存在a的子集s，使得，則滿足上述要求的的最小值為 8.解：令若則不存在，使所以 （1）又由題設(shè)得 ，于是由（1）及歸納法易得若，則（否

6、則750無法用表示出），所以又于是，所以另一方面，令當(dāng)時(shí)，可找到，使當(dāng)時(shí)，存在，使當(dāng)時(shí)，存在，使當(dāng)時(shí)，存在，使于是，的最小值為248。二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.已知是正實(shí)數(shù),求證:證明:由于所以,所以,即法二:令所以,法三、不妨設(shè),可將不等式化為,證明過程略10. （本小題滿分20分）設(shè)是不同的正實(shí)數(shù).證明：是一個等比數(shù)列的充分必要條件是：對所有整數(shù)，都有10.必要性：若是一個等比數(shù)列，設(shè)，則.充分性：當(dāng)n2時(shí)，兩邊都等于1.當(dāng)n3時(shí)，有，化簡得，所以，成等比數(shù)列.假設(shè)成等比數(shù)列（），記，則，因?yàn)?，所以，即，從而成等比?shù)列.由數(shù)學(xué)歸納法知，是一個等比數(shù)列.11. （本小題滿分2

7、0分）已知直線與橢圓c：交于兩點(diǎn)，過橢圓c的右焦點(diǎn)、傾斜角為的直線交弦于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)（1）用表示四邊形的面積；（2）求四邊形的面積取到最大值時(shí)直線的方程解 （1）直線的傾斜角為，記，則，而與所成的角為，則四邊形面積5分而，a點(diǎn)坐標(biāo)為，且，從而，其中或10分（2）記，而只可能在時(shí)才可能取到最大值對求導(dǎo)數(shù)得到：令，則有 15分化簡得到 所以 而 無實(shí)根，則經(jīng)檢驗(yàn)，符合故所求直線的方程為： 20分2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題05加試參考答案一、（本小題滿分40分）如圖，的外心為，是的中點(diǎn)，直線交于，點(diǎn)分別是的外心與內(nèi)心，若，證明：為直角三角形.證：由于點(diǎn)皆在的中垂線上，設(shè)直線交于，交于，則是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn); 因是的內(nèi)心，故共線，且.又 是的中垂線，則，而為的內(nèi)、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，又因，則. 作于，則有，且，所以，故得 ，因此，是的中位線，從而 ，而，則.故為直角三角形證二：記，因是的中垂線，則，由條件 延長交于，并記，則，對圓內(nèi)接四邊形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中點(diǎn)，而為外心，所以，故為直角三角形二、（本小題滿分40分）對給定的自然數(shù)與，任意一個由個連續(xù)整數(shù)組成的集合都含有兩個不同的數(shù)，它們的乘積能被整除證明：設(shè)個連續(xù)整數(shù)為，則，由