《數(shù)值分析》實驗指導(dǎo)書

1、數(shù)值分析實實 驗驗 指指 導(dǎo)導(dǎo) 書書徐州師范大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2016 年 3 月前 言數(shù)值分析實驗指導(dǎo)書根據(jù)數(shù)值分析實驗教學(xué)的需要所編寫，主要包括拉格朗日插值法、最小二乘法、數(shù)值積分、非線性方程求解、高斯消元法、常微分方程初值問題數(shù)值解法等六個方面的內(nèi)容。這六個實驗，都給出了實驗?zāi)康摹嶒炓?、實驗原理和實驗?nèi)容。實驗原理主要介紹了算法的公式，并舉例說明該方法的使用，通過這一部分，可以有效的將上課內(nèi)容和實驗內(nèi)容對應(yīng)聯(lián)系起來。實驗內(nèi)容分為算法流程圖、必做題和選做題三種形式。算法流程圖在前兩個實驗給出，然后讓學(xué)生逐步自己畫流程圖，鍛煉了學(xué)生根據(jù)公式分析、書寫流程圖的能力，加深學(xué)生對算法的理

2、解；學(xué)生通過編寫必做題部分的程序、調(diào)試并運行，提高學(xué)生的編程能力；這兩部分的內(nèi)容是要求每一位學(xué)生都必須完成的。選做題是為基礎(chǔ)較好的同學(xué)準(zhǔn)備的，提高學(xué)生的進一步解決問題的能力。目目 錄錄實驗一實驗一 拉格朗日插值法（拉格朗日插值法（2 課時）課時）.1一、實驗?zāi)康?1二、實驗要求.1三、實驗原理.1四、實驗內(nèi)容.2實驗二實驗二 最小二乘法（最小二乘法（4 課時）課時）.5一、實驗?zāi)康?5二、實驗要求.5三、實驗原理.5四、實驗內(nèi)容.6實驗三實驗三 數(shù)值積分（數(shù)值積分（2 課時）課時）.10一、實驗?zāi)康?10二、實驗要求.10三、實驗原理.10四、實驗內(nèi)容.11實驗四實驗四 非線性方程求解（非線性

3、方程求解（2 課時）課時）.15一、實驗?zāi)康?15二、實驗要求.15三、實驗原理.15四、實驗內(nèi)容.16實驗五實驗五 高斯消元法（高斯消元法（4 課時）課時）.19一、實驗?zāi)康?19二、實驗要求.19三、實驗原理.19四、實驗內(nèi)容.21實驗六實驗六 常微分方程初值問題數(shù)值解法（常微分方程初值問題數(shù)值解法（4 課時）課時）.23一、實驗?zāi)康?23二、實驗要求.23三、實驗原理.23四、實驗內(nèi)容.24參考文獻參考文獻.27實驗一實驗一 拉格朗日插值法（拉格朗日插值法（2 課時）課時）一、實驗?zāi)康囊?、實驗?zāi)康?.了解拉格朗日插值法的基本原理和方法。2.掌握拉格朗日插值多項式的用法。二、實驗要求二、實

4、驗要求1.用 C 語言編程實現(xiàn)拉格朗日插值。2.進一步加深對拉格朗日插值法的理解。三、實驗原理三、實驗原理（一）拉格朗日插值公式（一）拉格朗日插值公式經(jīng)過個點，構(gòu)造一個 n 次多項式，形如：) 1( n),( ,),(),(1100nnyxyxyxnkkknxlyxp0)()(使得 成立。kknyxp)(),2 , 1 , 0(nk其中kknkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl10)()()()()()()(110110為插值基函數(shù)。（二）例子（二）例子已知滿足作的二次拉格朗日插值多)(xf15)225(,13)169(,12)144(fff)(xf項式，并求的近似

5、值。)175(f解：設(shè)，則的二次拉格朗15,13,12225,169,144210210yyyxxx，)(xf日插值基函數(shù)為：4536)169)(144()()()(1400)225)(144()()()(2025)225)(169()()()(1202102 2101201 2010210 xxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxl因此的二次拉格朗日插值多項式為；)(xf)()()()(2211002xlyxlyxlyxL且。73158230.13)175(15)175(13)175(12)175()175( 210 2lllLf四、實驗內(nèi)容四、實驗內(nèi)容（一）算

6、法流程圖（一）算法流程圖如果程序的數(shù)據(jù)輸入項（函數(shù)參數(shù)）為：插值節(jié)點及函數(shù)值，及待求點 x 的值；輸出為待求點 x 對應(yīng)的函數(shù)值，則程序流程圖如圖 1-1。輸入 xi,yi,及 n,x,k=0y = 0P =1j=0,1nk=j?P = P*(x-xj)/(xk-xj)y = y+P*ykk=k+1輸出x,ykn圖 1-1 拉格朗日插值法算法流程圖（二）編程作業(yè)（二）編程作業(yè)編寫拉格朗日插值法通用子程序，并用以下函數(shù)表來上機求,。)15. 0(f)31. 0(fx0.00.10.1950.30.4010.5f (x)0.398940.396950.391420.381380.368120.35

7、206代碼如下： / * C 語言源代碼 */#include main() static float Lx10,Ly10;int n,i,j;float x,y,p;printf(enter n=);scanf(%d,&n); / printf(enter xin); for(i=1;i=n;i+) scanf(%f,&Lxi);printf(enter yin); for(i=1;i=n;i+) scanf(%f,&Lyi);printf(enter x=);scanf(%f,&x); for( ) ; for( ) if(i!=j) ; / ； print

8、f(y=%fn,y);請完成這個程序，并在兩處注釋處寫上正確的注釋。在執(zhí)行程序時，如果求的值，那么屏幕上應(yīng)出現(xiàn)如下內(nèi)容：)15. 0(fenter n=6enter xi00.10.1950.30.4010.5enter yi0.398940.396950.391420.381380.368120.35206enter x=0.15y=0.394473（三）選做題（三）選做題參考教材牛頓插值公式，編程實現(xiàn)用牛頓插值公式求上述條件下對應(yīng)節(jié)點的函數(shù)值。實驗二實驗二 最小二乘法（最小二乘法（4 課時）課時）一、實驗?zāi)康囊?、實驗?zāi)康?.了解最小二乘擬合的基本原理和方法，注意與插值方法的區(qū)別。2.掌握最

9、小二乘法。二、實驗要求二、實驗要求1.掌握用 C 語言作最小二乘多項式擬合的方法。2.進一步加深對最小二乘法的理解。三、實驗原理三、實驗原理（一）最小二乘多項式擬合（一）最小二乘多項式擬合已知數(shù)據(jù)對，求多項式), 2 , 1)(,njyxjj)()(0nmxaxPmiii使得為最小，這就是一個最小二乘問題。 njmijijinyxaaaa12010),(（二）法方程組為（二）法方程組為 . a.aa . 111n10121111112111miinimiiimiiminiminiminiminimiimiiminimiiyxyxyxxxxxxxxm（三）最小二乘法計算步驟（三）最小二乘法計算步

10、驟用線性函數(shù)為例，擬合給定數(shù)據(jù)。bxaxP)(), 2 , 1)(,miyxii算法描述：步驟 1：輸入值，及。m), 2 , 1)(,miyxii步驟 2：建立法方程組。AYAXAT步驟 3：解法方程組。步驟 4：輸出。bxaxP)(四、實驗內(nèi)容四、實驗內(nèi)容（一）算法流程圖（一）算法流程圖1.算法整體流程圖（如圖 2-1）輸入xi,yi(i=1,2,m)及m,n生成中間矩陣C生成法方程組的系數(shù)矩陣A=CTC生成法方程組的右端向量b=CTY解法方程中得ai(i=0,1,n)輸出ai(i=0,1,n)圖 2-1 最小二乘法算法整體流程圖2.“生成中間矩陣 C”算法流程圖（如圖 2-2）i=1,2

11、,mCi11j=2,3,n+1Cijxi*Cij-1圖 2-2 最小二乘法中“生成中間矩陣 C”算法流程圖3.中間矩陣 C 的重要作用miinimiiimiiimiiminiminiminiminiminimiimiimiiminimiimiinnnmnmnnyxyxyxyYxxxxxxxxxxxmAxxxxxxxxxYxxxxxxxxxmmm11211T121211111131211121T22222Tm212222Cb,.CC,.1.11Cyyy ,.1.1.1C1221122111則（二）編程作業(yè)（二）編程作業(yè)測得銅導(dǎo)線在溫度()時的電阻如下表，求電阻 R 與溫度 T 的近似函數(shù)關(guān)Ti)

12、(Ri系。i0123456()Ti19.125.030.136.040.045.150.0)(Ri76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10【提示提示】在進行程序?qū)崿F(xiàn)時，務(wù)必注意中間矩陣的作用，以及非奇次線性方程組求解問題！為了實驗的順利完成，此處給出解非奇次線性方程組的高斯消元法的函數(shù)。請認(rèn)真閱讀并理解。float gs(float a2020,float b20,int n )int i,j,k,l; float s; k=1; while(k!=n+1) if(akk!=0) for(i=k+1;i=n+1;i+) aik=aik/akk; bi=bi-aik

13、*bk; for(j=k+1;j=1;k-) s=0; for(l=k+1;l=n+1;l+) s=s+akl*bl; bk=(bk-s)/akk; return 0;實驗主程序如下（請加上必要的注釋） 。實驗三實驗三 數(shù)值積分（數(shù)值積分（2 課時）課時）一、實驗?zāi)康囊弧嶒災(zāi)康?.了解數(shù)值積分的基本原理和方法。2.掌握復(fù)合梯形公式。3.了解求積公式外推思想、Romberg 公式及 Romberg 積分法。二、實驗要求二、實驗要求1.編寫定步長復(fù)合梯形公式。2.編寫變步長復(fù)合梯形公式。3.進一步加深對數(shù)值積分的理解。三、實驗原理三、實驗原理定步長復(fù)合梯形公式定步長復(fù)合梯形公式1.公式將積分區(qū)間

14、等分，分點為，其中稱為積分nba,niihaxi, 1 , 0，nabh步長。)()(2)(2)(11bfxfafhTdxxfnkknba2.例子用復(fù)合梯形公式求積分的近似值。 （取 8 位小數(shù)，精確解為dxx10214）14159265. 3138988. 3)1 ()87()43()85()21()83()41()81( 2)0(1618fffffffffT四、實驗內(nèi)容四、實驗內(nèi)容（一）算法流程圖（一）算法流程圖定步長復(fù)合梯形算法流程圖（二）編程作業(yè)（二）編程作業(yè)求 的近似值。10214x編寫定步長復(fù)合梯形程序求解上式；【提示】請根據(jù)前面的算法流程圖進行編寫程序。定步長復(fù)合梯形程序求解 y

15、 x第第1章章 O x* x1 x0實驗四實驗四 非線性方程求解（非線性方程求解（2 課時）課時）一、實驗?zāi)康囊?、實驗?zāi)康?.了解求解非線性方程的解的常見方法。2.編寫牛頓迭代法程序求解非線性方程。二、實驗要求二、實驗要求1.設(shè)計牛頓迭代法算法，編寫程序上機調(diào)試。2.進一步加深對迭代法的理解。三、實驗原理三、實驗原理（一）牛頓迭代法（一）牛頓迭代法又稱為牛頓-雷夫生方法（Newton-Raphson method） ，是一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上通過迭代計算求出非線性方程的數(shù)值解方法。方法的基本思路是利用一個根的猜測值x0做初始近似值，使用函數(shù) f(x)在 x0處的泰勒級數(shù)展式的前兩項做為函數(shù) f

16、(x)的近似表達式。由于該表達式是一個線性函數(shù)，通過線性表達式替代方程 f(x)= 0 中的 f(x)求得近似解 x1。即將方程 f(x)= 0 在 x0處局部線性化計算出近似解 x1，重復(fù)這一過程，將方程 f(x)= 0 在 x1處局部線性化計算出 x2，求得近似解 x2，。詳細敘述如下：假設(shè)方程的解x*在 x0附近（x0是方程解 x*的近似） ，函數(shù) f(x)在點 x0處的局部線化表達式為)()()()(000 xfxxxfxf由此得一次方程0)()()(000 xfxxxf求解，得)()(0001xfxfxx如圖 5-1 所示，x1比 x0更接近于 x*。該方法的幾何意義是：用曲線上某點

17、（x0，y0）的切線代替曲線，以該切線與 x 軸的交點（x1，0）作為曲線與 x 軸的交點（x*，0）的近似（所以牛頓迭代法又稱為切線法） 。設(shè) xn是方程解 x*的近似，迭代格式 ( n = 0，1，2，)()(1nnnnxfxfxx就是著名的牛頓迭代公式，通過迭代計算實現(xiàn)逐次逼近方程的解。牛頓迭代法的圖 5-1 牛頓迭代法示意圖最大優(yōu)點是收斂速度快，具有二階收斂。以著名的平方根算法為例，說明二階收斂速度的意義。（二）例子（二）例子已知，求等價于求方程 f(x) = x2 2 = 0 的解。由于。應(yīng)用牛4 . 12 2xxf2)(頓迭代法，得迭代計算格式， （n = 0，1，2，）)/2(2

18、11nnnxxx取 x0= 1.4 為初值，迭代計算 3 次的數(shù)據(jù)列表如表 5-1：表 5-1 牛頓迭代法數(shù)值實驗迭代次數(shù)近似值15 位有效數(shù)誤差01.41.41421356237310-1.42e-00211.414285714285711.414213562373107.21e-00521.414213564213561.414213562373101.84e-00931.414213562373091.41421356237310-2.22e-016四、實驗內(nèi)容四、實驗內(nèi)容（一）算法流程圖（一）算法流程圖牛頓迭代法算法流程圖（二）編程作業(yè)（二）編程作業(yè)編寫 Newton 迭代法通用子程序

19、。實現(xiàn)方程 f(x)=x6-x-1=0 的滿足精度要求的解。要求求解過程中用一個變量 I 控制三種狀態(tài)，其中：i=0 表示求解滿足給定精度的近似解；i=1 表示 f(x0)=0，計算中斷；i=2 表示迭代 n 次后精度要求仍不滿足。（說明：用教材 P139 例 8）實驗五實驗五 高斯消元法（高斯消元法（4 課時）課時）一、實驗?zāi)康囊弧嶒災(zāi)康?.掌握高斯選主元消去法公式的用法，適用范圍及精確度。2.通過高斯選主元消去法求矩陣方程的解，驗證高斯消去法。二、實驗要求二、實驗要求1.寫出高斯選主元消去法解線性方程組算法，編寫程序上機調(diào)試出結(jié)果。2.進一步加深對高斯消去法的理解。三、實驗原理三、實驗原

20、理（一）高斯消元法（一）高斯消元法Gauss 消去法就是將方程組nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111通過(n-1)步消元，將上述方程組轉(zhuǎn)化為上三角方程組再回代求此方程組的解。（二）例子（二）例子采用 4 位十進制浮點計算，分別用順序 Gauss 消去法和列主元 Gauss 消去法求解線性方程組：9812 . 4120032001 .1291. 58334. 06781. 0167. 001. 0012. 0321321321xxxxxxxxx方程組具有四位有效數(shù)字的精確解為 x1*=17.46，x2*=-45.76，x3*=5

21、.546解（1）用順序 Gauss 消去法求解，消元過程為553231065171011750041.44010. 8101000. 006781. 01670. 00100. 00120. 01017981044531467041.44010. 8101000. 006781. 01670. 00100. 00120. 00 .981200. 41200320010.12910. 58334. 0000. 16781. 0167. 00100. 00120. 0回代得： x3=5.546，x2=100.0，x1=-104.0 四、實驗內(nèi)容四、實驗內(nèi)容（一）算法流程圖（一）算法流程圖高斯消去法算法流程圖實驗六實驗六 常微分方程初值問題數(shù)值解法（常微分方程初值問題數(shù)值解法（4 課時）課時）一、實驗?zāi)康囊?、實驗?zāi)康?.掌握 Euler 法和改進的 Euler 法公式的用法。2.進一步加深對微分方程數(shù)值解的理解。二、實驗要求二、實驗要求1.編寫歐拉法程序。2.編寫改進的歐拉法程序，學(xué)會用改進的歐拉公式來求解常微分方程初值問題。三、實驗原理三、實驗原理（一）常微分方程初值問題（一）常微分方程初值問題 (式 1)的數(shù)值解法，這也是科學(xué)與工程計算經(jīng)常遇到的問題。（二）歐拉法（二）歐拉法求