空間向量的數(shù)量積在向量中的應(yīng)用

1、空間向量的數(shù)量積在向量中的應(yīng)用空間向量的數(shù)量積與平面類似，學(xué)習(xí)中要善于利用這種相互聯(lián)系來幫助，盡快掌握空間向量的運(yùn)算，本文重點(diǎn)剖析數(shù)量積在空間幾何中的應(yīng)用。一、 證明線線、線面、面面垂直例1、已知正方體中，點(diǎn)m、n分別是棱與對角線的中點(diǎn)，求證：證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為1，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)o建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知條件，可求得、b（1，0，0）、c（1，1，0），、，.因為，所以 所以點(diǎn)評：在證明線線垂直時，若給出的幾何體能夠建立空間直角坐標(biāo)系，就先建立坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為用代數(shù)運(yùn)算證明線線垂直，以避免繁瑣的推理論證。二、 求線線、線面、面面所成角例2、在棱長為1的正方體中，e、f分

2、別是的中點(diǎn)，g在棱cd上，且，為的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題：（1）求證：；（2）求ef與所成角的余弦值。解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，d為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有，、c（0，1，0）、（1）證明：，所以，所以，即（2）解：因為，所以又，所以，即異面直線ef與所成角的余弦值為例3、正方體中，e是的中點(diǎn)，求be與平面所成角的余弦值。 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則b（2，2，0），設(shè)平面的法向量為n（x，y，z），因為，所以，所以，令y1，則n（1，1，0），設(shè)be與平面所成角為，則，即be與平面所成角的余弦值為 求距離問題由于點(diǎn)到面距離是求解重點(diǎn)，線面距、面面距可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，點(diǎn)面距的實質(zhì)是平面的單位法向量與從該點(diǎn)出發(fā)的斜線的向量的數(shù)量積的絕對值，借助法向量與數(shù)量積運(yùn)算可以求距離。例4、已知四邊形abcd、eadm和mdcf都是邊長為a的正方形，點(diǎn)p是ed的中點(diǎn)，求：p點(diǎn)到平面efb的距離。解：建立空間直角坐標(biāo)系，則b（a，a，0），e（a，0，a），f（0，a，a），設(shè)平面efb的一個法向量為n（x，y，z），則，令y1，得z1，x1，所以