高二數(shù)學(xué)第一節(jié)橢圓

1、一一生生活活中中的的橢橢圓圓如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？橢圓的畫法橢圓的畫法二二 1 .橢圓定義橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)的距離和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦橢圓的焦點(diǎn)點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距 12,f f1 2|ff注意注意:橢圓定義中容易遺漏的三處地方：橢圓定義中容易遺漏的三處地方： （1） 必須在平面內(nèi)必須在平面內(nèi); （2）兩個(gè)定點(diǎn)）兩個(gè)定點(diǎn)-兩點(diǎn)間距離確定兩點(diǎn)間距離確定

2、;(常記作常記作2c) （3）繩長(zhǎng)）繩長(zhǎng)-軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定. (常記作常記作2a, 且且2a2c)?p?f?2?f?1若2a=f1f2軌跡是什么呢？軌跡是軌跡是一條線段一條線段若2a0)，m與與f1和和f2的距離的的距離的和等于正和等于正常數(shù)常數(shù)2a (2a2c) ，則，則f1、f2的的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是( c,0)、(c,0) .由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：amfmf2|21222221)(| ,)(|ycxmfycxmf代入坐標(biāo)代入坐標(biāo)aycxycx2)()(2222 得方程（問(wèn)題：下面怎樣（問(wèn)題：下面怎樣化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)？）？）

3、xf1f2m0y移項(xiàng)，再平方移項(xiàng)，再平方2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得整理得整理得)()(22222222caayaxca由橢圓定義可知由橢圓定義可知設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca222222bayaxb 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax0 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 21f2fxyo),(yxm叫做叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦

4、點(diǎn)是 ，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 ,其中12(,0)( ,0)fcf c222cba 如果橢圓的焦點(diǎn)在如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上軸上,那么橢圓那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢? 如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上（選取方式不同，調(diào)換x,y軸）如圖所示,焦點(diǎn)則變成 只要將方程中 的 調(diào)換，即可得12222byaxyx,12(0,),(0, )fc fc a a2 22 22 20 0b ba a1 1y yb bx x2 2.p01f2fxy（，a）(0,-a)也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。3.3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :1 12 2yoffmx焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸：軸：01

5、2222babyax1ofyx2fm焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸：軸：)0( 12222babxay總體印象：對(duì)稱、簡(jiǎn)潔，總體印象：對(duì)稱、簡(jiǎn)潔，“像像”直線方程的截距直線方程的截距式式0 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)f( (c，0)0)f(0(0，c) )a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2|mf1|+|mf2|=2a (2a2c0)定定 義義1 12 2yoffmx1ofyx2fm注注: :共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；中心在坐標(biāo)原

6、點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是方程的左邊是平方和，右邊是1.2x2y不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大.22,ba 若是若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).練習(xí)練習(xí)1.下列方程哪些表示橢圓？下列方程哪些表示橢圓？11616) 1 (22yx0225259)4(22yx11625)2(22yx11) 3(2222mymx123)5(22yx11624)6(22kykx?練習(xí)練習(xí)2.2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

7、(1)a= ,b=1,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上；軸上；6(2)焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為f1(0,3)，f2(0,3),且且a=5；(3)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是兩個(gè)焦點(diǎn)分別是f1(2,0)、f2(2,0),且過(guò)且過(guò)p(2,3)點(diǎn)；點(diǎn)； (4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(2,0)和和q(0,3).2216xy2212516yx2211612xy22xy+=149小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；定量：求定量：求a, b的值的值.練習(xí)練習(xí)3. 已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，請(qǐng)，請(qǐng)?zhí)羁眨禾羁眨?1) a=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為_

8、，焦距等于，焦距等于_.(2)若若c為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，f1、f2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)， 并且并且cf1=2,則則cf2=_. 1162522yx116922yx543(-3,0)、(3,0)68變式：變式： 若橢圓的方程為若橢圓的方程為 ,試口答完成（試口答完成（1）.14491622yx練習(xí)練習(xí)4.4.已知方程已知方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x x軸軸上的橢圓，則上的橢圓，則m的取值范圍是的取值范圍是 . .22xy+=14m(0,4) 變式：方程變式：方程 ，分別求方程滿足，分別求方程滿足下列條件的下列條件的m的取值范圍：的取值范圍：表示一個(gè)圓；表示一個(gè)圓

9、；表示一個(gè)橢圓；表示一個(gè)橢圓；表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。軸上的橢圓。1m16ym25x22解：以兩焦點(diǎn)所解：以兩焦點(diǎn)所在直線為在直線為x軸，線段軸，線段 的垂直平分線為的垂直平分線為y軸軸,建立建立平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系xoy。2, 1ff21ff)0( 12222 babyaxxy0f1f2m則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:根據(jù)題意根據(jù)題意:2a=3,2c=2.4,所以：所以：b2=1.52-1.22=0.81因此，這個(gè)橢圓的方程為：因此，這個(gè)橢圓的方程為：181. 025. 222 yx待定系數(shù)法例例2、過(guò)橢圓、過(guò)橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)的一個(gè)焦點(diǎn) 的直線與橢圓的直線與橢圓交于交于a、b兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求 的周長(zhǎng)。的周長(zhǎng)。2241xy1f2abfyxoab1f2f一種方法：一種方法：二類方程二類方程:三個(gè)意識(shí)：三個(gè)意識(shí)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 12222byax0 12222babxay求美意識(shí)，求美意識(shí)， 求簡(jiǎn)意識(shí)，前瞻意識(shí)求簡(jiǎn)意識(shí)，前瞻意識(shí)已知橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢已知橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)。今有一個(gè)水平放置的臺(tái)球個(gè)焦點(diǎn)。今有一個(gè)水平