善用數(shù)形結(jié)合思想有助提高解題技巧

1、善用“數(shù)形結(jié)合”思想 有助提高解題技巧 摘要: “數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對象，“形”與“數(shù)”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，而這兩個(gè)方面是緊密聯(lián)系的體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合能力的提高，有利于從形與數(shù)的結(jié)合上深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，有利于扎實(shí)打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，有利于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，同時(shí)必然促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展?！皵?shù)形結(jié)合、優(yōu)勢互補(bǔ)”的精要，不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種基本的、重要的數(shù)學(xué)思想來學(xué)習(xí)研究和掌握應(yīng)用。本文通過舉例與分析論述數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞: 數(shù) 形 數(shù)形結(jié)合恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”。數(shù)與形是數(shù)

2、學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。 華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系與空間形式和諧地結(jié)合起來。 那么，數(shù)形結(jié)合思想在新課程教學(xué)中又是怎樣體現(xiàn)的呢？一、數(shù)與代數(shù)中的數(shù)形結(jié)合在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)里，我認(rèn)為，應(yīng)該抓住實(shí)數(shù)與樹軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的關(guān)系，有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，借助數(shù)軸處理好相反數(shù)和絕對值的意義，有理數(shù)大小的比較，有理數(shù)的分類，有理數(shù)的加法運(yùn)算，不等式的解集在數(shù)軸上的表示等。教師要賦予這些系統(tǒng)內(nèi)容

3、新的活力，采用符合課標(biāo)理念的教法，在吃透新課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷試驗(yàn)、探索的過程，體驗(yàn)如何用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用的能力，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原動(dòng)力。例1、文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了60米，此時(shí)小明的位置在（ ）a玩具店 b文具店 c文具店西邊40米 d玩具店東邊60米分析：畫出形象直觀的圖形，即可讓學(xué)生輕松解決。例2、二元一次方程組的解的意義：例：，方程組無解。兩條直線2x+y+3=0、4x+2y+1=0的位置關(guān)系如圖：平行。，方程組只

4、有一個(gè)解。兩條直線2x+y+1=0、x+2y=0的位置關(guān)系如圖：相交。，方程組有無數(shù)個(gè)解。兩條直線2x+4y=0、x+2y=0的位置關(guān)系如圖：重合。yxoyxoyxo（1）（2）（3）cb0ax例3、圖形隱含條件：例：在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。解b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a|a-b>0,b-c>0,a+c<0|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)=-a-2b-c。教師先讓學(xué)生思考，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程后提供以上圖形，運(yùn)用圖形的直觀性幫助

5、學(xué)生理解，使學(xué)生從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生了解這兩個(gè)代數(shù)知識的幾何背景，感受數(shù)學(xué)的神奇魅力。在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的結(jié)合，讓學(xué)生建立由數(shù)想到形，由形想倒數(shù)的思想，這樣可以加深學(xué)生對“數(shù)與代數(shù)”的理解和認(rèn)識，如利用圖形理解完全平方公式、平方差公式，利用函數(shù)圖像理解函數(shù)的變化趨勢等都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的極好的方法。二、“空間與圖形”中的數(shù)形結(jié)合新課程中的幾何內(nèi)容做了較大的刪改，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，降低了論證過程形式化的要求和證明的難度。我想，這無疑給了教師充分脫脂的空間。教師要把握好數(shù)學(xué)思想方法在整個(gè)教學(xué)發(fā)展中的地位，對于“數(shù)形結(jié)合”，教師要善于挖掘教

6、材和生活中的素材，從形到數(shù)，揭示“形”中“數(shù)”的本質(zhì)。例4、將如圖的五個(gè)邊長為1的正方形組成的十字形剪拼成一個(gè)正方形【分析】這是一類很常見的問題如果單單從“形”的角度來思考，恐怕除了試驗(yàn)，沒有其它更好的辦法了但是如果我們先不忙考慮怎樣剪裁，而是先從“數(shù)”的角度來算一下，我們不難利用面積算出剪拼出來的正方形邊長應(yīng)該是現(xiàn)在我們只需要在圖中找出來一段邊長為的線段，以此為一邊作一個(gè)正方形（如圖），我們就不難設(shè)計(jì)出各種剪裁方法了【說明】有人把這種方法叫做“面積法”，其實(shí)“面積法”這個(gè)名字并沒有揭示這類方法的所有本質(zhì)“面積”是剪拼問題中的一個(gè)“不變量”，幾乎所有的剪拼問題，都可以先抓住“面積”這個(gè)不變量來

7、進(jìn)行“數(shù)”的計(jì)算另一方面，“面積”本身就是從“數(shù)”的角度來刻畫“圖形”的大小特征的一個(gè)概念因此，所謂“面積法”，實(shí)際上就是“數(shù)形結(jié)合”這種數(shù)學(xué)思想的一種具體體現(xiàn)例5已知的三邊長分別為、和（m、n為正整數(shù)，且）求的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）【分析】代數(shù)運(yùn)算比較過硬的人可能利用平方差公式就可以心算出來：，也就是說，的三邊滿足勾股定理，即是一個(gè)直角三角形解：由三邊的關(guān)系：所以是直角三角形所以的面積【說明】利用勾股定理證明垂直關(guān)系是比較常用的“以數(shù)助形”的手法另外，熟練的代數(shù)運(yùn)算在這道題中起到了比較重要的作用問題之所以能很快解決，關(guān)鍵是我們從問題“變”中看到了“不變”，從“形”的表面找到了“數(shù)”這

8、一實(shí)質(zhì)。一個(gè)似乎是純幾何的問題，在“數(shù)”的引導(dǎo)下獲得了最好的解決方式，這種由表及里，形中有數(shù)的思想方法，正是數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。在教學(xué)中，教師應(yīng)該不失時(shí)機(jī)的讓學(xué)生透過形的外表，觸及其內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，探索由形到數(shù)的聯(lián)系與規(guī)律。三、“統(tǒng)計(jì)與概率”中的數(shù)形結(jié)合新課標(biāo)中的統(tǒng)計(jì)與概率，在內(nèi)部編排和內(nèi)容要求上卻由所加強(qiáng)，真正讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過程，發(fā)現(xiàn)并提出問題，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒?，收集和整理?shù)據(jù)，運(yùn)用合適的統(tǒng)計(jì)表統(tǒng)計(jì)圖來展示數(shù)據(jù)做出決策。概率是新增加的內(nèi)容，其抽象性使它成為教學(xué)的難點(diǎn)，在計(jì)算簡單事件的概率時(shí)，采用畫樹狀圖的方法，樹形結(jié)合，能收到化難為易的效果?？傊?，我認(rèn)為數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形

9、之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”、“數(shù)形轉(zhuǎn)換”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。由于數(shù)形結(jié)合具有形象直觀、易于接受的優(yōu)點(diǎn)，它對于溝通中知識間的聯(lián)系，活躍課堂氣氛，開闊學(xué)生的思路，發(fā)展學(xué)生的潛能，提高學(xué)生的創(chuàng)造思維能力和開拓精神，使學(xué)生充分張揚(yáng)個(gè)性，充分發(fā)揮潛能，真正實(shí)現(xiàn)個(gè)體的最優(yōu)化發(fā)展都有很大幫助。同時(shí)，數(shù)形結(jié)合有利于提高思維的深刻性，因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種基本的、重要的數(shù)學(xué)思想，作為數(shù)學(xué)知識的精髓，作為將知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”來學(xué)習(xí)研究和掌握應(yīng)用。僅僅靠幾節(jié)課專門講數(shù)形結(jié)合法解題的例子,是不能使學(xué)生真正理解和掌握數(shù)形結(jié)合方法的，