初中數(shù)學(xué)人教版三年級上冊一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1教學(xué)設(shè)計

1、 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（1）教學(xué)目標(biāo)：認(rèn)知目標(biāo)：掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；利用根與系數(shù)的關(guān)系，會由已知一元二次方程的一個根，求另一個根，以及方程中的未知系數(shù)；利用根與系數(shù)的關(guān)系，會求已知一元二次方程兩個根的倒數(shù)和與平方和。能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、歸納的能力和運(yùn)用方程思想、轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力。德育目標(biāo)：滲透由特殊到一般、由具體到抽象的思想方法；培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神。教學(xué)重點(diǎn)：理解和掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決有關(guān)問題。教學(xué)過程：情景導(dǎo)入一、新知發(fā)生：前幾節(jié)課我們已經(jīng)知道，不同的一元二次方程由于系數(shù)

2、不同導(dǎo)致它們的根也不同，也就是說一元二次方程的根是由系數(shù)決定的，那么一元二次方程根與系數(shù)之間究竟還有怎樣的關(guān)系呢？（板書課題）特例探究：課件、投影一元二次方程兩根（x1、x2）兩根之和（x1+x2）兩根之積（x1x2）x2-5x+6=0x2+6x+8=0x2-8x-9=0 問題：你能發(fā)現(xiàn)上述一元二次方程兩個根與系數(shù)之間有什么樣的關(guān)系嗎？（觀察）問題：方程5x2-3x-2=0的根與系數(shù)也有上述關(guān)系嗎？它的根與系數(shù)又有什么樣關(guān)系呢？（觀察）一般猜想：問題：如果方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根為x1、x2，那么它的根與系數(shù)又有什么樣關(guān)系呢？ （猜想）教學(xué)設(shè)想：通過上述問題串，意在培養(yǎng)學(xué)生觀察、

3、猜想、歸納的能力，經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，通過“三猜”，體現(xiàn)由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知過程,教師可根據(jù)課堂內(nèi)容，選擇有關(guān)的問題（無關(guān)或簡單的問題可以由學(xué)生下課解決）和學(xué)生一起探討，對問題逐個解決，這個過程可先由學(xué)生討論解決，對學(xué)生統(tǒng)一存在的問題，教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析解決，難點(diǎn)、重在教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，并給予說明、證明等）大家對此結(jié)論有什么疑問？僅僅通過猜想能說明它的正確性嗎？求證：如果ax2+bx+c=0（a0）的兩個根x1、x2，那么：x1x2，x1·x2= 證明：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根,則教學(xué)設(shè)想：上述證明過程中的依據(jù)（求根公式），由學(xué)生自己去猜想，老師不要

4、急于拋出結(jié)論；上述證明過程由一名學(xué)生在板書，其他學(xué)生在練習(xí)本上推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的論證能力；證明結(jié)束后，要引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言表述這種關(guān)系，以加強(qiáng)記憶，同時培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，引導(dǎo)學(xué)生觀察這種關(guān)系的結(jié)構(gòu)（左邊是兩根的組合式，右邊是完全由系數(shù)決定，具有對稱美、簡潔美,特別強(qiáng)調(diào)和式右邊的負(fù)號）。（回歸課本，確認(rèn)定理，掌握定理）媒體的設(shè)計：教學(xué)設(shè)計的思路遵循學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律，運(yùn)用現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)（以電腦多媒體輔助教學(xué)為基本的教學(xué)手段，創(chuàng)設(shè)生動有趣的數(shù)學(xué)教學(xué)情景，在尊重學(xué)生個性發(fā)展，面向全體學(xué)生基礎(chǔ)上，喚醒學(xué)生的主體意識，從而全方位調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力。在教學(xué)過程

5、中，電腦的軟件融匯了多種傳統(tǒng)電教媒體錄音機(jī)、投影儀、錄像機(jī)及電視機(jī)的功能，精簡了教學(xué)工具的使用，操作簡便，使課堂學(xué)習(xí)氣氛濃厚，學(xué)習(xí)氛圍寬松。通過借助媒體，例題教學(xué)做到由易到難，由感性到理性的過渡，更易于被學(xué)生理解和掌握。同時在知識的反饋上，因為媒體的適時介入，使得反饋與調(diào)整更及時更準(zhǔn)確，從而減輕了老師和學(xué)生的負(fù)擔(dān)，達(dá)到了及時鞏固的效果。深化理解判斷題（1）方程x22x5的兩根之和是2，兩根之積是5 ； （ ）（2）方程6x2 3x20的兩根之和是3，兩根之積是2；（ ）（這兩組練習(xí)的設(shè)置，目的是讓學(xué)生通過比較鑒別，從易錯處進(jìn)一步深化認(rèn)識新知識）教材p32練習(xí)1（口答）下列方程中，兩根之和與兩根

6、之積各是多少？ x2-3x10；3x22x=2 2x23x=0 3x2=1（此組練習(xí)的目的是為了讓學(xué)生更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，其中突出應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系關(guān)鍵是確定a、b、c，因此轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般形式是前提） 二、知識應(yīng)用：（已知一元二次方程一根，求另一根及未知系數(shù)）例1：已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值。方法見課本p30利用根與系數(shù)的關(guān)系方法利用方程根的定義:2是方程5x2+kx-6=0的根，5×22k×2-60，k-7原方程可變?yōu)?x2-7x-6=0x1=,x2=2（注：雖然這種方法沒有用到本節(jié)課知識，也應(yīng)給予肯定）

7、解題回顧：(1歸類:這是一類已知一根求另一根及未知數(shù),關(guān)鍵是利用 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系尋找兩個等量關(guān)系,列出方程. 這里滲透方程的思想，解題中的數(shù)學(xué)思想方法比結(jié)果更重要.(2)思路:幫助學(xué)生分析兩種方法的思維駐足點(diǎn)不一樣,前者是先從所求的問題獲得信息,后者是先從已知條件獲取信息. 教學(xué)設(shè)想：學(xué)生初次接觸此類問題，思維習(xí)慣不太適應(yīng)，因此本題的講解，應(yīng)該由師生共同完成。已知這個一元二次方程的兩個根中，一個根為2，若設(shè)另一個根為x1，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得關(guān)于x1等量關(guān)系2x1=，滲透方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想；方法二實質(zhì)是利用方程根的定義求解，讓學(xué)生體會這種解題思路，能夠開闊學(xué)生思維（反饋與矯正）教

8、材p32練習(xí)2已知方程3x219xm0的一個根是 1，求它的另一個根及m的值。題后點(diǎn)評：例1是已知一根求一次項系數(shù)（兩根之和確定），用x1x2-b/a，練習(xí)2是已知一根求常數(shù)項（兩根之積確定），用x1·x2=c/a，試問如果不告訴你任何根，僅僅告訴你兩根的特殊關(guān)系，如：兩根互為相反數(shù)，兩根互為倒數(shù)呢？等，我們又該如何用根與系數(shù)的關(guān)系呢？例2：利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x23x10兩個根的平方和；倒數(shù)和。(x1x2 )22x1 x2（1）x12 x22 解：設(shè)方程的兩個根為x1 ,x2 ,則x1x2 ， x1 x2 （分析：先求出一元二次方程的兩個根，在計算著兩個根的平方和與

9、倒數(shù)和，這樣計算比較繁瑣；本題要求利用根與系數(shù)的關(guān)系，就是要求不解方程，其計算過程比較簡單；但必須掌握上述變形，體會其中的轉(zhuǎn)化思想。 如果教學(xué)時間允許，本例也可展示其求根解題過程，這樣可使學(xué)生更加明確“根與系數(shù)”的關(guān)系；又可從上述繁雜的計算中感受通過式的變形，可以簡化計算過程的必要性思考題：其實象這類關(guān)系式還有很多，如 (x1-x2 )2都可以采用類似的方法加以轉(zhuǎn)化。（反饋與矯正）教材p32練習(xí)3：已知設(shè)、是方程x2+2x20的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值。(1)(1)(1) (2)/+/（關(guān)鍵是讓學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積的表達(dá)式）（機(jī)動）智力沖浪，思維拓展。設(shè)、是方程x

10、2+2xb0的兩個實數(shù)根，且()2 16 ，求b的值。 教學(xué)設(shè)想：本題要求較高，供生源較好班級使用；整體列出+=-2、=b、()2 16后，實際上這是一個三元一次方程組，如何變換消元，只求出其中一個元b的值的問題。三、課堂小結(jié)：（1）閱讀課本p28-32有關(guān)內(nèi)容。（2）本節(jié)研究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有其特定的含義，即當(dāng)a0, b2-4ac0 時，兩根與系數(shù)之間有確定的等量關(guān)系，即x1x2-b/a，x1·x2=c/a， 它如此之簡潔、對稱，堪稱數(shù)學(xué)上的一支奇葩。（在時間允許的情況下，由學(xué)生完成小結(jié)）四、作業(yè)布置：p33a組第1、2題五、教學(xué)設(shè)想：一元二次方程的求根公式是由系數(shù)表達(dá)

11、的，研究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程的兩根之和，兩根之積與系數(shù)的關(guān)系，它是以一元二次方程的求根公式為基礎(chǔ)學(xué)了這部分內(nèi)容，在處理有關(guān)一元二次方程的問題時，就會多一些思路和方法，同時，也為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)本節(jié)課先通過對具體的一元二次方程的兩根之和、兩根之積與方程系數(shù)關(guān)系的觀察、比較、猜想出一般規(guī)律，再引導(dǎo)學(xué)生去推導(dǎo)論證一般形式一元二次方程ax2bxc=0(a0,0)的兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生感悟認(rèn)識事物的規(guī)律是由特殊到一般，由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、積極思維的精神充分發(fā)揮教師主導(dǎo)、學(xué)生主體的作用，通過學(xué)生自身體驗過程、探究發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生獲得求知的欲望

12、；通過發(fā)現(xiàn)、猜想、證明的過程，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)研究的方法與思想。學(xué)習(xí)例題、習(xí)題中滲透的數(shù)學(xué)思想，以此為載體，充分發(fā)揮其素質(zhì)教育的功能，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和探究能力。本節(jié)課主要通過以下三點(diǎn)進(jìn)行：1、設(shè)計“根與系數(shù)關(guān)系”的教學(xué)，注重探索能力的培養(yǎng)，在循序漸進(jìn)的教學(xué)原則下，通過“特例探究-一般猜證-深化理解”的教學(xué)設(shè)計，當(dāng)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系呈現(xiàn)在課堂教學(xué)中時，學(xué)生會感到是知識的自然流露，同時在課堂的初始階段也激發(fā)了學(xué)生思維探索的樂趣；2、揭示教材中豐富的思想內(nèi)涵，新知發(fā)生過程中的“具體到抽象”的思維方法，由猜想到論證的探究方法，例1的教學(xué)中方程的思想，例2教學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想，都從不同的角度，折射出數(shù)學(xué)思想