中考壓軸題(二次函數(shù))之【由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題】精品解析

1、中考壓軸題之【由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題】精品解析中考壓軸題（二次函數(shù)）之【由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題】精品解析【例1】2013年菏澤市中考第21題如圖1， ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點(diǎn)A、C分別是一次函數(shù)的圖像與y軸、x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在二次函數(shù)的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點(diǎn)D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形（1）試求b、c的值，并寫出該二次函數(shù)的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P從A到D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C到A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，問：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，由PQAC？當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形PDCQ的面積最?。看藭r(shí)四邊形PDCQ的面積是多少？圖1 思路點(diǎn)撥1求拋物線的解析式需要代入B、D兩點(diǎn)的坐

2、標(biāo)，點(diǎn)B的坐標(biāo)由點(diǎn)C的坐標(biāo)得到，點(diǎn)D的坐標(biāo)由ADBC可以得到2設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，用含有t的式子把線段AP、CQ、AQ的長表示出來3四邊形PDCQ的面積最小，就是APQ的面積最大滿分解答（1）由，得A(0,3)，C(4,0)由于B、C關(guān)于OA對稱，所以B(4,0)，BC8因?yàn)锳D/BC，ADBC，所以D(8,3)將B(4,0)、D(8,3)分別代入，得解得，c3所以該二次函數(shù)的解析式為（2）設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t如圖2，在APQ中，APt，AQACCQ5t，cosPAQcosACO當(dāng)PQAC時(shí)，所以解得圖2 圖3如圖3，過點(diǎn)Q作QHAD，垂足為H由于SAPQ，SACD，所以S四邊形PD

3、CQSACDSAPQ所以當(dāng)AP時(shí)，四邊形PDCQ的最小值是考點(diǎn)伸展如果把第（2）題改為“當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，APQ是直角三角形？”除了PQAC這種情況，還有QPAD的情況這時(shí)，所以解得（如圖4所示）圖4【例2】 2012年廣東省中考第22題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC、AC（1）求AB和OC的長；（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)E作BC的平行線交AC于點(diǎn)D設(shè)AE的長為m，ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)CE，求CDE面積的最大值；此時(shí)，求出以點(diǎn)E為圓心，與BC相切的

4、圓的面積（結(jié)果保留）圖1思路點(diǎn)撥1ADE與ACB相似，面積比等于對應(yīng)邊的比的平方2CDE與ADE是同高三角形，面積比等于對應(yīng)底邊的比滿分解答（1）由，得A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以AB9，OC9（2）如圖2，因?yàn)镈E/CB，所以ADEACB所以而，AEm，所以 m的取值范圍是0m9圖2 圖3（3）如圖2，因?yàn)镈E/CB，所以因?yàn)镃DE與ADE是同高三角形，所以所以當(dāng)時(shí)，CDE的面積最大，最大值為此時(shí)E是AB的中點(diǎn)，如圖3，作EHCB，垂足為H在RtBOC中，OB6，OC9，所以在RtBEH中，當(dāng)E與BC相切時(shí)，所以考點(diǎn)伸展在本題中，CDE與BEC能否相似？如圖2，雖然CEDBC

5、E，但是BBCAECD，所以CDE與BEC不能相似【例3】 2012年河北省中考第26題如圖1，圖2，在ABC中，AB13，BC14，探究 如圖1，AHBC于點(diǎn)H，則AH_，AC_，ABC的面積SABC_拓展 如圖2，點(diǎn)D在AC上（可與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C作直線BD的垂線，垂足為E、F設(shè)BDx，AEm，CFn（當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，我們認(rèn)為SABD0）（1）用含x，m或n的代數(shù)式表示SABD及SCBD；（2）求(mn)與x的函數(shù)關(guān)系式，并求(mn)的最大值和最小值；（3）對給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D，指出這樣的x的取值范圍發(fā)現(xiàn) 請你確定一條直線，使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線

6、的距離之和最小（不必寫出過程），并寫出這個(gè)最小值圖1 圖2答案 探究 AH12，AC15，SABC84拓展 （1）SABD，SCBD（2）由SABCSABDSCBD，得所以由于AC邊上的高，所以x的取值范圍是x14所以(mn)的最大值為15，最小值為12（3）x的取值范圍是x或13x14發(fā)現(xiàn) A、B、C三點(diǎn)到直線AC的距離之和最小，最小值為【例4】 2011年淮安市中考第28題如圖1，在RtABC中，C90°，AC8，BC6，點(diǎn)P在AB上，AP2點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

7、B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與ABC在線段AB的同側(cè)設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t0)，正方形EFGH與ABC重疊部分的面積為S （1）當(dāng)t1時(shí)，正方形EFGH的邊長是_；當(dāng)t3時(shí)，正方形EFGH的邊長是_；（2）當(dāng)1t2時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？圖1思路點(diǎn)撥1全程運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8秒，最好的建議就是在每秒鐘選擇一個(gè)位置畫8個(gè)圖形，這叫做磨刀不誤砍柴工2這道題目的運(yùn)算太繁瑣了，如果你的思路是對的，就堅(jiān)定地、仔細(xì)地運(yùn)算，否則放棄也是一種好的選擇滿分解答（1）當(dāng)t1時(shí)，EF2；當(dāng)t3時(shí)

8、，EF4（2）如圖1，當(dāng)時(shí)，所以如圖2，當(dāng)時(shí)，于是，所以如圖3，當(dāng)時(shí)，所以圖2 圖3 圖4（3）如圖4，圖5，圖6，圖7，重疊部分的最大面積是圖6所示的六邊形EFNDQN，S的最大值為，此時(shí)圖5 圖6 圖7考點(diǎn)伸展第（2）題中t的臨界時(shí)刻是這樣求的：如圖8，當(dāng)H落在AC上時(shí)，由，得如圖9，當(dāng)G落在AC上時(shí)，由，得圖8 圖9【例5】 2011年山西省中考第26題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形直線l經(jīng)過O、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(11，4)，動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上從O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿ABC的方向

9、向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線OCB相交于點(diǎn)M當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t0），MPQ的面積為S（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為_，直線l的解析式為_；（2）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍（3）試求題（2）中當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大？最大值是多少？圖1思路點(diǎn)撥1用含有t的式子表示線段的長，是解題的關(guān)鍵2第（2）題求S與t的函數(shù)關(guān)系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情況3第（2）題建立在第（2）題的基礎(chǔ)上，應(yīng)用性質(zhì)判斷圖象的最高點(diǎn)，運(yùn)算比較繁瑣滿分解答（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，4)，直線l的解析式為（2）當(dāng)M

10、在OC上，Q在AB上時(shí)，在RtOPM中，OPt，所以在RtAQE中，AQ2t，所以于是因此當(dāng)M在OC上，Q在BC上時(shí)，因?yàn)?，所以因此?dāng)M、Q相遇時(shí)，根據(jù)P、Q的路程和，解得因此當(dāng)M、Q都在BC上，相遇前，PM4，所以圖2 圖3 圖4（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閽佄锞€開口向上，在對稱軸右側(cè)，S隨t的增大而增大，所以當(dāng)時(shí)，S最大，最大值為當(dāng)時(shí)，因?yàn)閽佄锞€開口向下，所以當(dāng)時(shí)，S最大，最大值為當(dāng)時(shí)，因?yàn)镾隨t的增大而減小，所以當(dāng)時(shí)，S最大，最大值為14綜上所述，當(dāng)時(shí)，S最大，最大值為考點(diǎn)伸展第（2）題中，M、Q從相遇到運(yùn)動(dòng)結(jié)束，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的？此時(shí)， 因此圖5【例6】 2011年重慶市中考第26題如

11、圖1，矩形ABCD中，AB6，BC，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB的延長線上，且BP3一動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OA勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后，立即以原速度沿AO返回；另一動(dòng)點(diǎn)F從P點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線PA勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作等邊EFG，使EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t0）（1）當(dāng)?shù)冗匛FG的邊FG恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)等邊EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；（3）設(shè)EG

12、與矩形ABCD的對角線AC的交點(diǎn)為H，是否存在這樣的t，使AOH是等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由 圖1思路點(diǎn)撥1運(yùn)動(dòng)全程6秒鐘，每秒鐘選擇一個(gè)點(diǎn)F畫對應(yīng)的等邊三角形EFG，思路和思想以及分類的標(biāo)準(zhǔn)盡在圖形中2用t表示OE、AE、EF、AH的長，都和點(diǎn)E折返前后相關(guān)，分兩種情況3探求等腰三角形AOH，先按頂點(diǎn)分三種情況，再按點(diǎn)E折返前后分兩種情況4本題運(yùn)算量很大，多用到12，注意對應(yīng)關(guān)系不要錯(cuò)亂滿分解答（1）在RtABC中，所以BAC30°如圖2，當(dāng)?shù)冗匛FG的邊FG恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，在RtBCF中，BFC60°，BC=，所以BF2因此PF321，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1 圖2（2）如圖3，當(dāng)0t1時(shí)，重疊部分為直角梯形BCNE，如圖4，當(dāng)1t3時(shí)，重疊部分為五邊形BQMNE，如圖5，當(dāng)3t4時(shí)，重疊部分為梯形FMNE，如圖6，當(dāng)4t6時(shí)，重疊部分為等邊三角形EFG，圖3 圖4 圖5（3）等腰AOH分三種情況：AOAH，OAOH，HAHO在AOH中，A30°為定值，AO3為定值，AH是變化的AEH的形狀保持不變，A