樣本量確定公式推導(dǎo)

1、樣本量確定公式的推導(dǎo)（教材123124頁）教材123頁中間的“3、調(diào)查的可靠程度”中的p為統(tǒng)計(jì)學(xué)中的置信度或置信水平，如常用的0.95、0.99，也就是；這一段中的t就是t分布中的t值，類似于正態(tài)分布中的z值。一、平均數(shù)的樣本量公式（一）重復(fù)抽樣： （6.2）推導(dǎo)過程：對于正態(tài)分布，當(dāng)顯著性為時，置信區(qū)間可以寫為： （1）式中：為總體平均數(shù)，為樣本平均數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)量，下面簡寫為z，為樣本平均數(shù)的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差，即標(biāo)準(zhǔn)誤，下面簡寫為se，于是上式簡寫為： （2） （3）式中，為總體標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本大小。因?yàn)榭傮w標(biāo)準(zhǔn)差通常是未知的，因此就用t分布代替標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，（3）式就為： （4）移項(xiàng)

2、，得到： （5）令：，稱為平均數(shù)的抽樣極限誤差（或抽樣最大允許誤差），于是（5）式為： （6）或者， （7）將（6）式兩邊平方，得到： （8）于是得到上述公式（6.2）（二）不重復(fù)抽樣 （6.3）推導(dǎo)過程： （9）式中，n為總體大小將（9）式代入（7）式，得到： （10）將（10）兩邊平方，得到 （11）去分母，得到：移項(xiàng)，得到：于是，得到上述（6.3）式。124頁的例題：其中有些印刷錯誤，下面的是改正后的例題，其中涂黃色的為原來是印刷錯誤的。例如，某市進(jìn)行居民家計(jì)調(diào)查，按照簡單隨機(jī)不重復(fù)抽樣方式。已知n=100 000，=10 000，se=5元，se為抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤，求t=2時所需的樣本量。解

3、：根據(jù)上述公式（7），將有關(guān)已知條件代入（6.3）式，就得到書上結(jié)果，需要抽398戶。當(dāng)t=3時，若極限抽樣誤差不變，仍為10，這就意味著抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤se縮小為3.3元，（以下和書上一致了），即需要抽892戶。可見，在允許誤差和其他條件不變的情況下，置信度由95.45%（t=2）提高到99.73%（t=3），需要增加的樣本量為1.24倍。 書上的95.45%和t=2，以及99.73%和t=3的對應(yīng)關(guān)系是怎么得到的呢？根據(jù)該書后面的第454頁的表3，t分布的臨界值點(diǎn)，是無法得到該對應(yīng)關(guān)系的，因?yàn)檫@是一個單側(cè)檢驗(yàn)表；根據(jù)453頁的表2，正態(tài)分布表，也是無法得到的，因?yàn)樗彩菃蝹?cè)檢驗(yàn)表。這需要從雙側(cè)檢

4、驗(yàn)表才能夠得到，因?yàn)檫@個例題中n很大，此時t分布接近正態(tài)分布，就可以查雙側(cè)檢驗(yàn)的正態(tài)分布表，例如張厚粲、徐建平的現(xiàn)代心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的第390頁的附表1，查該表中的z=2所對應(yīng)的面積p為0.47725，因?yàn)閺膱D中看出，這只是z=2和z=0之間的面積，由于對稱性，在之間的面積為0.47725*2=95.45%；同理，查的表中z=3所對應(yīng)的面積p為0.49865，乘以2以后為99.73%。二、比例的樣本量公式（一）重復(fù)抽樣： （6.4）式中，為抽樣比例，為比例的抽樣極限誤差。推導(dǎo)過程：類似于上述公式（2），得到： （12）式中為總體比例，p為樣本比例，se為標(biāo)準(zhǔn)誤。對于不重復(fù)抽樣，代入（12）式，得到 （13）移項(xiàng)，得到 （14）令 ，于是，上式為等式兩邊平方，得到，即得到（6.4）式。（二）不重復(fù)抽樣： （6.5）推導(dǎo)過程：在不重復(fù)抽樣情況下， （