全等三角形易錯(cuò)點(diǎn)剖析

1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正。判定三角形全等的錯(cuò)解示例一、對(duì)“對(duì)應(yīng)”二字認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)確，應(yīng)用全等判別法有誤例1 abc 和 def 中，a=30°，b=70°,ac=17cm，d=70°，e=80°，de=17cm.那么abc與def全等嗎？為什么？ 錯(cuò)解：abc與def全等.證明如下：在def中， d=70°，e=80°， f=180°de=180°70°80°=30°.在abc中， a=30°，b=70°， a=f，b=d.又 ac=17cm，de

2、=17cm， ac=de .在abc與def中， abcdef.錯(cuò)解分析：ac是b的對(duì)邊，de是f的對(duì)邊，而bf，所以這兩個(gè)三角形不全等.abc與def不全等.因?yàn)橄嗟鹊膬蛇叢皇窍嗟鹊膬山堑膶?duì)邊，不符合全等三角形的判別法.二、判定方法有錯(cuò)誤例2 如圖，acbc，dcec，ac=bc,dc=ec.求證：d=e.錯(cuò)解：在ace與bcd中，acbc ， dcec，acb=ecd=90°.又ac=bc，dc=ec, acebcd，d=e.錯(cuò)解分析：上面的證明中，錯(cuò)誤地應(yīng)用了“邊角邊”. acb與ecd并不是那一對(duì)三角形的內(nèi)角.正解： acbc，dcec, acb=ecd=90°,

3、ace=bcd. ac=bc, ace=bcd,dc=ec, acebcd, d=e.三、錯(cuò)誤套用等式性質(zhì)例3 如圖，已知ac,bd相交于e點(diǎn)，a=b, 1=2.求證：ae=be.錯(cuò)證：在adc和bcd中, a=b,dc=cd, 2=1,adcbcd, adcdec=bcddec, adebce, ae=be.錯(cuò)解分析：在證明三角形全等時(shí)，一定要按判定定理進(jìn)行證明.上面的證明中，將等式性質(zhì)錯(cuò)誤地搬到了三角形全等中.這是完全錯(cuò)誤的.正解：同上，易證adcbcd, ad=bc. 在ade和bce中, ad=bc，a=b，aed=bec,adebce,ae=be.四、脫離題設(shè)，將對(duì)圖形的直觀印象視為

4、條件進(jìn)行證明例4 如圖，在abc中，ad是它的角平分線，bd=cd.de,df分別垂直于ab,ac,垂足為e,f.求證：be=cf.錯(cuò)解1：認(rèn)為de=df，并以此為條件.在rtbde與rtcdf中，de=df,bd=cd，rtbdertcdf（斜邊直角邊），be=cf.錯(cuò)解2：認(rèn)為adbc，并以此為條件.通過證明abdacd（邊角邊），得ab=ac,再由aedafd（角角邊），得ae=af,從而得到be=cf.錯(cuò)解分析：錯(cuò)解1中認(rèn)為de=df，并直接將其作為條件應(yīng)用，因而產(chǎn)生錯(cuò)誤；錯(cuò)解2中，認(rèn)為adbc，沒有經(jīng)過推理加以說明，因而也產(chǎn)生了錯(cuò)誤.產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的原因是審題不清，沒有根據(jù)題設(shè)結(jié)合圖形

5、找到證題依據(jù).正解：在aed和afd中, aedafd（角角邊），de=df.在rtbde與rtcdf中，rtbdertcdf（斜邊直角邊），be=cf.五、誤將“ssa (邊邊角）”當(dāng)成“sas (邊角邊)”來證題例5 如圖，d是abc中bc邊上一點(diǎn)，e是ad上一點(diǎn)，eb=ec，abe=ace.試證明：bae=cae.錯(cuò)解：在aeb和aec中， aebaec，bac=cae.錯(cuò)解分析：上解錯(cuò)在證兩個(gè)三角形全等時(shí)用了“邊邊角”來判定，這是不正確的，因?yàn)橛袃蓷l邊以及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.正解：在bec中，因eb=ec,故ebc=ecb. abe=ace, acb=abc，

6、ab=ac，在rtaeb和rtaec中，aebaec，bac=cae.在學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)對(duì)題中圖形進(jìn)行觀察以及對(duì)已知條件進(jìn)行分析，弄明白證明思路.同時(shí)，對(duì)三角形全等的各種條件要記熟并能區(qū)分.三角形的全等具有傳遞性，比如若有abcdef，defmnp，則一定有abcmnp，這個(gè)性質(zhì)在解題時(shí)有很重要的應(yīng)用.在一些計(jì)算圖形中有幾對(duì)全等三角形的題目時(shí)，利用這個(gè)性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)一些不明顯的全等關(guān)系，幫助發(fā)現(xiàn)那些不是直接有關(guān)聯(lián)的全等三角形.六、把“角角角”當(dāng)成判定三角形全等的條件來使用例6 如圖, cab =dba, c=d, e為ac和bd的交點(diǎn).adb與bca全等嗎? 說明理由.錯(cuò)解: adb bca.因?yàn)閏

7、 = d, cab = dba, 所以dab =cba, 所以adb bca(aaa) .錯(cuò)解分析: 錯(cuò)解把三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等作為這兩個(gè)三角形全等的依據(jù), 顯然是錯(cuò)誤的, “角角角”不是識(shí)別兩個(gè)三角形全等的條件.正解: adb bca.因?yàn)閏ab = dba, c = d, ab = ba( 公共邊) ,所以adb bca(aas) .七、把“邊邊角”當(dāng)成判定三角形全等的條件來使用例7 如圖,已知abc 中, ab = ac, d,e 分別是ab,ac 的中點(diǎn), 且cd = be, adc 與aeb全等嗎? 說明理由.錯(cuò)解: adc aeb.因?yàn)閍b = ac, be = cd, bae = ca

8、d, 所以adc aeb( ssa) .錯(cuò)解分析: 錯(cuò)解把“邊邊角”作為三角形全等的判別方法, 實(shí)際上, “邊邊角”不能作為三角形全等的判別依據(jù), 因?yàn)閮蛇吋耙贿厡?duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.正解: adc aeb.因?yàn)閍b = ac, d,e 為ab,ac 的中點(diǎn), 所以ad = ae.在adc 和aeb 中,因?yàn)閍c = ab, ad = ae, cd = be, 所以adc aeb( sss) .八、局部當(dāng)整體例8 如圖, 已知ab = ac, b = c , bd = ce, 試說明abe 與acd 全等的理由.錯(cuò)解: 在abe 和acd 中,因?yàn)閍b = ac, b = c,

9、bd = ce, 所以abe acd( sas) .錯(cuò)解分析: 錯(cuò)解沒有認(rèn)真地結(jié)合圖形來分析條件, 錯(cuò)把三角形邊上的一部分(bd 是be 的一部分, ce 是cd 的一部分) 當(dāng)成邊來說明, 這不符合“邊角邊”條件.正解: 因?yàn)閎d = ce, 所以bd + de = ce + de,即be = cd.在abe 和acd 中,因?yàn)閍b = ac, b = c, be = cd,所以abe acd( sas) .九、把等量相減用在全等上例9 如圖, 已知ac,bd 相交于點(diǎn)o, a =b, 1 = 2, ad = bc.試說明aod boc.錯(cuò)解: 在adc 和bcd 中,因?yàn)閍 = b, 2

10、= 1, dc = cd,所以adc bcd (aas) , 所以adc - doc bcd-doc, 即aod boc.錯(cuò)解分析: 錯(cuò)解原因是將等式的性質(zhì)盲目地用到了三角形全等中, 實(shí)際上, 三角形全等是兩個(gè)三角形完全重合, 是不能根據(jù)等式上的數(shù)量關(guān)系來說明的.正解: 在aod 和boc 中, a = b, aod = boc, ad =bc, 所以aod boc(aas) . 十“同理可證”實(shí)際不同理例10 已知： ad和ad分別是abc和abc的中線，ab=ab，bc=bc，ad=ad求證：abcabc 錯(cuò)解： 如圖，因?yàn)閎d=bc， bd =bc，bc=bc，所以bd=bd 在abd和

11、abd中， ab=ab，bd=bd，ad=ad，因此abdabd同理可證adcadc故abd+adcabd+adc，即abcabc錯(cuò)解分析： 以上證法有兩個(gè)錯(cuò)誤：用了不同理的同理可證證明abdabd與adcadc的理由是不同的. 要證adcadc，需證adc=adc， 根據(jù)sas來證； 由兩對(duì)全等三角形之和推出abcabc，理由不充分 正解： 由abdabd，有b=b 在abc和abc中， ab=ab，b=b，bc=bc，因此abca b c十一 不顧條件任意引申例11 已知：如圖，ab=ac，bd=ce，ad=ae求證：be=cd 錯(cuò)解： 在abd和ace中，因?yàn)閍b=ac，bd=ce，ad=ae，所以abdace，故1=2