四邊形復習 初二

1、一、旋轉【例1】 （2009平谷一模改編）如圖，在直角梯形中，是上一點，且，求的長 【解析】 延長到，使，連接，容易得到四邊形是正方形再延長到，使，連接，易證，設，則 在中， ，解得， 的長為4或6【例2】 如圖，正方形被兩條與邊平行的線段分割成個小矩形，是與的交點，若矩形的面積恰是矩形面積的倍，試確定的大小，并證明你的結論 【解析】 設，連接，由四邊形都是矩形，可知，則由是正方形，可知由得，平方得，將代入得，得，即延長到，使得，連接，則，那么，即（2009房山二模） 如圖1，在四邊形中，分別是邊上的點，且求證：； 如圖2，在四邊形中，分別是邊上的點，且，中的結論是否仍然成立？不用證明 如圖3

2、，在四邊形中，分別是邊延長線上的點，且，中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明【解析】 延長到，使，連接， 中的結論仍然成立 結論不成立，應該是在上截取，使，連接，【例3】 如圖，正方形內有一點，. （1）求的長；（2）求的大??；（3）求正方形的邊長.【解析】（1）由例5可知， 又，故 （2）將繞點順時針旋轉，使于重合. 設此時點位于點處，則有 ， （此時有、共線） （3）過點作，垂足為. ， 【例4】 （2008湖北羅田改編）在中，以斜邊為一邊作正方形，正方形的中心為，求的長【解析】 在作正方形的過程中，并沒有說明是向哪個方向作，所以此題需分類討論

3、以為邊向外作正方形，如圖 延長到，使，連結 可證 則，是等腰直角三角形 所以 以為邊向內作正方形，如圖 在上截取，連結 可證 則， 所以【補充】已知正方形，在邊上取一點，作交的外角平分線于，求證：【解析】 解法一：如圖，連接，過作，交于，又為等腰直角三角形，又，故解法二：如圖，過作，交的延長線于，連接，則，而，又，有，【補充】已知正方形和等腰，按圖甲放置，使點在上，取 的中點，連接 探索的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由； 將圖甲中繞點順時針旋轉得圖乙，連接，取的中點，問中的結論是否成立？并說明理由； 將圖甲中繞點轉動任意角度（旋轉角在到之間）得圖丙，連接，取的中點，問中的結論是否成立，請說明理

4、由 【解析】 且利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可很容易證明 仍然成立延長交于點先證明是等腰直角三角形，進而可得結論 仍然成立證法一：如圖丙，延長到，使，連結可證明，又，在中，是中點，證法二：如圖，以為邊向下作正方形，延長到使容易得到：，因此只要證明即可由輔助線易得是等腰直角三角形，接下來可先證明，然后再證明即可或先證明，再證明也可此證法將要證線段通過中位線都擴大了兩倍，然后再通過全等證明線段相等，觀察圖形其本質也是利用旋轉在構造全等三角形證法三：如圖，分別取中點為，連結觀察后很容易發(fā)現(xiàn)：只要證明，問題馬上就可以解決而且不難發(fā)現(xiàn)證明全等的條件也是夠的：，且，同時也很容易證明此證法利用了中位線

5、和直角三角形斜邊中線的性質構造線段相等，【補充】兩張大小適當?shù)恼叫渭埰?，如圖所示重疊放在一起，重疊部分是一個凸八邊形對角線，分這個八邊形為四個小的凸四邊形請你證明且【解析】 延長，相交于點，延長，相交于點，延長相交與點，延長相交于點則四邊形、都是平行四邊形，易知,作于；作于；在Rt與中，,所以RTRt，因此，作于；作于；同理可證RtRt,從而，易證(SAS)所以再由RtRt，推得,又所以，即二、平移【例5】 （2007年101中學期中考試）如圖（1），四邊形中，若，則必然等于.請運用結論證明下述問題：如圖（2），在平行四邊形中取一點，使得，求證：.【解析】觀察圖（1）可知，如果四邊形中，同一

6、條邊對應的兩個張角相等，則 其他邊對應的兩個張角也相等.這就是對已知條件的一種“翻譯”.然后再根據這個“翻譯”去解題.圖（2）中沒有可以直接運用該條件的圖形，我們可以通過輔助線來構造出這樣的環(huán)境. 分別過點、作，交于點，連接. ， ， ， ， 為平行四邊形 在四邊形中， 【例6】 如圖，向的外側作正方形、過作于，與交于 求證：【解析】(法1):如下左圖，延長至點，使得連接 ， ， ，同理 ， ， ，即(法2): 過點、分別作的垂線，垂足為、 證明，即可(法3): 如上右圖，過點作的平行線，交的延長線于點，連接，又，又，又，四邊形是平行四邊形，故【例7】 (07年北達資源期中試題)分別以的三邊長為邊長，在形外作正方形，連接，若為任意三角形時，以，為邊能否構成三角形？為什么？如果能，試探究以，為邊構成的三角形