概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第十一講

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第十一講第十一講主講教師：郭念國(guó)主講教師：郭念國(guó)河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 前面討論了隨機(jī)變量及其分布。前面討論了隨機(jī)變量及其分布。 如果我如果我們知道了隨機(jī)變量們知道了隨機(jī)變量 X 的概率分布，那么，關(guān)的概率分布，那么，關(guān)于于 X 的全部概率特征也就知道了。的全部概率特征也就知道了。 然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布是較難然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布是較難確定的。且有時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，我們并不需確定的。且有時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，我們并不需要知道隨機(jī)變量的所有性質(zhì)，只要知道其一要知道隨機(jī)變量的所有性質(zhì)，只要知道其一些數(shù)字特征就夠了。些數(shù)字特征就夠了。 因此，在對(duì)

2、隨機(jī)變量的研究中，確定隨因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征是非常重要的。機(jī)變量的某些數(shù)字特征是非常重要的。最常用的數(shù)字特征是：最常用的數(shù)字特征是：期望和方差。期望和方差。4.1.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 概念引入：概念引入： 某車間對(duì)工人生產(chǎn)情況進(jìn)行考察，車工某車間對(duì)工人生產(chǎn)情況進(jìn)行考察，車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X 是一個(gè)隨機(jī)變量。是一個(gè)隨機(jī)變量。如何定義如何定義 X 的平均值？的平均值？4.1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望第四章第四章 數(shù)字特征數(shù)字特征若統(tǒng)計(jì)了若統(tǒng)計(jì)了100天小張生產(chǎn)產(chǎn)品的情況，發(fā)現(xiàn)：天小張生產(chǎn)產(chǎn)品的情況，發(fā)現(xiàn)： .2

3、7. 1100213100172100301100320可以得到這可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為天中每天的平均廢品數(shù)為32天沒(méi)有出廢品；天沒(méi)有出廢品；30天每天出一件廢品；天每天出一件廢品；17天每天出兩件廢品；天每天出兩件廢品；21天每天出三件廢品。天每天出三件廢品。可以想象：可以想象：若另外再統(tǒng)計(jì)若另外再統(tǒng)計(jì)100天，其中不出廢天，其中不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的的100天一般不會(huì)完全相同，即另外天一般不會(huì)完全相同，即另外100天每天每天的平均廢品數(shù)也不一定就是天的平均廢品數(shù)也不一定就是1.27。n0天沒(méi)有出廢品天沒(méi)有出廢品;

4、n1天每天出一件廢品天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品天每天出三件廢品.nnnnnnnn32103210可以得到這可以得到這n天中，每天的平均廢品數(shù)為天中，每天的平均廢品數(shù)為(假定每天至多出三件廢品假定每天至多出三件廢品) 一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō), 若統(tǒng)計(jì)了若統(tǒng)計(jì)了n天天,這是以頻率為這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均權(quán)的加權(quán)平均nnnnnnnn32103210由頻率與概率的關(guān)系，由頻率與概率的關(guān)系， 不難想到：不難想到：求廢品數(shù)求廢品數(shù)X的平的平均值時(shí)，用概率替代頻率，均值時(shí)，用概率替代頻率，得平均值為：得平均值為：32103210pppp這是以概率為這是以概率為權(quán)

5、的加權(quán)平均權(quán)的加權(quán)平均這樣，就得到一個(gè)確定的數(shù)這樣，就得到一個(gè)確定的數(shù) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的期望的期望(均值均值) 。 定義定義1: 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量, 概率分布為概率分布為 PX=xk=pk , k=1,2, 。 也就是說(shuō)：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望也就是說(shuō)：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)和。是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)和。1)(kkkpxXE1|kkkpx如果如果 有限有限, 則稱則稱為為X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望(或均值或均值)。 在在 X 取可列無(wú)窮個(gè)值時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂取可列無(wú)窮個(gè)值時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂可以保證可以保證“級(jí)數(shù)之值不因級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改級(jí)數(shù)之值不因級(jí)數(shù)各

6、項(xiàng)次序的改排而發(fā)生變化排而發(fā)生變化”，這樣，這樣E( (X) )與與X取值的人為取值的人為排列次序無(wú)關(guān)。排列次序無(wú)關(guān)。例例1： 有有4只盒子，編號(hào)為只盒子，編號(hào)為1, 2, 3, 4?，F(xiàn)有?，F(xiàn)有3個(gè)個(gè)球，將球逐個(gè)獨(dú)立地隨機(jī)放入球，將球逐個(gè)獨(dú)立地隨機(jī)放入4只盒子中去。只盒子中去。用用X 表示其中至少有一個(gè)球的盒子的最小號(hào)表示其中至少有一個(gè)球的盒子的最小號(hào)碼，碼，E(X)。解：解：首先求首先求X 的概率分布。的概率分布。X 所有可能取的所有可能取的值是值是1, 2, 3, 4。X=i 表示表示i號(hào)盒中至少有一號(hào)盒中至少有一個(gè)球，個(gè)球，i=1, 2, 3, 4。 為求為求 PX=1，考慮，考慮 X=

7、1 的對(duì)立事件：的對(duì)立事件：1號(hào)盒中沒(méi)有球號(hào)盒中沒(méi)有球，其概率為，其概率為 (3/4)3，因此，因此； 434431133333XPX=2 表示表示 1號(hào)盒中沒(méi)有球，而號(hào)盒中沒(méi)有球，而2號(hào)盒中至少號(hào)盒中至少有一個(gè)球有一個(gè)球，類似地得到：，類似地得到：； 4232333XP. 414 ,412333333XPXP于是，于是，. 1625 4144123 42324341)(33333333333XE 1.1.兩點(diǎn)分布：兩點(diǎn)分布：X B(1, p), 0 p 1，則，則 E(X)= 1 p + 0 (1- -p) = p . 常用常用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 2. 2.二項(xiàng)

8、分布：二項(xiàng)分布：X B(n, p)，其中，其中 0 p 0 ，則，則 E(X)= .!)( ,2, 1 ,0,! 10kkkkkekkekkXEkekkXP，所以因.1!1)!1()!1(01111mmkkkkemkmekek4.1.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù) f(x) 在在數(shù)軸上取很密的點(diǎn)數(shù)軸上取很密的點(diǎn) x0 x1 x2, 則則X 落在小落在小區(qū)間區(qū)間 xi , xi+1) 的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(在小區(qū)間在小區(qū)間xi, xi+1)上上陰影面積陰影面積iixxf)()(1iii

9、xxxf小區(qū)間小區(qū)間Xi, Xi+1)由于由于xi與與xi+1很接近很接近, 所以區(qū)間所以區(qū)間xi, xi+1)中的值中的值可用可用 xi 來(lái)近似地替代。來(lái)近似地替代。iiiixxfx)(這正是這正是dxxfx)(的漸近和式。的漸近和式。陰影面積陰影面積iixxf)(近似近似,iixxf )(因此因此, X與以概率與以概率 取值取值 xi 的離散型的離散型r.v 該離散型該離散型r.v 的的數(shù)學(xué)期望是數(shù)學(xué)期望是從該啟示出發(fā)，我們給出如下定義。從該啟示出發(fā)，我們給出如下定義。定義定義2：設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為 f (x), 如果如果 有限，則稱有限，則稱

10、dxxfx)(|為為X的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。dxxfxXE)()( 也就是說(shuō)：也就是說(shuō)：連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分值是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分值.例例3：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為的概率密度為， 21)(|xexfx求求 E(X) 。解：解：. 0 d 21 d 21 d 21)( 0 0 |xxexxexxeXExxx 若若X Ua, b, 即即X服從服從a, b上的均勻分布上的均勻分布, 則則.)(XE若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，則的指數(shù)分布，則由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計(jì)算出：由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計(jì)算出：； 2)

11、(baXE； /1)(XE若若X 服從服從 ，則，則),(2N 這意味著：若從該地區(qū)抽查很多成年男這意味著：若從該地區(qū)抽查很多成年男子，分別測(cè)量他們的身高。則這些身高的平子，分別測(cè)量他們的身高。則這些身高的平均值近似地為均值近似地為1.68。.68. 1)(XE 已知某地區(qū)成年男子身高已知某地區(qū)成年男子身高X), ,68. 1 (2N例例4：設(shè)某型號(hào)電子管的壽命設(shè)某型號(hào)電子管的壽命X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布,平均壽命為平均壽命為1000小時(shí)小時(shí), 計(jì)算計(jì)算 P1000X1200。解：解：由由 E(X) = 1/ = 1000，知，知 = 0.001，X的概率密度為的概率密度為.067. 0 d

12、 001. 012001000( 2112001000001. 0eexeXPx. 0, 0, 0,001. 0)(001. 0 xxexfx4.1.3 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望I. 問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知，需要計(jì)算的量的分布已知，需要計(jì)算的量并非并非X的期望，而是的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)是如說(shuō)是 g(X) 的期望。那么，如何計(jì)算呢？的期望。那么，如何計(jì)算呢？ 一種方法是：由于一種方法是：由于g(X) 也是隨機(jī)變量，也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，其分布可以由故應(yīng)有概率分布，其分布可以由X的分布求的分布求出

13、。一旦知道了出。一旦知道了g(X) 的分布的分布, 就可以按照期就可以按照期望的定義把望的定義把 Eg(X) 計(jì)算出來(lái)。計(jì)算出來(lái)。 但使用該方法但使用該方法 必須先求出必須先求出g(X)的分布。的分布。一般說(shuō)來(lái)，這是比較復(fù)雜的事。一般說(shuō)來(lái)，這是比較復(fù)雜的事。 那么那么, 可否不求可否不求g(X)的分布，而只根據(jù)的分布，而只根據(jù)X的分布來(lái)計(jì)算的分布來(lái)計(jì)算 Eg(X) 呢？呢？ 答案是肯定的。答案是肯定的。且有如下公式：且有如下公式： 設(shè)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)隨機(jī)變量，Y=g(X)，則，則 . ,)()(, ,)( )()(1連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk 當(dāng)當(dāng)X為離散型時(shí)

14、為離散型時(shí), P(X= xk)=pk ; 當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí)為連續(xù)型時(shí), X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f(x)。 該公式的重要性在于：當(dāng)我們求該公式的重要性在于：當(dāng)我們求 Eg(X)時(shí)時(shí), 不必求不必求g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布的分布足矣。這對(duì)求足矣。這對(duì)求 g(X) 的期望帶來(lái)了極大方便。的期望帶來(lái)了極大方便。例例5： 設(shè) X N(0 , 1)，求，求 E(X2)。解：解：222222 d 21 d 21)(xxexxexXE. 1102121 2222dxexexx例例 6：設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上對(duì)我國(guó)某種出口商品每年設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上對(duì)我國(guó)某種出口商品每年的需求量是隨機(jī)變量的需

15、求量是隨機(jī)變量X(單位單位: 噸噸)。X服從區(qū)間服從區(qū)間2000, 4000 上的均勻分布。每銷售出一噸商上的均勻分布。每銷售出一噸商品品,可為國(guó)家賺取外匯可為國(guó)家賺取外匯3萬(wàn)元；若銷售不出萬(wàn)元；若銷售不出, 則則每噸商品需貯存費(fèi)每噸商品需貯存費(fèi)1萬(wàn)元。求：應(yīng)組織多少貨萬(wàn)元。求：應(yīng)組織多少貨源，才能使國(guó)家收益最大源，才能使國(guó)家收益最大?解：解：設(shè)組織貨源設(shè)組織貨源 t 噸。顯然，應(yīng)要求噸。顯然，應(yīng)要求20002000t t 40004000。國(guó)家收益。國(guó)家收益Y( (單位單位: :萬(wàn)元萬(wàn)元) )是是X 的函數(shù)的函數(shù)Y=g(=g(X) )。表達(dá)式為。表達(dá)式為.),(3,3)(tXXtXtXtXg

16、由已知條件由已知條件, , 知知X X的概率密度函為的概率密度函為.4000 2000 0 4000 2000 20001)(，xxxf40002000dx)x(g20001dx)x(f )x(g)X(gE)108t14000t2(20001tdx3dx) tx4(20001624000tt2000可算得可算得當(dāng)當(dāng) t = = 35003500 時(shí)，時(shí)， E( E(Y)=-2t)=-2t2 2 + 14000t-8000000 + 14000t-8000000達(dá)到最大值達(dá)到最大值 1.551.55106。 因此，應(yīng)組織因此，應(yīng)組織35003500噸貨源。噸貨源。J 說(shuō)明說(shuō)明 前面我們給出了求前

17、面我們給出了求g(X)g(X)的期望的方法。的期望的方法。實(shí)際上，該結(jié)論可輕易地推廣到兩個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上，該結(jié)論可輕易地推廣到兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)函數(shù) Z = = g(g(X, ,Y) )的情形。的情形。設(shè)二維離散型隨機(jī)向量設(shè)二維離散型隨機(jī)向量 (X, Y) 的概率分布為的概率分布為 pij, i=1, 2, ， j=1, 2, . 則：則：.),(),(11 ijijjipyxgYXgE設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量( (X, ,Y) )的密度函數(shù)的密度函數(shù)為為 f (x, y), 則則: :. ),(),(),(dxdyyxfyxgYXgE 例7：設(shè)二維離散型隨機(jī)向量設(shè)二維離散型隨機(jī)

18、向量( (X, ,Y) )的概率分的概率分布如下表所示，求布如下表所示，求Z=X2+Y的期望的期望. . E(Z)=E(Z)= g(1,1)g(1,1) 0.125+g(1,2)0.125+g(1,2) 0.250.25 +g(2,1) +g(2,1) 0.5+g(2,2)0.5+g(2,2) 0.1250.125解：解： Y X 1 2 1 1/8 1/4 2 1/2 1/8 = 4.25.例8：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y相互獨(dú)立，概率密度分相互獨(dú)立，概率密度分別為別為求求 E( E(XY) )。解：解：., 0, 0 ,2)( , 0, 0 ,4)(24其他其他yeyfxexfyYxX

19、因因 G(G(X, ,Y)=XY, X 和和Y 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。. 81 2141 24 24 )()(),(00242004 dyyedxxedxdyeexydxdyyfxxyfYXgEyxyxYX所以，所以，3.1.4 期望的性質(zhì)期望的性質(zhì) (1). 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C;(4). 設(shè)設(shè) X, Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y); (2). 若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(kX)=kE(X); (3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);；niiniiXEXE11 )(niiniiXEXE11)(注意注意:由由E(XY)=E(X)E(

20、Y) 不一定能推出不一定能推出X,Y獨(dú)立獨(dú)立推廣：推廣：推廣：推廣：(諸諸Xi 獨(dú)立時(shí)獨(dú)立時(shí))。期望性質(zhì)的應(yīng)用期望性質(zhì)的應(yīng)用例例9: 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望。求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望。 分析：分析：若若 X B(n, p)，則，則 X 表示表示n重貝努重貝努里試驗(yàn)中里試驗(yàn)中“成功成功”的次數(shù)。的次數(shù)。 設(shè)設(shè)則則 X = X1+X2+Xn，. , 0, , 1 次試驗(yàn)失敗如第次試驗(yàn)成功如第iiXii=1,2,n. 由此可見(jiàn)：由此可見(jiàn)：服從參數(shù)為服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布的的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是 np。= np .因?yàn)橐驗(yàn)?PXi =1= p,PXi =0= 1-1-p

21、 p，niiXE1)(所以所以 E(X)=E (Xi ) = p，例例10：將將 n個(gè)球放入個(gè)球放入M個(gè)盒子中個(gè)盒子中, , 設(shè)每個(gè)球落設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)盒子是等可能的入各個(gè)盒子是等可能的, ,求有球的盒子數(shù)求有球的盒子數(shù)X 的的期望。期望。解：解：引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量.,2,1, , 0, , 1MiiiXi個(gè)盒子中無(wú)球若第個(gè)盒子中有球若第則則 X=X1+X2+XM . .于是于是, ,E(X)=E(X1)+E(X2)+ +E(XM).每個(gè)每個(gè)Xi i都服從兩點(diǎn)分布，都服從兩點(diǎn)分布，i =1,2,=1,2,M。因因每個(gè)球落入每個(gè)盒子是等可能的均為每個(gè)球落入每個(gè)盒子是等可能的均為1/1/M,

22、 ,所以，所以，對(duì)第對(duì)第i 個(gè)盒子，一個(gè)球不落入這個(gè)盒子個(gè)盒子，一個(gè)球不落入這個(gè)盒子內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為(1-1/(1-1/M) )。 故故n個(gè)球都不落入這個(gè)個(gè)球都不落入這個(gè)盒子內(nèi)的概率為盒子內(nèi)的概率為(1-1/(1-1/M) )n n ，即，即. )11 (1 )()()( )()( ,2,1 )11 (1)( .)11 (11 )11 (02121nMMnininiMMXEXEXEXXXEXEMiMXEMXPMXP，小結(jié)小結(jié) 本講介紹了隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念、本講介紹了隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念、性質(zhì)及計(jì)算，給出了幾種常用性質(zhì)及計(jì)算，給出了幾種常用隨機(jī)變量的數(shù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，介紹了求隨機(jī)變

23、量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的學(xué)期望，介紹了求隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的方法。方法。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第十二講第十二講主講教師：郭念國(guó)主講教師：郭念國(guó)河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 前面介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。數(shù)前面介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨學(xué)體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征。機(jī)變量的重要的數(shù)字特征。 但在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠但在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的，還需了解其他數(shù)字特征。的，還需了解其他數(shù)字特征。4.2 4.2 方差方差 例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各

24、測(cè)量乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果次，將測(cè)量結(jié)果X用坐用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：a 乙儀器測(cè)量結(jié)果乙儀器測(cè)量結(jié)果 a甲儀器測(cè)量結(jié)果甲儀器測(cè)量結(jié)果較好較好因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近。因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近。又如，甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊又如，甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙較好乙較好因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 。 中心中心中心中心 為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征，用它來(lái)為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征，用它來(lái)度量隨

25、機(jī)變量取值偏離其中心度量隨機(jī)變量取值偏離其中心(均值均值)的程度。的程度。這個(gè)數(shù)字特征就是我們要介紹的方差。這個(gè)數(shù)字特征就是我們要介紹的方差。4.2.1 方差的定義方差的定義 注注: 有的書上也將有的書上也將Var(X)記成記成 D(X)。 定義定義1: 設(shè)設(shè) X 是一隨機(jī)變量，若是一隨機(jī)變量，若EX- -E(X)2 存在存在, 則稱其為則稱其為X 的方差，記成的方差，記成 Var(X)，即，即 Var(X)= EX- -E(X)2 ; (1)并稱并稱 為為X的標(biāo)準(zhǔn)差。的標(biāo)準(zhǔn)差。)(XVar 采用平方是為了保證一切采用平方是為了保證一切差值差值X- -E(X)都起正的作用都起正的作用若若X 的

26、取值比較分散，則方差較大。的取值比較分散，則方差較大。若方差若方差Var(X)=0，則，則 X 以概率以概率1取取常數(shù)常數(shù)。 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度期望的偏離程度 。若若X 的取值比較集中，則方差較??；的取值比較集中，則方差較??；均值均值E(X)X為離散型，為離散型，PX=xk=pk 由定義知，方差是隨機(jī)變量由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù)g(X)=X-E(X)2的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 。,)()(,)()(212dxxfXExpXExXVarkkk X為連續(xù)型，為連續(xù)型，f (x)為密度。為密度。計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式計(jì)算方差的

27、一個(gè)簡(jiǎn)化公式Var(X)=E(X2)- -E(X)2 . 展開(kāi)展開(kāi)證：證：Var(X)=EX- -E(X)2=EX2- -2X E(X)+ +E(X)2=E(X2)- -2E(X)2+E(X)2=E(X2)- -E(X)2.利用期利用期望性質(zhì)望性質(zhì)例例1 1：設(shè)設(shè) X 服從幾何分布，概率分布為服從幾何分布，概率分布為P(X=k) = p(1- - p)k-1, k=1, 2, , 其中其中 0p1, 求求 Var(X)。解：解：記記 q=1- -p，則，則11)(kkkpqXE1)(kkqp1)(kkqp)1(qqp,1p交換求和與交換求和與求導(dǎo)次序求導(dǎo)次序無(wú)窮遞縮等比無(wú)窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式

28、級(jí)數(shù)求和公式1122)(kkpqkXE1111) 1(kkkkkpqpqkk)()(1XEqpqkk pqqpq1)1( ,22pp. 12)()(22222pqpppXEXEXVar求求 Var( Var(X) )。 例例 2：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為:.1 ,0 ,0,1 ,0 ,2)(xxxxf.1813221 22 )()( )()()(22101022222xdxxxdxxdxxxfdxxfxXEXEXVar解：解：例例3：設(shè)設(shè)X為某加油站在一天開(kāi)始時(shí)貯存的油量，為某加油站在一天開(kāi)始時(shí)貯存的油量，Y 為一天中賣出的油量為一天中賣出的油量( (當(dāng)然當(dāng)

29、然YX) )。設(shè)。設(shè)( (X, ,Y) )具有概率密度函數(shù)具有概率密度函數(shù)這里這里1表明表明1個(gè)容積單位，求每日賣出的油量個(gè)容積單位，求每日賣出的油量Y 的期望與方差。的期望與方差。. ,0, 10 ,3),(其他xyxyxf； 0 0 ),()(dxdxyxfyfY解：解：當(dāng)當(dāng) y 1 1 時(shí)時(shí), ,當(dāng)0y1時(shí),).1(23 3 ),()(21yxdxdxyxfyfyY.1 ,0 ,0,1 ,0 ),1 (23)( 2yyyyfY所以，,51)1(23)( ,83)1(23)( 21022210dyyyYEdyyyYE. 0594.0 8351 )()()(222YEYEYVar4.2.2

30、方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) (1). 設(shè)設(shè)C是常數(shù)是常數(shù), 則則Var(C)=0;(2). 若若C是常數(shù)，則是常數(shù)，則Var(CX)=C2 Var(X);(3). 若若X1與與X2 獨(dú)立，則獨(dú)立，則 Var(X1X2)= Var(X1)+Var(X2);可推廣為：可推廣為：若若X1, X2, , Xn相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則； )(121niiiniiiXVarCXCVar(4). Var(X)=0 P(X= C)=1，這里，這里C=E(X)。 例例4：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的期望和方差分別為的期望和方差分別為E(E(X) )和和Var(Var(X) )，且，且Var(Var(X) ) 0 0，求

31、，求的期望和方差。 )()(XVarXEXY解：解：； 0 )()()()(1 )()()(1)(XVarXEXEXVarXVarXEXXVarEYE.1 )()(1 )(1 )()()(1)(XVarXVarXXVarVarXVarXEXXVarVarYVar. )()( )()( 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為稱的標(biāo)準(zhǔn)化，為把稱XXVarXEXYXXVarXEX4.2.3 幾種常用隨機(jī)變量的方差幾種常用隨機(jī)變量的方差 1. 1. 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布若若 X B(1, p)，則，則 Var(X) = p(1- -p)； 2. 2. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布若若 X B(n, p)，則，則 Var(X) = n p

32、(1- -p)； 3. 3. 泊松分布泊松分布若若 X P()，則，則 Var(X) = ；,!) 1( !) 1( )1( ) 1()(02202ekkkekkkXXEXXXEXEkkkk利用前面講過(guò)的利用前面講過(guò)的 E(X) =，得，得而而 ,!) 1(002eekkkkkkkk, )(22XE所以，. )()()(22XEXEXVar 4. 4. 均勻分布均勻分布,3)( )()( 22222babadxabxdxxfxXEba若若 X U(a, b) ，則，則利用利用E(X)=(a+b)/2，得，得.12)()(2abXVar5.指數(shù)分布 ).0( 0 , 0 , 0 ,)(xxexf

33、x.1)()()( 1)( ,2 )()( 22220222XEXEXVarXEdxexdxxfxXEx，得利用所以，6.6.正態(tài)分布正態(tài)分布. 21/)( 21)( )()(22222)(22222dtetxtdxexXEXEXVartx若若 X N( , 2)，則，則例例5：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X N( , 2)，計(jì)算，計(jì)算(1). P - - X + + ;(2). P - -2 X +2 ；(3). P - -3 X 0, Var(Y) 0, 則稱則稱)( )() ,(YVarXVarYXCovXY在不致引起混淆時(shí)，記在不致引起混淆時(shí)，記 為為 。XY 相關(guān)系數(shù)性質(zhì)相關(guān)系數(shù)性質(zhì); 1|

34、 ).1 (證：證：由方差與協(xié)方差關(guān)系，由方差與協(xié)方差關(guān)系，對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)b, 有有0Var(Y- -bX)=b2Var(X)+Var(Y)- -2b Cov(X,Y ),)(),(XVarYXCovb 令令則有則有Var(Y- -bX) = )(),()(2XVarYXCovYVar)()(),(1)(2YVarXVarYXCovYVar,1)(2YVar由方差由方差Var(Y)0, 知知 1- - 2 0, 所以所以 | |1。由于當(dāng)由于當(dāng) X 和和 Y 獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，Cov(X, Y)= 0 .請(qǐng)看下例：請(qǐng)看下例：(2). X 和和Y 獨(dú)立時(shí)獨(dú)立時(shí), =0，但其逆不真；，但其逆不

35、真；但但=0 并不一定能推出并不一定能推出 X 和和 Y 獨(dú)立。獨(dú)立。 0)()(),(；YVarXVarYXCov所以，所以，證明證明:例例 1：設(shè)設(shè) (X,Y) 服從單位服從單位 D= (x, y): x2+y21上的均勻分布，證明：上的均勻分布，證明： XY = 0。 .),( , 0 ,),( ,/1),(DyxDyxyxf,00 /)(111111112222dydydxxdxdyxXEyyyx所以，所以，Cov(X, Y)= E(XY)- -E(X) E(Y) = 0 .同樣，得同樣，得 E(E(Y)=0,)=0,. 0 0 )y/()(111111112222dydyxdxydx

36、dyxXYEyyyx此外，此外，Var(X) 0, Var(Y) 0 .所以，所以， XY = 0，即即 X 與與 Y 不相關(guān)。不相關(guān)。但是，在例但是，在例3.6.23.6.2已計(jì)算過(guò)已計(jì)算過(guò): : X與與Y不獨(dú)立。不獨(dú)立。存在常數(shù)存在常數(shù)a, b(b0)，使使 P Y = a+bX = 1 ，即，即 X 和和 Y 以概率以概率 1 線性相關(guān)線性相關(guān)。(3). |=1但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)是一回事：但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)是一回事：前面前面, 我們已經(jīng)看到：我們已經(jīng)看到： 若若X 與與Y 獨(dú)立，則獨(dú)立，則X 與與Y 不相關(guān)；但由不相關(guān)；但由X與與Y 不相關(guān)，不一定能推出不相關(guān)，不一定能推

37、出X與與Y獨(dú)立。獨(dú)立。 若若(X, Y )服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X 與與Y 獨(dú)獨(dú)立的充分必要條件是立的充分必要條件是X與與Y不相關(guān)。不相關(guān)。 定義定義1：設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, 若若E(Xk) 存在存在(k =1, 2, ), 則稱其為則稱其為X 的的 k 階原點(diǎn)矩；若階原點(diǎn)矩；若 EX-E(X)k 存在存在(k = 1,2, ), 則稱其為則稱其為X的的 k 階中心矩。階中心矩。4.3 矩與協(xié)方差矩陣矩與協(xié)方差矩陣4.4.1 矩矩 易知：易知：X 的期望的期望 E(X) 是是 X 的一階原點(diǎn)的一階原點(diǎn)矩，方差矩，方差Var(X) 是是 X 的二階中心矩。的二階中心矩。

38、 定義定義2：設(shè)設(shè)X和和Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, 若若 E(XkYm) 存在存在(k, m=1, 2,), 則稱其為則稱其為X與與Y的的 k+m 階階混合原點(diǎn)矩；若混合原點(diǎn)矩；若 EX-E(X)k Y-E(Y)m存在存在(k, m=1,2,，則稱其為，則稱其為X與與Y的的 k+m 階混合中階混合中心矩。心矩。4.4.2 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 將隨機(jī)向量將隨機(jī)向量 (X1, X2) 的四個(gè)二階中心矩的四個(gè)二階中心矩)(),()(),()(,)(2222211222122111221111XEXEcXEXXEXEcXEXXEXEcXEXEc排成一個(gè)排成一個(gè)22矩陣矩陣 ，則稱此矩陣為則稱此矩陣為(X1, X2)的方差與協(xié)方差矩陣，的方差與協(xié)方差矩陣，簡(jiǎn)稱協(xié)方差陣。簡(jiǎn)稱協(xié)方差陣。22211211cccc 類似地，我們也可定義類似地，我們也可定義n 維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量