用YΔ等效變換巧算復(fù)雜電路的等效電阻

1、用Y/ 等效變換巧算復(fù)雜電路的等效電阻鐘佩文重慶市潼南中學(xué)，重慶 潼南402660摘要：在某些復(fù)雜電路中，幾個電阻既非串聯(lián)，又非并聯(lián)，如果使用常規(guī)方法計 算它們的等效電阻，那么將會是一件十分困難繁瑣的事情。本文采用丫-等效變換與AY等效變換兩種方法，將復(fù)雜電路中的丫形聯(lián)接與形聯(lián)接的電阻進行合 理地互換，高效精確地計算電路的等效電阻，以達到事半功倍的效果。關(guān)鍵詞：Y-等效變換；AY等效變換；丫形聯(lián)接；形聯(lián)接；等效電阻在電路分析中，經(jīng)常會遇到幾個既非串聯(lián)，又非并聯(lián)的電阻組成的復(fù)雜電路。 要計算這個電路的等效電阻，如果單純地采用串、并聯(lián)規(guī)律的傳統(tǒng)方法進行化簡， 那么運算過程將會非常困難繁瑣。本文重點

2、介紹兩種方法一一Y-等效變換與AY 等效變換，旨在找出復(fù)雜電路中丫形聯(lián)接與形聯(lián)接的電阻，將其進行合理地互 換?？墒箍此坪翢o規(guī)律的電阻呈現(xiàn)出簡單的串、 并聯(lián)關(guān)系，在電路串并聯(lián)基礎(chǔ)上 計算等效電阻，讓復(fù)雜深奧的問題迎刃而解。如圖1中a b所示，a圖為Y形聯(lián)接的電阻，b圖為形聯(lián)接的電阻，它 們之間等效變換的條件是：仍然保持電路中其余各個部分的電流和電壓不變，即要求對應(yīng)端（如1,2,3）流入或流出的電流（如Il,l2,l3）一相等，對應(yīng)端之間的電壓（如 Ul2,U23,U 13）相等。圖1 Y形聯(lián)接與形聯(lián)接的電阻當滿足上述等效變換的條件時，在Y形聯(lián)接與形聯(lián)接兩種接法中，對應(yīng)的任意兩端的等效電阻也必然相

3、等，即為:R2R2 R3R23R12R323R2R3R23R2R2R3R13R23R3R3R12R23R3R23聯(lián)立三式，可以解出：將 Y形聯(lián)接等效變換為形聯(lián)接時,Rl2R1R2 R2R3 RR3R3RR2 RRs RRRR13R1R2EER1R3R2將形聯(lián)接等效變換為丫形聯(lián)接時,RiF2R3R12R3R231、Y-等效變換的實際應(yīng)用a*R2R3例題1求解圖2之中a、R圖2電路圖I尺2凡3Rl2R3R23R3尺3Rl2R3R23b兩點之間的等效電阻。-b圖3 a、b兩點之間經(jīng)過Y-等效變換的電路圖I解析：在圖2所示的電路圖I中，5個阻值均為R的電阻既非串聯(lián)，又非并聯(lián), 如果采用串、并聯(lián)規(guī)律的傳

4、統(tǒng)方法進行化簡，那么欲求它們的等效電阻將會變得a、b兩點非常復(fù)雜繁瑣。因此不難另辟蹊徑，圖2中虛線部分的3個電阻是丫形聯(lián)接，使 用Y-等效變換以及等效變換公式，將其轉(zhuǎn)換為圖 3中虛線部分形聯(lián)接的3 個電阻。在圖3所示的電路圖I中，根據(jù)電阻的簡單串、并聯(lián)關(guān)系， 之間的等效電阻為：R 3R 3R R 3RR 3R 3R R3RR 3R3R RR 3R 3R R2、AY等效變換的實際應(yīng)用b兩點之間的等效電阻。a、例題2 求解圖4之中解析：本例題與例題1比較類似，在圖4所示的電路圖U中，5個阻值均為R的電阻既非串聯(lián)，又非并聯(lián)，如果采用串、并聯(lián)規(guī)律的傳統(tǒng)方法進行化簡，那么 欲求它們的等效電阻也將會變得非

5、常復(fù)雜繁瑣。因此不難另辟蹊徑，圖4中虛線部分的3個電阻是形聯(lián)接，使用AY等效變換以及等效變換公式 ，將其轉(zhuǎn) 換為圖5中虛線部分丫形聯(lián)接的3個電阻。在圖5所示的電路圖U中，根據(jù)電阻a、的簡單串、并聯(lián)關(guān)系，a、b兩點之間的等效電阻為：R廠R 廠R RRab R33R r R33例題3在圖6中，Zabc為一個等邊三角形，d、e、f為各邊上的中點，分 別求解ab、be、ac兩點之間的等效電阻。解析：圖6為一個等邊三角形的網(wǎng)絡(luò)電路，各個電阻R之間沒有明顯的串、并聯(lián)關(guān)系，采用常規(guī)方法顯然無法求解 3個端點a b、c之間的等效電阻。觀察上bcr f Rb R/3 R/3 f R/3 R/3 c圖6電路圖川圖

6、7©de、&bf與Aefc經(jīng)過 A-Y等效變換述網(wǎng)絡(luò)電路中電阻聯(lián)接方式的特征，不難發(fā)現(xiàn)等邊三角形Aabc里面含有3個小的等邊三角形Aade、Adbf與Afc,它們都是由3個阻值均為R的形聯(lián)接的電 阻組成。因此可以借助于 A-Y等效變換以及等效變換公式 ，將整個網(wǎng)絡(luò)電路 轉(zhuǎn)換為圖7所示的丫形聯(lián)接電路。在圖7所示的電路圖川中，根據(jù)電阻的簡單串、 并聯(lián)關(guān)系，a、b兩點之間的總電阻為：Rab總R2R4R 10R39同理可得:10RRac總Rbc總9因為等邊三角形占be的三邊具有軸對稱性，所以 阻各占相應(yīng)總電阻的一半，即為：ab、be、ac兩點之間的等效電Rab總25R9由此可見，當求解幾個既非串聯(lián)，又非并聯(lián)的電阻組成的復(fù)雜電路的等效電 阻問題時，需要深入挖掘該電路中電阻聯(lián)接方式的特征，找出丫形聯(lián)接或形聯(lián) 接的電阻。然后采用丫-等效變換或AY等效變換進行合理地互換，整理化簡為 簡單的串、并聯(lián)關(guān)系的電阻，最后運用常規(guī)方法高效精確地計算它們的等效電阻， 讓復(fù)雜深奧的問題迎刃而解。參考文