10空間的距離

1、§3.1.2 空間的距離一、教學(xué)目標(biāo)：能用向量方法進(jìn)行有關(guān)距離的計(jì)算二、重點(diǎn)難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：向量方法求點(diǎn)到面的距離2、教學(xué)難點(diǎn)：向量方法求點(diǎn)到面的距離。三、教學(xué)方法：自主、合作、探究四、教具準(zhǔn)備：多媒體設(shè)備五、教學(xué)過(guò)程：(一)、新課引入1、空間中的距離包括：兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，平行直線間的距離，異面直線直線間的距離，直線與平面的距離，兩個(gè)平行平面間的距離。這些距離的定義各不相同，但都是轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離來(lái)計(jì)算的。2、距離的特征：距離是指相應(yīng)線段的長(zhǎng)度；此線段是所有相關(guān)線段中最短的；除兩點(diǎn)間的距離外，其余總與垂直相聯(lián)系。3、求空間中的距離有直接法，即

2、直接求出垂線段的長(zhǎng)度；轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為線面距或面面距，或轉(zhuǎn)化為某三棱錐的高，由等積法或等面積法求解；向量法求解。 (二)、進(jìn)行新課1、兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)空間兩點(diǎn)，則2、向量法在求異面直線間的距離設(shè)分別以這兩異面直線上任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為，與這兩條異面直線都垂直的向量為，則兩異面直線間的距離是在方向上的正射影向量的模。4、向量法在求點(diǎn)到平面的距離中（1）設(shè)分別以平面外一點(diǎn)p與平面內(nèi)一點(diǎn)m為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為，平面的法向量為，則p到平面的距離d等于在方向上正射影向量的模。（2）先求出平面的方程，然后用點(diǎn)到平面的距離公式：點(diǎn)p（x0,y0,z0）到平面ax+by+cz+d=0的距離d為：d=(

3、三)、例題評(píng)析【例1】直三棱柱abc-a1b1c1的側(cè)棱aa1=，底面abc中，c=90°，ac=bc=1，求點(diǎn)b1到平面a1bc的距離。解1：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得直棱柱各頂點(diǎn)坐標(biāo)如下：a（1,0,0），b（0,1,0），c（0,0,0）a1（1,0,），b1（0,1,），c1（0,0,） =（1,1,）， =（1,0,） =（1,1,0）設(shè)平面a1bc的一個(gè)法向量為，則即所以，點(diǎn)b1到平面a1bc的距離解2 建系設(shè)點(diǎn)同上（略），設(shè)平面a1bc的方程為ax+by+cz+d=0(a,b,c,d不全為零)，把點(diǎn)a1，b，c三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入平面方程得平面a1bc的方程為x+z=

4、0 又 b1（0,1,）設(shè)點(diǎn)b1到平面a1bc的距離為d，則d= = 【例2】如圖，四面體abcd中，o、e分別是bd、bc的中點(diǎn)，（i）求證：平面bcd；（ii）求異面直線ab與cd所成角的大??；（iii）求點(diǎn)e到平面acd的距離。解：（i）略（ii）解：以o為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則異面直線ab與cd所成角的大小為（iii）解：設(shè)平面acd的法向量為則令得是平面acd的一個(gè)法向量，又點(diǎn)e到平面acd的距離【例3】如圖，直二面角d-ab-e中，四邊形abcd是邊長(zhǎng)為2的正方形，aeeb，f為ce上的點(diǎn)，且bf平面ace（）求證：ae平面bce；（）求二面角b-ac-e的大??；（）求點(diǎn)d到平面ace的距離。解（）略（）以線段ab的中點(diǎn)為原點(diǎn)o，oe所在直線為x軸，ab所在直線為y軸，過(guò)o點(diǎn)平行于ad的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，如圖.面bce，be面bce， ，在的中點(diǎn)， 設(shè)平面aec的一個(gè)法向量為，則解得令得是平面aec的一個(gè)法向量.