大學(xué)物理第06章_振動(dòng)

1、 第第6 6章章 振動(dòng)振動(dòng) 6.1 簡諧振動(dòng)的描述簡諧振動(dòng)的描述6.2 簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)6.3 簡諧振動(dòng)的能量簡諧振動(dòng)的能量6.4 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)6.5 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振6.6 同一直線上同頻率同一直線上同頻率 的簡諧振動(dòng)的合成的簡諧振動(dòng)的合成6.7 同一直線上不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成同一直線上不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成6.8 諧振分析諧振分析6.9 兩個(gè)互相垂直的簡諧振動(dòng)的合成兩個(gè)互相垂直的簡諧振動(dòng)的合成 物體在一定的位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。物體在一定的位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)：機(jī)械振動(dòng)：振動(dòng)：振動(dòng)：任何一個(gè)物理量任何一個(gè)物理量在某個(gè)確定的數(shù)值附近作在某

2、個(gè)確定的數(shù)值附近作周期性的變化。周期性的變化。波動(dòng)：波動(dòng)：振動(dòng)狀態(tài)在空間的傳播。振動(dòng)狀態(tài)在空間的傳播。任何復(fù)雜的振動(dòng)都可任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以看作是由若干個(gè)簡以看作是由若干個(gè)簡單而又基本振動(dòng)的合單而又基本振動(dòng)的合成。這種簡單而又基成。這種簡單而又基本的振動(dòng)形式稱為本的振動(dòng)形式稱為簡簡諧運(yùn)動(dòng)諧運(yùn)動(dòng)。一、簡諧運(yùn)動(dòng)的基本特征 tAxcos簡諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式：簡諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式：簡諧運(yùn)動(dòng)：簡諧運(yùn)動(dòng)：物體的運(yùn)動(dòng)遵從余弦（或正弦）規(guī)律。物體的運(yùn)動(dòng)遵從余弦（或正弦）規(guī)律。)2cos()sin(ddmttAtxvv簡諧運(yùn)動(dòng)的速度：簡諧運(yùn)動(dòng)的速度：簡諧運(yùn)動(dòng)的加速度：簡諧運(yùn)動(dòng)的加速度：)cos()cos(ddm2tatAt

3、avOTAtxax,vAAavOA2tAxcos 周期周期 T：完成一次全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。完成一次全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。A ：振幅振幅 ，（最大位移，（最大位移，x =A ） ：角頻率角頻率 ， （圓頻率）（圓頻率）頻率頻率 ：單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)。2T2 ：振動(dòng)的：振動(dòng)的“初相位初相位 ”。（ t + ) ：振動(dòng)的：振動(dòng)的“相位相位 ”。彈簧振子的頻率彈簧振子的頻率: 122km彈簧振子的周期彈簧振子的周期: 22mTk結(jié)論：結(jié)論：彈簧振子的振動(dòng)頻率和周期僅與振子本身的性彈簧振子的振動(dòng)頻率和周期僅與振子本身的性質(zhì)（質(zhì)（k 和和 m）有關(guān)，而與其它因素?zé)o關(guān)。）

4、有關(guān)，而與其它因素?zé)o關(guān)。 由振動(dòng)系統(tǒng)本身的固有屬性所決定的頻率和周由振動(dòng)系統(tǒng)本身的固有屬性所決定的頻率和周期稱為期稱為固有頻率固有頻率和和固有周期固有周期。 相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)對兩對兩同頻率同頻率的諧振動(dòng)的諧振動(dòng) = 2- 1初相差初相差 同相和反相同相和反相當(dāng)當(dāng) = 2k , ( k =0,1,2,), 兩振動(dòng)步調(diào)相同兩振動(dòng)步調(diào)相同, ,稱稱同相同相。當(dāng)當(dāng) = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 兩振動(dòng)步調(diào)相反兩振動(dòng)步調(diào)相反 , 稱稱反相反相。x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相超前和落后超

5、前和落后若若 = 2- 10, 則則 x2比比x1較早達(dá)到正最大較早達(dá)到正最大, 稱稱x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。領(lǐng)先、落后領(lǐng)先、落后以以 的相位的相位角來判斷角來判斷規(guī)定規(guī)定| | 0)(costAxtxcos12. 00.06 =0.12 cos 3cos210sin0Av0sin3振動(dòng)方程：振動(dòng)方程： )3cos(12.0txyx3315 . 05 . 05 . 0sm189. 0)3sin(12. 0ddtttttxv25 . 025 . 05 . 0sm103. 0)3cos(12. 0ddtttttav設(shè)在某一時(shí)刻設(shè)在某一時(shí)刻 t1， x = - 0.06

6、m)3(cos12. 006. 01t代入振動(dòng)方程：代入振動(dòng)方程：21)3(cos1t343231或tstt132311yx3234stt61123322sttt65161112第二次經(jīng)過第二次經(jīng)過平衡位置的平衡位置的時(shí)間？時(shí)間？例例2. 兩質(zhì)點(diǎn)作兩質(zhì)點(diǎn)作同方向同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，振幅相、同頻率的簡諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在在 x1= A/2 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)2在在 x 2= -A/2 處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位差。位差。)(cos11tAx)(cos21tAA31t0)(sin1t0)(sin1

7、1tAv31t解：解：A-AoA/2/2- -A/2/2322t)cos(22tAA0)(sin22tAv322t)()(21tt)32(3A-AoA/2/2- -A/2/20sint例例3. 已知一諧振子的振動(dòng)曲線如圖已知一諧振子的振動(dòng)曲線如圖. (1) 求求a, b, c, d, e各狀態(tài)的相位各狀態(tài)的相位; (2) 寫出振動(dòng)表達(dá)式寫出振動(dòng)表達(dá)式; (3) 畫出旋轉(zhuǎn)矢畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖量圖;解：解：a0t/sb2.5-2.55.0-5.0cde1.02.2x/cm0cos()xAt0aaxAt23bbAxt22ccAxt223ddAxt 423eeAxt 注意速度及加速度方向的判斷注意速度及加

8、速度方向的判斷!(2) 0cos()xAt0.05Am00 ,23Ats x 而從圖中可看出此時(shí)速度是沿而從圖中可看出此時(shí)速度是沿x正方向正方向!003v 252(2.21.0),650.05cos()63TTxt(3) 0 x03 Axo一、簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 彈簧振子：彈簧振子： 一根輕彈簧和一個(gè)剛體構(gòu)成的一個(gè)一根輕彈簧和一個(gè)剛體構(gòu)成的一個(gè) 振動(dòng)系統(tǒng)。振動(dòng)系統(tǒng)。Fx根據(jù)胡可定律：根據(jù)胡可定律：（k為勁度系數(shù)）為勁度系數(shù)）xkF回復(fù)力：回復(fù)力： 始終指向平衡位置的作用力始終指向平衡位置的作用力（1 1） 在彈性限度內(nèi)，彈性力在彈性限度內(nèi)，彈性力F F 和位移和位移x x 成正比。成正比。（

9、2 2） 彈性力彈性力F F 和位移和位移x x 恒反向，始終指向平衡位置。恒反向，始終指向平衡位置。由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：xktxmF22ddxmktx22dd得得: :令令mkxdtxd222xkFxtx222ddtAxcos簡諧運(yùn)動(dòng)的三項(xiàng)基本特征：簡諧運(yùn)動(dòng)的三項(xiàng)基本特征： 由初始條件定出振幅和初相位設(shè)設(shè) t = 0時(shí)，振動(dòng)位移：時(shí)，振動(dòng)位移：x = x0 振動(dòng)速度：振動(dòng)速度：v = v0)(costAxcosAxo)(sintAvsinAvo2020vxAcosAxosinAvo2222222)cos(sinAAvxooooxvtg例例4. 質(zhì)量為質(zhì)量為m的比重計(jì)，放在密度為的

10、比重計(jì)，放在密度為 的液體中。的液體中。已知比重計(jì)圓管的直徑為已知比重計(jì)圓管的直徑為d。試證明，比重計(jì)推動(dòng)后，。試證明，比重計(jì)推動(dòng)后，在豎直方向的振動(dòng)為簡諧振動(dòng)。并計(jì)算周期。在豎直方向的振動(dòng)為簡諧振動(dòng)。并計(jì)算周期。解：解：取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)平衡時(shí)：平衡時(shí)：0 Fmg浮力：浮力： VgF其中其中V 為比重計(jì)的排水體積為比重計(jì)的排水體積0mgF2222dtxdmgxdVmgxmgddtxd42222222dtxdmxdgVgmg0 xxmgd2gmdT42例例5: 兩彈簧如圖與一物體相連兩彈簧如圖與一物體相連, 試寫出物體動(dòng)力學(xué)方試寫出物體動(dòng)力學(xué)方程及振動(dòng)周期程及振動(dòng)周期.

11、(1)m1k2km1k2k(1)(2)12()fkxk xx 動(dòng)力學(xué)方程為動(dòng)力學(xué)方程為:21 2212k kd xfxmkkdt 121 2()2m kkTk k解：解：121()kxxff 1 212k kkkk (2) 平衡位置時(shí)平衡位置時(shí), k1x1=k2x2m1k2k0 x1x2xx 現(xiàn)假設(shè)物體偏離右方現(xiàn)假設(shè)物體偏離右方x, 則則:2211()()fk xxk xx2122()d xkk xmdt 12()kkk 122mTkk)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpkm2振子動(dòng)能：振子動(dòng)能：振子勢能：振子勢能：xxovtxEkEtpEOO諧振系統(tǒng)

12、的總機(jī)械能：諧振系統(tǒng)的總機(jī)械能：pkEEE)(costAxtAmEk222sin21tkAEp22cos21km22222212121mmvAmkAE（1 1） 振子在振動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢能分別隨時(shí)間振子在振動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢能分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變。變化，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變。（2 2） 動(dòng)能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動(dòng)頻動(dòng)能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動(dòng)頻率的兩倍。率的兩倍。（3 3）頻率一定時(shí)，諧振動(dòng)的總能量與振幅的平方）頻率一定時(shí)，諧振動(dòng)的總能量與振幅的平方成正比。（適合于任何諧振系統(tǒng)）成正比。（適合于任何諧振系統(tǒng)）結(jié)論結(jié)論：kEEpExOpEAA2p21k

13、xE 彈性勢能彈性勢能pkEEE221kAEEEkpEAkkxEAxp4122121222時(shí)：當(dāng)例例6 . 當(dāng)簡諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和當(dāng)簡諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢能各占總能量的多少？勢能各占總能量的多少？ 物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢能各占總能量的一半？和勢能各占總能量的一半？解：解：EEEEpk43220212121kAkxAAx707.02104-2-1 簡諧運(yùn)動(dòng)的合成 1. 兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成 某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的同頻某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)表

14、達(dá)式分別表示為：率的簡諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)表達(dá)式分別表示為：)cos(111tAx)cos(222tAx1xx11A21AAA21xxx)cos(tAx2x2A2xA 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)參與兩個(gè)在同一直線上頻率相同的簡諧運(yùn)動(dòng)，其合成運(yùn)動(dòng)仍為簡諧運(yùn)動(dòng)。結(jié)論：)cos(212212221AAAAA221122111coscossinsinAAAAtg,2, 1,02:)1(12kk若212122212:AAAAAAA則,2, 1,0)12(:)2(12kk若212112212:AAAAAAA則12cos(0 )cos().cos(1) nxatxatxatn123.cos()sin(/2)(1)cossin( /

15、2)2nxxxxxAtnnatACnRROOM特例特例 N個(gè)同頻同幅恒量相差簡諧振動(dòng)合成個(gè)同頻同幅恒量相差簡諧振動(dòng)合成2 sin( )2aR2 sin()2nARsin()/sin( )22nAa0sin(/ 2)limsin(/ 2)nAana (2)2/()knknk sin()0sin(/)kAakn (1)若各分振動(dòng)同相若各分振動(dòng)同相(取取k=0) 20k COOCOM()()2222n(1)2n光干涉與衍光干涉與衍射規(guī)律時(shí)有射規(guī)律時(shí)有重要應(yīng)用重要應(yīng)用!如如:4,1,2,3()nknk例例7 . 兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)曲線兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)曲線(如圖所示如圖所示) 1、求合振動(dòng)的振幅。

16、、求合振動(dòng)的振幅。2、求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。、求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。12AAA1AA解：解：T20cos11A22110cos22A2222x2A1AT)(1tx)(2txt2A)22cos(12tTAAx2:由矢量圖解題思路解題思路1. 分析相位關(guān)系并給出合振幅分析相位關(guān)系并給出合振幅;2. 分別畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖分別畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖;3. 由合成相圖寫出振動(dòng)方程由合成相圖寫出振動(dòng)方程;例例8 . 三個(gè)同方向三個(gè)同方向, 同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)為同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)為: 1230.08 cos(314)0.08 cos(314)6250.08 cos(314)6xtxtxt求求: (1) 合振動(dòng)的角頻率合振動(dòng)的

17、角頻率, 振幅振幅, 初相及振動(dòng)表達(dá)式初相及振動(dòng)表達(dá)式;(2) 合振動(dòng)由初始位置運(yùn)動(dòng)到合振動(dòng)由初始位置運(yùn)動(dòng)到 (A為合振動(dòng)振幅為合振動(dòng)振幅)所要的最短時(shí)間所要的最短時(shí)間;22xA(1) 首先畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖首先畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖xo61A2A22A3A56解：解：解題思路解題思路1. 分別畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖分別畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖;2. 分析合成相圖并寫出振動(dòng)方程分析合成相圖并寫出振動(dòng)方程;3. 由角位移計(jì)算時(shí)間由角位移計(jì)算時(shí)間;020.16cos(314)2xt54(2) 如圖所示如圖所示, 合振動(dòng)矢量要合振動(dòng)矢量要 轉(zhuǎn)動(dòng)角位移轉(zhuǎn)動(dòng)角位移 , 故故:5 /45/12.54tms1314s31222AAAAx

18、o61A2A22A3A56相對于相對于 的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：2A1A兩矢量同向重合時(shí)：兩矢量同向重合時(shí)：合振動(dòng)振幅合振動(dòng)振幅 極大極大A合振動(dòng)振幅合振動(dòng)振幅 極小極小A兩矢量反向重合時(shí)：兩矢量反向重合時(shí)：合振動(dòng)的振幅時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象合振動(dòng)的振幅時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象121AxO212A121A2AAA12122122T拍的周期：拍的周期：拍的頻率：拍的頻率：)cos(11tAx)cos(22tAx12122121cos()cos()2 coscos()22xxxAtAtAtt1212當(dāng)當(dāng)ttAx2cos2cos212123. 3. 相互垂直的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成相互垂直的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成 兩個(gè)同頻率相互

19、垂直簡諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同頻率相互垂直簡諧運(yùn)動(dòng)的合成 )cos(22tAy222sinsincoscosttAy)cos(11tAx111sinsincoscosttAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxyx結(jié)論：結(jié)論：兩相互垂直同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成其振動(dòng)軌兩相互垂直同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成其振動(dòng)軌跡為一橢圓跡為一橢圓( (又稱又稱“橢圓振動(dòng)橢圓振動(dòng)”) )。橢圓軌跡的形狀。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。取決于振幅和相位差。討論：時(shí)或)2(012k01212AAxAAy斜率0221222212AAxyAyAx0221AyAxyx1222212AyAxyx結(jié)論：結(jié)論：

20、質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡為正橢圓質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡為正橢圓212212k或)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx1212k0:,1212AAxAAy斜率0221222212AAxyAyAx0221AyAx結(jié)論：結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)作線振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作線振動(dòng)xy利薩如圖形 012兩個(gè)頻率比為兩個(gè)頻率比為1:2的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成 tAtAxxx2coscos2121x1x2xxtTT2 如果將一系列角頻如果將一系列角頻率是某個(gè)基本角頻率率是某個(gè)基本角頻率（亦稱主頻）的整數(shù)倍（亦稱主頻）的整數(shù)倍的簡諧運(yùn)動(dòng)疊加，則其的簡諧運(yùn)動(dòng)疊加，

21、則其合振動(dòng)仍然是以合振動(dòng)仍然是以為角為角頻率的周期性振動(dòng)，但頻率的周期性振動(dòng)，但一般不再是簡諧運(yùn)動(dòng)。一般不再是簡諧運(yùn)動(dòng)。 xtO 一個(gè)以一個(gè)以為頻率的周期為頻率的周期性函數(shù)性函數(shù) f (t)，可以用傅里葉可以用傅里葉級數(shù)的余弦項(xiàng)表示為：級數(shù)的余弦項(xiàng)表示為： 10)cos()(nnntnAAtf：主頻：主頻n：n 次諧頻次諧頻tOxttttOOOO4-3-1 阻尼振動(dòng) 阻尼振動(dòng)：阻尼振動(dòng)：振動(dòng)系統(tǒng)在回復(fù)力和阻力作用下發(fā)振動(dòng)系統(tǒng)在回復(fù)力和阻力作用下發(fā)生的減幅振動(dòng)。生的減幅振動(dòng)。txFddv ：阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) oxxrfxkfmmk2 ,20令令0dd2dd2022xtxtx0：無阻尼時(shí)振子的固有

22、頻率：無阻尼時(shí)振子的固有頻率 ：阻尼因子：阻尼因子txkxtxmdddd22動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程tAexot22cos方程解：方程解：222oT周期：周期：tAextcos22o角頻率：角頻率：tOxAA22討論：討論：tAext22cos3. 3. 當(dāng)（當(dāng)（ ）時(shí)，為）時(shí)，為“臨界阻尼臨界阻尼”情況。是質(zhì)點(diǎn)情況。是質(zhì)點(diǎn)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)極限。不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)極限。2222tAe1. 1. 阻尼較小時(shí)（阻尼較小時(shí)（ ），振動(dòng)為減幅振動(dòng)，振幅），振動(dòng)為減幅振動(dòng)，振幅 隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減幅越迅速。振動(dòng)周期大于自由振動(dòng)周期。幅越迅速。振動(dòng)周

23、期大于自由振動(dòng)周期。22tAe222. 2. 阻尼較大時(shí)（阻尼較大時(shí)（ ），振動(dòng)從最大位移緩慢回），振動(dòng)從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。到平衡位置，不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。22a：小阻尼小阻尼b：過阻尼過阻尼c：臨界阻尼臨界阻尼oxx4-3-2 受迫振動(dòng)和共振 系統(tǒng)在周期性的外力持續(xù)作用系統(tǒng)在周期性的外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動(dòng)。下所發(fā)生的振動(dòng)。受迫振動(dòng)：受迫振動(dòng)：策動(dòng)力：策動(dòng)力：周期性的外力周期性的外力1. 1. 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)設(shè)：設(shè)：tFFcos0rfxkfFtFtxkxtxmcosdddd022由牛頓第二定律由牛頓第二定律mFfmmk0020,2,令tfxtxtxcosdd2dd0202

24、2tAtAxtcoscose02200方程的解：方程的解：穩(wěn)定后的振動(dòng)表達(dá)式：穩(wěn)定后的振動(dòng)表達(dá)式：tAxcos結(jié)論：結(jié)論：受迫振動(dòng)的頻率與策動(dòng)力的頻率相等。受迫振動(dòng)的頻率與策動(dòng)力的頻率相等。 受迫振動(dòng)的振幅：受迫振動(dòng)的振幅： 22222004fA受迫振動(dòng)的初相位：受迫振動(dòng)的初相位： 2202arctg結(jié)論：結(jié)論：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅與外力幅值成正比穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅與外力幅值成正比。 共振：共振：當(dāng)策動(dòng)力的頻率為某一特定值時(shí)，當(dāng)策動(dòng)力的頻率為某一特定值時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅將達(dá)到極大值的現(xiàn)象。受迫振動(dòng)的振幅將達(dá)到極大值的現(xiàn)象。2. 2. 共振共振04dddd2222200fA求極值：求極值：共振頻率：共振頻

25、率： 220r22200r2fA共振振幅：共振振幅： 0為固有頻率為固有頻率Ao大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼零阻尼零阻尼r 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 越小，越小，共振角頻率共振角頻率 r r越接近越接近于系統(tǒng)的固有頻率于系統(tǒng)的固有頻率 O O ，同時(shí)共振振幅，同時(shí)共振振幅A Ar r也越大。也越大。結(jié)論：tAsinv受迫振動(dòng)的速度：受迫振動(dòng)的速度：22222004fAmaxv速度幅：速度幅：0時(shí)，速度幅極大時(shí)，速度幅極大在速度共振條件下穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的初相位為在速度共振條件下穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的初相位為 2tAcosv結(jié)論：結(jié)論：速度和策動(dòng)力有相同的相位。即策動(dòng)力對速度和策動(dòng)力有相同的相位。即策動(dòng)力對振動(dòng)系統(tǒng)始終做正功。

26、振動(dòng)系統(tǒng)始終做正功。 速度共振速度共振又稱又稱能量共振能量共振！ 1940年，年，Tacoma Narrows大橋在通車大橋在通車4個(gè)月零個(gè)月零6天后因大風(fēng)引起扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，又因振動(dòng)頻率接近于大天后因大風(fēng)引起扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，又因振動(dòng)頻率接近于大橋的共振頻率而突然坍塌。橋的共振頻率而突然坍塌。 例例7. 一物體懸掛在彈簧下作阻尼振動(dòng)。開始時(shí)其振一物體懸掛在彈簧下作阻尼振動(dòng)。開始時(shí)其振幅為幅為120 mm，經(jīng)過，經(jīng)過2.4分鐘后，振幅減為分鐘后，振幅減為60 mm。問：。問：（1）如振幅減至）如振幅減至30 mm時(shí)需要經(jīng)歷多長時(shí)間。（時(shí)需要經(jīng)歷多長時(shí)間。（2）阻尼系數(shù)為多少？阻尼系數(shù)為多少？解：解： 阻尼振

27、動(dòng)方程阻尼振動(dòng)方程tAextcostoeAAAAeottAAoln131081. 4604 . 260120lns取兩不同的時(shí)刻取兩不同的時(shí)刻 t1和和 t22211lnlntAAtAAoostAAAAtoo288604 . 260120ln30120lnlnln11222AAost144604 . 211AAost2882sttt144124-4-1 非線性振動(dòng)設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)和一個(gè)理想彈簧構(gòu)成一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)和一個(gè)理想彈簧構(gòu)成一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng) )(xFs彈性力：彈性力：阻力：阻力：yxFfdd策動(dòng)力策動(dòng)力 ：)(tFp)(dd)(dd22tFtxFxFtxmpfs系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

28、：mtFtxmFmxFttxxfpfs)(dd)(,dd,令令0,dd,dd22ttxxftxttxxf,dd,是一個(gè)關(guān)于是一個(gè)關(guān)于txxdd,的一次冪函數(shù)的一次冪函數(shù) 二階線性微分方程：二階線性微分方程： 二階非線性微分方程：二階非線性微分方程： ttxxf,dd,是一個(gè)關(guān)于是一個(gè)關(guān)于txxdd,的二次或高次冪函數(shù)的二次或高次冪函數(shù) Ol mgT22sindtsdmmgls 22sindtdmlmg單擺 0sindd22lgt ! 5! 3sin53很小，（很小，（ 5） sinlgt22dd得線性方程：得線性方程：簡諧運(yùn)動(dòng)簡諧運(yùn)動(dòng)若若不是很小，則不是很小，則 至少要保留至第二項(xiàng)。至少要保留至第二項(xiàng)