彈性力學(xué)的半逆解法

1、彈性力學(xué)的半逆解法研究 指導(dǎo)老師： 劉 平 姓 名： 曹 天 閣 班 級(jí)： 研13 學(xué) 號(hào)： M13746第 8 頁彈性力學(xué)的半逆解法研究 姓名：曹天閣 學(xué)號(hào)：M13746摘要:利用應(yīng)力平衡方程和相容方程的特點(diǎn) ，根據(jù)問題的應(yīng)力邊界條件以應(yīng)力分量的函數(shù)表達(dá)式作為試函數(shù)求解彈性力學(xué)問題。這種方法簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。本文推薦用剪應(yīng)力函數(shù)求解問題較為容易。關(guān)鍵詞:彈性力學(xué);解析法;應(yīng)力函數(shù)THE SEMI- REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITYAbstract:Stress component functions are used to s

2、olve the problems of elasticity based on the equilibrium equations and stress compatible equation according to boundary conditions。 Shear stress function is recom2mended to solve the elasticity problems。Key words:elasticity;analysis method;stress function 半逆解法是圣維南于 1856 年提出來的 ，它是求解彈性力學(xué)問題十分重要的方法 ，在彈性

3、力學(xué)中占有極重要的地位。半逆解法通常根據(jù)問題的應(yīng)力邊界條件以及結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)湊合出某應(yīng)力分量的待定函數(shù)式 ，再根據(jù)假設(shè)的該應(yīng)力分量函數(shù)式通過積分求出應(yīng)力函數(shù) <從而求得各應(yīng)力分量1。這種方法較為有效 ，但通過解平衡方程求應(yīng)力函數(shù) <時(shí)要做消元運(yùn)算 ，升高了微分方程的階數(shù) ，以至于運(yùn)算過于復(fù)雜 ，很有改進(jìn)的必要。 實(shí)際上 ，按應(yīng)力求解時(shí)只要各應(yīng)力分量滿足平衡方程、應(yīng)力相容方程和邊界條件 ，則是問題的解。可以看出 ，在不考慮體積力的情況下各應(yīng)力分量均取為常量是可以滿足所有方程的。為此 ，我們可以在假設(shè)某一應(yīng)力分量 ，利用平衡方程求出其余的應(yīng)力分量后再代入相容方程求解。這樣 ，由于未經(jīng)過

4、消元運(yùn)算 ，所以方程的階數(shù)較低 ，可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。如果所設(shè)函數(shù)不是問題的解 ，還可以通過放松邊界條件 ，進(jìn)而求出一組近似解2。由平衡方程可以看出 ，通過假設(shè)剪應(yīng)力函數(shù)而用平衡方程求出其余應(yīng)力分量較方便。 圖 1 受均布載荷的簡(jiǎn)支梁1 用應(yīng)力分量函數(shù)求解彈性力學(xué)問題的實(shí)例1. 1 受均布載荷的簡(jiǎn)支梁 平面問題的平衡方程與相容方程是 （1） 把(1) 式的前兩式分別對(duì) y 與 x 求偏導(dǎo)并且求和后再用拉普拉斯算子作用可以得到 （2） 由(2) 式可以看出函數(shù)的指數(shù)一般不超過 3 次 ，可以用三次多項(xiàng)式求解 ，也可以直 接利用材料力學(xué)結(jié)果求解 代入方程(1)的前兩式積分后可以得出 ， （3） 把(

5、3)式代入方程(1)的第三式可求出 （4） （5） 利用邊界條件 y = - h/ 2 時(shí) ，y = - q; y = h/ 2 時(shí) ，y = 0 ，得到 A = B = 0 ， C = - q/ 2;利用端部x = L 截面合力以及合力矩條件得到 ，K = 0。受均布載荷的簡(jiǎn)支梁應(yīng)力解為 （6）1. 2 半無限平面受法向集中力的弗拉芒解3 圖 2 半無限平面受集中力 對(duì)于長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于梁高度的地基梁 ，可簡(jiǎn)化為集中力用作用半無限平面上的平面應(yīng)變問題(見圖 2) 。利用極坐標(biāo)求解 ，極坐標(biāo)下的平面問題平衡方程與相容方程是 （7） （8） 考察主應(yīng)力坐標(biāo)系下的拉梅 - 麥克斯韋爾方程3 式中，分別為

6、主應(yīng)力坐標(biāo)系下，方向的曲線坐標(biāo);，分別為主應(yīng)力坐標(biāo)系下曲線坐標(biāo)的曲率半徑。 根據(jù)邊界條件和對(duì)稱性知道為直線束 ，而為圓弧。所以必有 ，利用(7) 式積分得到 。根據(jù)邊界條件可知 ，當(dāng)，。把這一結(jié)果代入平衡方程的另一式 ，則有 （9） 解得，再帶入相容方程，得到 （10） 方程(10) 的解是，所以 （11） 利用分布在半徑為的半圓上的合力為 F的條件 ，可得到(11) 式中的代定常數(shù)。 由此得出 ，弗拉芒解為 （12）1. 3 薄板柱面彎曲的近似解 圖 3 對(duì)邊簡(jiǎn)支板受均布載荷 一個(gè)對(duì)邊簡(jiǎn)支，長(zhǎng)為b ，寬為a ( a b) ，厚度為 t 的薄板受集度為 q 的均布載荷作用(見圖 3) ，下面給

7、出近似解。空間問題不計(jì)體積力的平衡方程和相容方程為 （13）， 由于把 y 向的長(zhǎng)度 b 視為無限長(zhǎng)的柱面彎曲 ，則該問題簡(jiǎn)化成兩維問題 ，所有應(yīng)力分量均不含自變量 y。顯然各應(yīng)力分量均取為常量是可以滿足所有方程的 ，或者各分量增加一個(gè)常數(shù)項(xiàng) ，它們?nèi)阅軡M足所有方程。為此 ，可以參考材料力學(xué)中梁的解 ，取，。原方程組為 （13） 把所取的應(yīng)力分量分別代入(13)式中的各方程 ，可以求 （14） 把(14)式代入相容方程 解之可得到問題的解 ， ， （15） 這個(gè)結(jié)果對(duì)相對(duì)兩邊受約束的狹長(zhǎng)板來說也有相當(dāng)滿意的精度 ，而且與一般求解板的位移法相比其求解過程大大簡(jiǎn)化了。2 結(jié)論 (1)通過以上實(shí)例可以看出 ，直接按應(yīng)力的平衡方程及相容方程通過用應(yīng)力分量函數(shù)的方法求解彈性力學(xué)問題可以大大簡(jiǎn)化求結(jié)果程。 (2)由材料力學(xué)中儒拉夫公式的推導(dǎo)過程及彈性力學(xué)理論分析的結(jié)果知道 ，彈性體內(nèi)的剪應(yīng)力對(duì)邊界條件敏感性較差 ，借用材料力學(xué)的剪應(yīng)力函數(shù)求解往往能得出較為滿意的結(jié)果。 (3)認(rèn)真分析彈性體內(nèi)各應(yīng)力分量的分布特點(diǎn) ，從而給出某應(yīng)力分量的函數(shù)形式極為重要 ，可以借用已有的相近問題的一些