導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

1、12021-11-213.5 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用 隨著我國市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)定量分析經(jīng)濟(jì)隨著我國市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)定量分析經(jīng)濟(jì)及管理領(lǐng)域中的問題，已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中一個(gè)重要組成部及管理領(lǐng)域中的問題，已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中一個(gè)重要組成部分把經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中一些現(xiàn)象歸納到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，用我們所學(xué)的數(shù)分把經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中一些現(xiàn)象歸納到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，對(duì)很多經(jīng)營決策起到了非常重要的作用學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，對(duì)很多經(jīng)營決策起到了非常重要的作用 導(dǎo)數(shù)是微積分中一個(gè)重要概念，它是函數(shù)關(guān)于自變量的變化導(dǎo)數(shù)是微積分中一個(gè)重要概念，它是函數(shù)關(guān)于自變量的變

2、化率在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，也存在變化率問題，如：邊際問題和彈性問率在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，也存在變化率問題，如：邊際問題和彈性問題導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用非常廣泛，其中題導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用非常廣泛，其中“邊際邊際”和和“彈性彈性”是導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析應(yīng)用中的兩個(gè)重要概念本節(jié)主要介紹導(dǎo)數(shù)概是導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析應(yīng)用中的兩個(gè)重要概念本節(jié)主要介紹導(dǎo)數(shù)概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的兩個(gè)應(yīng)用念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的兩個(gè)應(yīng)用邊際分析與彈性分析邊際分析與彈性分析2一、邊際與邊際分析一、邊際與邊際分析 邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念，通常指經(jīng)濟(jì)變量的變化率利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際變化的方法，即邊際分析法 邊際分析法是經(jīng)濟(jì)理論中的一個(gè)重要分析方法，它的提出不僅

3、為我們作出決策提供了一個(gè)有用的工具，而且還使經(jīng)濟(jì)學(xué)能運(yùn)用數(shù)學(xué)工具因此邊際分析法對(duì)推動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)本身的發(fā)展和解決實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題起到了重大作用 1、邊際分析法32 2、邊際函數(shù)、邊際函數(shù)yfxfxxf ( ),( )( ) 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)函函數(shù)數(shù) 其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的00()f xfxx 在在點(diǎn)點(diǎn)的的邊邊邊邊。際際稱稱際際數(shù)數(shù)為為函函函函數(shù)數(shù)值值。說明：說明： 導(dǎo)數(shù)與邊際的關(guān)系：導(dǎo)數(shù)與邊際的關(guān)系：邊際概念是將導(dǎo)數(shù)的概念經(jīng)濟(jì)化。因此，邊際概念是將導(dǎo)數(shù)的概念經(jīng)濟(jì)化。因此，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)概念。這不僅豐富了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)概念。這不僅豐富了導(dǎo)數(shù)的含義，也給經(jīng)濟(jì)

4、學(xué)中邊際的計(jì)算問題提供了更直接、導(dǎo)數(shù)的含義，也給經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際的計(jì)算問題提供了更直接、簡(jiǎn)便的方法。簡(jiǎn)便的方法。(2) (2) 邊際成本、邊際收益、邊際利潤是經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常見的幾個(gè)邊際成本、邊際收益、邊際利潤是經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常見的幾個(gè)重要邊際經(jīng)濟(jì)量，常用于分析生產(chǎn)狀況、制定生產(chǎn)計(jì)劃。重要邊際經(jīng)濟(jì)量，常用于分析生產(chǎn)狀況、制定生產(chǎn)計(jì)劃。 一、邊際與邊際分析一、邊際與邊際分析42021-11-240( )f xxx對(duì)對(duì)于于經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)函函數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè)經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)有有一一個(gè)個(gè)改改變變00()yyf xx ，則則經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)變變量量在在處處量量有有相相應(yīng)應(yīng)的的改改變變量量00()()yf xxf x 0( )f

5、 xx如如函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微，則則00(d)|x xyxxyf 0 , 1()xyfx 假假如如則則0 xyx在在點(diǎn)點(diǎn)改改變變“一一個(gè)個(gè)這這說說明明當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 相相應(yīng)應(yīng)的的單單位位”近近似似改改變變fx 0()個(gè)個(gè)單單位位。一、邊際與邊際分析一、邊際與邊際分析3 3、邊際分析、邊際分析52021-11-25yxx2312 求求函函數(shù)數(shù)在在處處的的邊邊際際例例函函數(shù)數(shù)值值。 6yx 解解22612xxyx 232yxx 函函數(shù)數(shù)在在處處的的邊邊際際函函數(shù)數(shù)值值為為1 12 262021-11-264 、 邊邊際際成成本本 00, , ( )( )()CC QQQQQCC 1 1 定定義義總

6、總成成本本函函數(shù)數(shù)邊邊際際成成本本時(shí)時(shí)的的邊邊際際成成本本 設(shè)設(shè)為為產(chǎn)產(chǎn)量量 稱稱它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為, ,簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱稱稱為為當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量為為邊邊際際成成本本在在經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)中中被被定定義義為為產(chǎn)產(chǎn)量量增增加加一一個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)所所增增邊邊加加際際成成本本函函數(shù)數(shù)的的成成本本 00QCQ 2 2 經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義：當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量為為的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上，如如果果再再多多生生產(chǎn)產(chǎn)1 1個(gè)個(gè)單單位位的的產(chǎn)產(chǎn)品品，則則總總成成本本將將增增加加個(gè)個(gè)單單位位72 設(shè)設(shè)總總例例成成本本函函數(shù)數(shù)21( )500060,20C QQQ 1000Q 求求邊邊際際成成本本函函數(shù)數(shù)和和 單單位位時(shí)時(shí)的的邊邊際際成成本本，

7、并并解解釋釋后后者者的的經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義。1( )60,10C QQ 100010001( )604010QQC QQ 1140000再再多多其其經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義為為：當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量達(dá)達(dá)到到單單位位時(shí)時(shí)，如如果果單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品, ,則則成成本本將將相相生生產(chǎn)產(chǎn) 個(gè)個(gè)增增加加應(yīng)應(yīng)個(gè)個(gè)單單位位。801( )( )CCC QQ固固定定成成本本可可變變成成本本一一般般情情況況下下，總總成成本本由由和和01()(),C QCC Q 組組成成，即即 011()()(),C QCC QC Q 而而邊邊際際成成本本可可見見，邊邊際際成成本本與與固固定定成成本本無無關(guān)關(guān)。(3)(3)邊際成本僅與可變成本有關(guān)，與

8、固定成本無關(guān)。邊際成本僅與可變成本有關(guān)，與固定成本無關(guān)。 (4) 在經(jīng)營決策分析中，通過分析邊際成本，可在經(jīng)營決策分析中，通過分析邊際成本，可以制定現(xiàn)有成本基礎(chǔ)上的最佳產(chǎn)量。以制定現(xiàn)有成本基礎(chǔ)上的最佳產(chǎn)量。9 320.020.46100C QQQQ萬元 (1)1020QQ問:當(dāng)這種產(chǎn)品的產(chǎn)量萬件 時(shí)，從降低平均成本的角度來看，是否可以繼續(xù)提高產(chǎn)量?當(dāng)萬件 時(shí)呢？2 如果你是生產(chǎn)管理者，在現(xiàn)有成本基礎(chǔ)上，你會(huì)怎么制定生產(chǎn)計(jì)劃，使得生產(chǎn)資源得到最有利的利用，增加盈利。例例3、假設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本 （萬元）與產(chǎn)量 （萬件）之間的函數(shù)關(guān)系式為CQ10提出問題：提出問題： 在產(chǎn)量 的基礎(chǔ)上，我

9、們除了能計(jì)算總成本外，還能計(jì)算哪些與”成本”有關(guān)的量？ 它們有什么實(shí)際（經(jīng)濟(jì)）意義？ 10Q 萬件11 322210100.02 100.4 106 10 10014010140101414101010140.060.8610100.06 100.8 1064QCCCQC QQQC 1 解：當(dāng)產(chǎn)量萬件 時(shí)，總成本為萬元平均成本為萬元 萬件元 件即在產(chǎn)量萬件 時(shí)，每件產(chǎn)品的成本為 元.根據(jù)邊際成本理論得，于是生產(chǎn)萬件產(chǎn)品時(shí)的邊際成本是 元 件從這里可以看出，在生產(chǎn)水平為10萬件的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，總成本將增加4元，比14元/件的成本要低.因此，單純從降低平均成本的角度來看，應(yīng)該提高產(chǎn)品的

10、生產(chǎn)產(chǎn)量.1232220200.02 200.4 206 20 1002202022020112020201120200.06 200.8 20614QCCCQC 類似地，當(dāng)產(chǎn)量萬件 時(shí)，總成本為萬元平均成本為元 件即在產(chǎn)量萬件 時(shí)，每件產(chǎn)品的成本為 元.于是生產(chǎn)萬件產(chǎn)品時(shí)的邊際成本是 元 件 從這里可以看出，在生產(chǎn)水平為20萬件的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，總成本將增加14元，比11元/件的成本要高.因此，單純從降低平均成本的角度來看，不能提高產(chǎn)品的生產(chǎn)產(chǎn)量，而應(yīng)降低產(chǎn)量.13 0000000000,C QC QQC QC QC QC QQC QC Q2 解:由 1 的討論可知，若，則在產(chǎn)量為

11、萬件的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，總成本增加元，比當(dāng)前每件產(chǎn)品的成本元低，此時(shí)應(yīng)提高產(chǎn)量，以降低平均成本；若則在產(chǎn)量為萬件的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，總成本增加元，比元/件的成本高，此時(shí)，應(yīng)減少產(chǎn)量，以降低平均成本.即：當(dāng)邊際成本小于平均成本時(shí)，繼續(xù)生產(chǎn)；當(dāng)邊際成本大于平均成本時(shí)，應(yīng)停止生產(chǎn). C QC Q 由此可見，當(dāng)時(shí)，平均成本最低.因此企業(yè)管理者應(yīng)該把生產(chǎn)規(guī)模調(diào)整到平均成本的最低點(diǎn)處，才能使生產(chǎn)資源得到最有效的利用，增加盈利.此時(shí)的產(chǎn)量就是現(xiàn)有成本基礎(chǔ)上的最佳產(chǎn)量. 0=0 =100CC 固定成本萬元 ，如果不生產(chǎn)產(chǎn)品，生產(chǎn)資源（廠房、設(shè)備、管理人員等）就嚴(yán)重浪費(fèi)，而生產(chǎn)產(chǎn)品，又要消耗新的

12、生產(chǎn)資源 原材料、燃料、勞動(dòng)力等 .使生產(chǎn)資源得到最充分的利用，也就是產(chǎn)品的平均成本最低?142021-11-214 00()().(QR Q 2 2：當(dāng)當(dāng)銷銷售售量量達(dá)達(dá)到到時(shí)時(shí)，如如果果或或銷銷售售一一個(gè)個(gè)單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品，則則總總收收益益將將相相通通過過分分少少減減析析邊邊多多增增際際收收經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)益益，應(yīng)應(yīng)或或個(gè)個(gè)單單位位. .挖挖掘掘市市場(chǎng)場(chǎng)最最意意義義少少3 3大大潛潛力力加加5 、 邊邊際際收收益益 00( )()()()RR QR QR QQQQQPR QQPQP Q 1 1 定定義義：設(shè)設(shè)， 為為銷銷售售量量，稱稱它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱. .稱稱為為銷銷售售量量為為時(shí)時(shí)

13、的的. .銷銷售售單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總收收益益為為銷銷售售量量與與價(jià)價(jià)格格之之積積總總收收益益函函數(shù)數(shù)邊邊邊邊際際收收益益際際收收益益 注注：，即即函函數(shù)數(shù)邊邊際際收收益益15 410511030PQQPQQ例 、設(shè)某產(chǎn)品的價(jià)格萬元 與銷售量噸 的關(guān)系式為，求： 當(dāng)這種產(chǎn)品的銷售量噸 時(shí)，從增加收益的角度來看，是否可以繼續(xù)提高銷售量？當(dāng)產(chǎn)品的銷售量噸 時(shí)呢？2 如果你是該公司的銷售經(jīng)理，你該怎么制定該產(chǎn)品的銷售計(jì)劃？提問：已知價(jià)格函數(shù)，怎么求總收益函數(shù)？邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義是什么？16 2110105521052101010106/51016.230301030-2/53QQRR QQP Q

14、QQR QQQRQR解：由題可知銷售該產(chǎn)品的總收益為：則邊際收益為 銷售量噸 時(shí)的邊際收益為萬元 噸即在銷售量為 噸的基礎(chǔ)上，再多銷售 噸產(chǎn)品，總收益增加 萬元因此，應(yīng)該繼續(xù)提高銷售量增加收益 銷售量噸 時(shí)的邊際收益為萬元 噸即在銷售量為 012.噸的基礎(chǔ)上，再多銷售 噸產(chǎn)品，總收益減少 萬元此時(shí)，應(yīng)該減少銷售量，收益才會(huì)增加17 22102552525.R QQQQQ解：由知，當(dāng)噸 時(shí)，邊際收益大于零，總收益隨著銷售量的增加，說明市場(chǎng)還有需求；當(dāng)噸 時(shí)，邊際收益等于零，說明市場(chǎng)上該產(chǎn)品已經(jīng)飽和.當(dāng)噸 時(shí)，邊際收益小于零，隨著銷售量的增加，總收益反而減少了，說明市場(chǎng)上該產(chǎn)品已經(jīng)供大于求.因此，

15、該產(chǎn)品的最佳銷售量為25 噸 顯然，該公司不能完全依靠增加銷量來提高收益，超過一定數(shù)量的銷量就會(huì)造成銷售越多虧損越大的局面。通過分析邊際收益，我們可以挖掘市場(chǎng)的最大潛力，制定正確地、行之有效的銷售對(duì)策。182021-11-218 0000,()()( 1.4.)QQQL QR QCQLLQQL QL Q 多多1 1 定定義義：設(shè)設(shè)產(chǎn)產(chǎn)品品的的為為產(chǎn)產(chǎn)量量，稱稱它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為 ，稱稱為為當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量為為時(shí)時(shí)的的邊邊際際利利潤潤. .2 2：當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量達(dá)達(dá)到到時(shí)時(shí), ,如如果果再再生生產(chǎn)產(chǎn) 個(gè)個(gè)單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品, ,則則將將個(gè)個(gè)單單位位. .3 3 邊邊際際利利潤潤，即即邊邊際際利利潤潤由

16、由邊邊際際收收益益和和邊邊際際成成本本決決定定通通過過分分利利潤潤析析邊邊總總利利潤潤際際利利潤潤函函數(shù)數(shù)邊邊際際利利潤潤經(jīng)經(jīng)，制制定定最最優(yōu)優(yōu)生生意意增增濟(jì)濟(jì)義義產(chǎn)產(chǎn)計(jì)計(jì)劃劃加加6 、 邊邊際際利利潤潤19 00=0R QC QL QQR QC QL QQR QC QL QQ 當(dāng)時(shí)，其經(jīng)濟(jì)意義是：在產(chǎn)量的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1個(gè)單位的產(chǎn)品， 當(dāng)時(shí)，其經(jīng)濟(jì)意義是：在產(chǎn)量的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1個(gè)單位的產(chǎn)品，所增加的收益小于增加的成本，因此總利潤將減少； 所增加的收益大于增加的成本，因此總利潤有所增加； 當(dāng)時(shí)對(duì)“邊際利潤由邊際收益和邊際成本決定”的，其經(jīng)濟(jì)意義是：在產(chǎn)量說明：的基礎(chǔ)所增加的收益等于增加的

17、上，再多生產(chǎn)1個(gè)單位的成本，總利潤將不會(huì)產(chǎn)品，再增加.20 6200110.50215101520CQP P例 、某工廠每日的總成本為 萬元，其中固定成本為萬元，每生產(chǎn) 單位產(chǎn)品，成本增加萬元 該商品的需求函數(shù)為 為價(jià)格求： 生產(chǎn) 個(gè)， 個(gè)，個(gè)， 個(gè)單位產(chǎn)品的邊際利潤分別是多少？ 2 請(qǐng)你從利潤角度出發(fā)為該工廠制定最佳的生產(chǎn)計(jì)劃？ 21=200 1011502252522115200215QC C QQQPPQR QPQQQL QR QC QQQL QQ 解：設(shè)需求量為 ，則總成本為，由需求量得，從而總收益為故總利潤為，邊際利潤為 21 5101520510,105,150,2052LLLL

18、于是生產(chǎn) 個(gè)， 個(gè)， 個(gè)， 個(gè)單位產(chǎn)品的邊際利潤分別為：解：分析以上數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)產(chǎn)量為5個(gè)單位時(shí)，再多生產(chǎn)1個(gè)單位的產(chǎn)品，利潤將增加10萬元. 當(dāng)產(chǎn)量為10個(gè)單位時(shí)，再多生產(chǎn)1個(gè)單位的產(chǎn)品，利潤將增加5萬元. 當(dāng)產(chǎn)量為15個(gè)單位時(shí)，再多生產(chǎn)1個(gè)單位的產(chǎn)品，利潤不會(huì)增加.當(dāng)產(chǎn)量為20個(gè)單位時(shí)，再多生產(chǎn)1個(gè)單位的產(chǎn)品，利潤反而減少5萬 015015L QQL QQQ元. 實(shí)際上，當(dāng)，即產(chǎn)量時(shí)，利潤隨著產(chǎn)量的增加而增大；而當(dāng)，即產(chǎn)量時(shí)，隨著產(chǎn)量的增加 利潤會(huì)減少. 故當(dāng) =15時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤. 22 顯然，企業(yè)不能完全依靠增加產(chǎn)量來提高利潤，顯然，企業(yè)不能完全依靠增加產(chǎn)量來提高利潤，超過一

19、定數(shù)量就會(huì)造成生產(chǎn)越多虧損越大的局面。超過一定數(shù)量就會(huì)造成生產(chǎn)越多虧損越大的局面。 在當(dāng)今國內(nèi)外經(jīng)濟(jì)分析中，越來越多的數(shù)學(xué)知在當(dāng)今國內(nèi)外經(jīng)濟(jì)分析中，越來越多的數(shù)學(xué)知識(shí)被用做分析工具，經(jīng)濟(jì)分析走向了定量化、精密識(shí)被用做分析工具，經(jīng)濟(jì)分析走向了定量化、精密化和準(zhǔn)確化，為企業(yè)經(jīng)營者提供客觀、精確的數(shù)據(jù)化和準(zhǔn)確化，為企業(yè)經(jīng)營者提供客觀、精確的數(shù)據(jù)和視角正是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。和視角正是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。 對(duì)經(jīng)濟(jì)工作者而言，掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，為對(duì)經(jīng)濟(jì)工作者而言，掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，為科學(xué)的經(jīng)營決策提供可靠依據(jù)，是非常必要的。科學(xué)的經(jīng)營決策提供可靠依據(jù)，是非常必要的。232021-11-2

20、23二二. .彈彈性性分分析析 前面所談的函數(shù)改變量和函數(shù)變化率是絕對(duì)改變量和絕對(duì)變前面所談的函數(shù)改變量和函數(shù)變化率是絕對(duì)改變量和絕對(duì)變化率，但在經(jīng)濟(jì)問題中僅僅研究函數(shù)的絕對(duì)改變量和絕對(duì)變化率是化率，但在經(jīng)濟(jì)問題中僅僅研究函數(shù)的絕對(duì)改變量和絕對(duì)變化率是不夠的。例如，商品甲每單位價(jià)格不夠的。例如，商品甲每單位價(jià)格1010元，漲價(jià)元，漲價(jià)1 1元；商品乙每單位元；商品乙每單位價(jià)格價(jià)格10001000元，也漲價(jià)元，也漲價(jià)1 1元。兩種商品價(jià)格的絕對(duì)改變量都是元。兩種商品價(jià)格的絕對(duì)改變量都是1 1元，但元，但各與其原價(jià)相比，兩者漲價(jià)的百分比卻有很大的不同，商品甲漲了各與其原價(jià)相比，兩者漲價(jià)的百分比卻有

21、很大的不同，商品甲漲了10%10%，而商品乙漲了，而商品乙漲了0.1%0.1%。因此我們還有必要研究函數(shù)的相對(duì)改變。因此我們還有必要研究函數(shù)的相對(duì)改變量和相對(duì)變化率。量和相對(duì)變化率。 在經(jīng)濟(jì)分析中，會(huì)經(jīng)常用到彈性分析法，彈性是一個(gè)十分有用在經(jīng)濟(jì)分析中，會(huì)經(jīng)常用到彈性分析法，彈性是一個(gè)十分有用的概念。一般地說，彈性描述的是因變量對(duì)自變量的變化的反應(yīng)程的概念。一般地說，彈性描述的是因變量對(duì)自變量的變化的反應(yīng)程度，具體的說，也就是要計(jì)算自變量變化度，具體的說，也就是要計(jì)算自變量變化1 1個(gè)百分比，因變量要變個(gè)百分比，因變量要變化幾個(gè)百分比。邊際函數(shù)反映的是函數(shù)的變化率，而函數(shù)的彈性則化幾個(gè)百分比。邊

22、際函數(shù)反映的是函數(shù)的變化率，而函數(shù)的彈性則反映的是函數(shù)的相對(duì)變化率。反映的是函數(shù)的相對(duì)變化率。242021-11-224 一一 彈彈性性的的概概念念 00li1Elasticity= lim231%=m%,xxxxxxxyf xyf xxy yEEx xxEyy yxyfyExExxx、定義 設(shè)是一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)，如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn) 處的彈性，記作，即 、計(jì)算公式：若可導(dǎo)，則、經(jīng)濟(jì)意義：彈性反映了隨自變量的改變，函數(shù)變化幅度的大小，即當(dāng)改變了時(shí) 因變量 近似地 改變 25 xxyEyxxEyf xx4、1 函數(shù)的彈性是函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量比值的極限,它是函數(shù)的相對(duì)

23、變化率；2反映了對(duì) 變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度，它與變量所取得的單說明：位無關(guān).262021-11-226 3333311100110033003003103370 xxxxxxxxxyexyeexxEyexyeEx 求求函函數(shù)數(shù)在在處處的的彈彈故故例例性性. .解解：27 0( ),2/lim0/pPPPPQf PP dQPEfPQ dPQEEPQPQQ QPEfPP PQ 1 1、設(shè)設(shè)某某商商品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)為為則則需需求求函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性函函數(shù)數(shù)即即需需求求彈彈性性為為、根根據(jù)據(jù)經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)理理論論，需需求求函函數(shù)數(shù)是是單單調(diào)調(diào)減減函函數(shù)數(shù)，所所以以需需求求彈彈性性一一般般為為負(fù)

24、負(fù)值值，即即 因因?yàn)闉樾栊枨笄蠛瘮?shù)數(shù)是是單單調(diào)調(diào)減減函函數(shù)數(shù)，則則和和異異號(hào)號(hào)，又又因因?yàn)闉榕c與 是是正正數(shù)數(shù)，所所以以 二二 需需求求彈彈性性28 4 4、需求彈性需求彈性大大（小?。褪潜硎具@種商品價(jià)格的變），就是表示這種商品價(jià)格的變化，會(huì)引起需求的較化，會(huì)引起需求的較大大（小小）變化。比如，大米的）變化。比如，大米的需求彈性就很小，因?yàn)樗巧畋匦杵?，不?huì)因?yàn)樾枨髲椥跃秃苄?，因?yàn)樗巧畋匦杵罚粫?huì)因?yàn)閮r(jià)格上漲而少吃多少，因價(jià)格下跌而多吃多少。相價(jià)格上漲而少吃多少，因價(jià)格下跌而多吃多少。相比而言，時(shí)裝的需求彈性就要大一些，價(jià)格變動(dòng)對(duì)比而言，時(shí)裝的需求彈性就要大一些，價(jià)格變動(dòng)對(duì)需求量的

25、影響比較大需求量的影響比較大。 5、不同商品的需求彈性相差甚遠(yuǎn)，按照彈性值的大、不同商品的需求彈性相差甚遠(yuǎn)，按照彈性值的大小，作以下劃分小，作以下劃分：高彈性、單位彈性和低彈性高彈性、單位彈性和低彈性. 3 3、經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義： 1%ppQE當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格 上上漲漲，需需下下跌跌增增量量少少加加求求將將減減292021-11-229 pE2 2 當(dāng)當(dāng) 1 1時(shí)時(shí), ,稱稱為為高高彈彈性性. .%1pEpQ：當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格 上上升升，需需求求量量 將將. .：商商品品的的需需求求量量變變動(dòng)動(dòng)的的百百分分比比價(jià)價(jià)格格變變動(dòng)動(dòng)的的百百分分比比, ,表表明明價(jià)價(jià)格格變變動(dòng)動(dòng)對(duì)對(duì)需需求求經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義量

26、量變變動(dòng)動(dòng)的的下下影影降降大大于于說說明明響響較較大大. . pE1 1 當(dāng)當(dāng)= =1 1時(shí)時(shí), ,稱稱為為單單位位彈彈性性. .1%1%pQ：當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格，上上升升需需求求量量 將將濟(jì)濟(jì)意意下下降降經(jīng)經(jīng)義義. .商商品品的的需需求求量量變變動(dòng)動(dòng)的的百百分分比比價(jià)價(jià)格格變變動(dòng)動(dòng)的的等等于于說說明明：百百分分比比. .需需求求彈彈性性的的分分類類及及經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義30 814002130040050051AABBABABABAQPBQPPPABBA例 、設(shè)市場(chǎng)上 、 兩公司是生產(chǎn)同種有差異產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)者，且市場(chǎng)上對(duì) 、 兩公司產(chǎn)品現(xiàn)有需求量已達(dá)到飽和. 市場(chǎng)上 公司的需求函數(shù)為， 公司的需求函數(shù)

27、為，兩公司的銷售價(jià)格分別為元，元，求 、 兩公司的需求彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義；2公司的價(jià)格降到400元時(shí)，這種行為選擇是否合理？此時(shí)公司由于銷售量減少而損失多少？31 40040011140050040040020030050020025200200400.40011200240011,%.AAABABABAAAPAAPAAPPQQQQAP dQEQdPPEB 解：由，得，從而市場(chǎng)上對(duì)該產(chǎn)品的飽和需求量為公司的需求彈性為：所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)該商品是單位彈性.其經(jīng)濟(jì)意義是：如果價(jià)格上漲1 ，則需求量會(huì)下降15005005001120052115001221%.2BBBBBPBBPBBP dQEQdP

28、PE 公司的需求彈性為：所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)該商品是低彈性.其經(jīng)濟(jì)意義是：如果價(jià)格上漲1 ，則需求量會(huì)下降32 125001.2500 20010000014003004002205400 22088000.BBBBBBBBBPEBBBRPQBRRRB前后后后前解： 公司在元時(shí)，需求彈性，即低彈性公司的價(jià)格降到400元時(shí)， 公司的銷售收益會(huì)減少. 因?yàn)榻祪r(jià)前， 公司的銷售收益為 元，降價(jià)后，當(dāng)銷售價(jià)格元時(shí)，需求量，公司的銷售收益為 元 顯然，公司降價(jià)減少了它的銷售收益. 所以對(duì)于公司400 20080000400400220180400 1807200080000720008000.AABARQAR

29、A前后后追求銷售收益最大化的目標(biāo)而言，降價(jià)在經(jīng)濟(jì)上是不合理的. 另外， 公司降價(jià)前 公司的銷售收益為元降價(jià)后，由于該商品的飽和需求量為，所以則 公司的銷售收益為元，損失了元332021-11-233() .三三收收益益彈彈性性及及其其與與需需求求彈彈性性的的關(guān)關(guān)系系( )RPQRP QP f P 1 1、總總收收益益是是商商品品價(jià)價(jià)格格與與銷銷售售量量的的乘乘積積，即即( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )1( )(1).pPR Pf PPfPf PfPf Pf Pf PEPPfPf Pf 從從而而 因因此此，收收益益函函數(shù)數(shù)的的彈彈收收益益彈彈性性性性函函數(shù)數(shù) 為為

30、()()(1).()()1RppEPPER Pf PER PPf P 342021-11-2341.RpEE 2 2、收收益益彈彈性性與與需需求求彈彈性性的的關(guān)關(guān)系系： 1, 1,1%, (1)%.1%, (1)%.21,1,1%, ()%.1%, ()%.0011pRppppRpppEEEEEEEEEE 1 1 若若時(shí)時(shí)價(jià)價(jià)格格( (提提價(jià)價(jià)) )總總收收益益價(jià)價(jià)格格( (降降價(jià)價(jià)) )總總收收益益說說明明：低低彈彈性性時(shí)時(shí)降降價(jià)價(jià)會(huì)會(huì)使使總總收收益益減減少少，提提價(jià)價(jià)會(huì)會(huì)使使總總收收益益增增加加結(jié)結(jié)論論： 若若時(shí)時(shí)價(jià)價(jià)格格( (提提價(jià)價(jià)) )總總收收益益價(jià)價(jià)格格( (降降價(jià)價(jià)) )總總收收

31、上上漲漲下下跌跌減減少少下下益益說說明明：高高彈彈性性增增加加上上漲漲減減時(shí)時(shí)降降價(jià)價(jià)會(huì)會(huì)使使跌跌總總低低彈彈收收益益增增增增性性時(shí)時(shí)提提價(jià)價(jià)加加 即即少少！加加：薄薄利利多多 .31,01pRpEEE 銷銷 ，提提價(jià)價(jià)會(huì)會(huì)使使總總收收益益減減少少結(jié)結(jié)論論： 若若則則, ,提提價(jià)價(jià)或或降降價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)總總收收益益高高彈彈性性時(shí)時(shí)降降價(jià)價(jià)！的的影影響響不不大大. .352021-11-235100059QpQp設(shè)設(shè)某某商商品品需需求求函函數(shù)數(shù)為為， 為為需需求求量量，為為價(jià)價(jià)格格，請(qǐng)請(qǐng)你你通通過過分分析析其其需需求求彈彈性性，從從收收益益角角度度對(duì)對(duì)該該商商品品進(jìn)進(jìn)例例 行行定定價(jià)價(jià). . 需求價(jià)格

32、彈性的分析在經(jīng)營中特別被重視，企業(yè)如果需求價(jià)格彈性的分析在經(jīng)營中特別被重視，企業(yè)如果離開需求價(jià)格的彈性分析，就不可能達(dá)到利潤最大化的目離開需求價(jià)格的彈性分析，就不可能達(dá)到利潤最大化的目標(biāo)標(biāo). 在商品經(jīng)濟(jì)中，經(jīng)營者關(guān)心的是提價(jià)或降價(jià)對(duì)總收益在商品經(jīng)濟(jì)中，經(jīng)營者關(guān)心的是提價(jià)或降價(jià)對(duì)總收益的影響的影響. 365100052001100.010012002 10010,%pppRpRp dQppEQ dpppEppppEpppEEE 解：由彈性定義可知，需求彈性為： 首先分析當(dāng)需求相對(duì)變化率與價(jià)格相對(duì)變化率相等，即的情形，此時(shí) 當(dāng) 時(shí)，即在這一價(jià)格范圍內(nèi)，該商品是低彈性，由需求彈性與收益彈性的關(guān)系知，

33、此時(shí)其經(jīng)濟(jì)意義是：價(jià)格1 ，則總收下跌上漲減少益增加，于是100200120010,%=100RpRpppEpEEpE 提價(jià)會(huì)使總收益增加； 當(dāng) 時(shí),，則在這一價(jià)格范圍內(nèi)，該商品是高彈性，由需求彈性與收益彈性的關(guān)系知，此時(shí)其經(jīng)濟(jì)意義是：價(jià)格1 ，則總收益，于是降價(jià)會(huì)使總收益增加； 由以上分析增上漲減少下跌 可知，為加 最優(yōu)價(jià)格.372021-11-237() .四四供供給給彈彈性性 0( ),2./lim( )0/SSPQPpEpSPQPQQ QPEPP PQ 1 1、由由供供給給函函數(shù)數(shù)為為得得供供給給函函數(shù)數(shù)的的需需求求函函數(shù)數(shù)即即為為：、根根據(jù)據(jù)經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)理理論論，供供給給函函數(shù)數(shù)為為單單

34、調(diào)調(diào)增增函函數(shù)數(shù)，所所以以供供給給彈彈性性一一般般取取正正值值 單單調(diào)調(diào)增增函函數(shù)數(shù)同同 因因?yàn)闉楣┕┙o給函函數(shù)數(shù)為為，故故與與，并并且且 與與 為為正正數(shù)數(shù)，從從而而 號(hào)號(hào)供供給給彈彈性性382021-11-238求求 導(dǎo)導(dǎo) 法法 則則基本公式基本公式導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)xyx 0lim微微 分分xydy 關(guān)關(guān) 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容392021-11-2391 1、導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的定義即即或或記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)并稱這個(gè)極限為函數(shù)并稱這個(gè)極限為函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果

35、如果取得增量取得增量相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)仍在該鄰域仍在該鄰域點(diǎn)點(diǎn)處取得增量處取得增量在在當(dāng)自變量當(dāng)自變量的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000 xxxxxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 定義定義.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 402021-11-2402. 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1. 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xf xxxx 0000000( )()()(

36、)()limlim;xxxf xf xf xxf xf xx xx 412021-11-2412 2、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式201()()ln(log)ln(sin)cos(tan)sec(sec)sectanxxaCaaaxxaxxxxxxx （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）121()()(ln)(cos)sin(cot)csc(csc)csccotxxxxeexxxxxxxxx 共共10組組422021-11-2423 3、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則( )

37、( )( ),1( )|( )yf xxyyf xfxy如如果果函函數(shù)數(shù)的的反反函函數(shù)數(shù)為為則則有有432021-11-243(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)(4) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: : ( )( )v xu x和和冪冪指指函函多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)相相乘乘數(shù)數(shù)( (除除) )(5) 隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求

38、導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).442021-11-2444 4、高階導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù),)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù), 1,( )( ),f xnf xn 一一般般地地 函函數(shù)數(shù)的的階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 記記作作.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))452021-11-245000000000 ( ),()()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxoxAxyf