數(shù)列的極限講解

1、第二節(jié) 數(shù)列的極限一、一、 數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義二、二、 收收斂數(shù)列的斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)三、三、 收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則引例引例設(shè)有半徑為設(shè)有半徑為 r 的圓的圓 ,用其內(nèi)接正用其內(nèi)接正 n 邊形的面邊形的面積積an 逼近圓面積逼近圓面積 s . 劉徽割圓術(shù)劉徽割圓術(shù)(公元三世紀(jì)公元三世紀(jì))概念的引入概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣于不可割，則與圓周合體而無所失矣”r正六邊形的面積正六邊形的面積1a正十二邊形的面積正十二邊形的面積2a正正 形的面積形的面積126 nna,321naaaas2 2、截丈問題：、截丈問

2、題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 x第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為;212122 x為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖長(zhǎng)總和;2121212nnxn 天天截截下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)總總和和為為第第nnx211 1一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號(hào)依次排列的一列數(shù)編號(hào)依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的列的項(xiàng)項(xiàng),nx稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 ,

3、2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 隨著隨著n 趨于無窮趨于無窮, 數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)有以下通項(xiàng)有以下兩種兩種變變化趨勢(shì)化趨勢(shì):時(shí)的變化趨勢(shì)：時(shí)的變化趨勢(shì)：當(dāng)當(dāng)觀察上述數(shù)列觀察上述數(shù)列 n可以看到可以看到,通項(xiàng)無限趨近于通項(xiàng)無限趨近于 一個(gè)確定的常數(shù)一個(gè)確定的常數(shù);

4、(2) 通項(xiàng)不趨近于任何確定的常數(shù)通項(xiàng)不趨近于任何確定的常數(shù).問題問題: 當(dāng)當(dāng) 無限增大時(shí)無限增大時(shí), 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有

5、,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只只要要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,)1(時(shí)時(shí)只要只要 nn.1成成立立有有 nx定義定義 如果對(duì)于如果對(duì)于任意給定的正數(shù)任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)n, ,使得對(duì)于使得對(duì)于nn 時(shí)的時(shí)的一切一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的的無無限限接

6、接近近與與刻刻劃劃了了不不等等式式axaxnn . 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) nx1x2x2 nx1 nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè)內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)naaxnnn :定義定義n 其中其中;:每每一一個(gè)個(gè)或或任任給給的的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 ., 0, 0lim axnnnaxnnn恒有恒有時(shí)時(shí)使使數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任

7、給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 n取取,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(cxccxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證證cxn cc ,成立成立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù).limcxnn 說明說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是關(guān)鍵是任意給任意給定定 尋找尋找n,但不必要求最小的但不必要求最小的n., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,

8、0 nnqx,lnln qn,lnlnqn 取取,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設(shè)設(shè)證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axnnnn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)axaxaxnnn 從從而而有有aaxn a1 例例4-1證證. 1lim1 nnaa時(shí)時(shí)，證證明明當(dāng)當(dāng)注意到注意到. 1 na, 0 為了使為了使 1na. 1 na, 01 nna 令令于是于是 a =nn)1( nnnn 1nnnn 1

9、nan 因此因此,an , an取取則當(dāng)則當(dāng)n n 時(shí)時(shí),有有nna 1nna 1. . 1lim nna即即只要使只要使, na 二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1、有界性有界性定定義義: 對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)列列nx, 若若存存在在正正數(shù)數(shù)m, 使使得得一一切切自自然然數(shù)數(shù)n, 恒恒有有mxn 成成立立, 則則稱稱數(shù)數(shù)列列nx有有界界,否否則則, 稱稱為為無無界界.例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn)nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,mm 上上.有界有界無界無界收斂數(shù)列的有界性收斂數(shù)列的有界性 nx如果數(shù)列如果數(shù)列收斂收斂,那么數(shù)列那么數(shù)列 nx一定有界一

10、定有界.問題問題 對(duì)于無限多項(xiàng)對(duì)于無限多項(xiàng)，.),2, 1( nxn如何求如何求 m ？ m可可取取.1,.,max21 axxxn定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axnnnn時(shí)時(shí)恒恒有有使使得得當(dāng)當(dāng)則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxmn記記,mxnn 皆有皆有則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的有界性是數(shù)列收斂的必要條件必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .關(guān)系關(guān)系： 收斂收斂 有界有界 nx nx注注極限的唯一性極限的唯

11、一性2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義,使使得得., 021nn ;1 axnnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng);2 bxnnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng) ,max21nnn 取取時(shí)時(shí)有有則則當(dāng)當(dāng)nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時(shí)才能成立時(shí)才能成立上式僅當(dāng)上式僅當(dāng)ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.例例5.)1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對(duì)于對(duì)于,21,成成立立有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)則則 axnnnn),21,21

12、(, aaxnnn時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為區(qū)間長(zhǎng)度為1.,1, 1兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)無無休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取而而 nx不可能同時(shí)位于不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的的區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實(shí)上事實(shí)上nx 3、保號(hào)性、保號(hào)性 定理定理3 若若 =a,a0（或（或a0），則），則n0,當(dāng)當(dāng)nn時(shí)時(shí), 0（或（或 0）.limnnxnxnx證證 由極限定義由極限定義 ，對(duì)，對(duì) ， ，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)， ，即，即 ，故當(dāng)，故當(dāng) 時(shí)時(shí) ， .類似可證類似可證 的情形的情形.02a 0n nn 2naxa 322naxa nn 02nax 0a3、子數(shù)列的收斂性、子數(shù)列的收斂性 的子

13、數(shù)列（或子列）的子數(shù)列（或子列）的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項(xiàng)在原數(shù)列這些項(xiàng)在原數(shù)列保持保持中任意抽取無限多項(xiàng)并中任意抽取無限多項(xiàng)并定義：在數(shù)列定義：在數(shù)列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 項(xiàng)項(xiàng)，顯顯然然，中中卻卻是是第第在在原原數(shù)數(shù)列列而而項(xiàng)項(xiàng)，是是第第中中，一一般般項(xiàng)項(xiàng)在在子子數(shù)數(shù)列列注意：注意：例如，例如，定理定理4 4 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相同相同證證 的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列是是數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列nnxxk,limaxnn

14、., 0, 0 axnnnn恒恒有有時(shí)時(shí)使使,nk 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)kk .nnnnkkk . axkn.limaxknk 證證畢畢定義定義5 數(shù)列數(shù)列xn的項(xiàng)若滿足的項(xiàng)若滿足x1x2xnxn+1,則稱則稱數(shù)列數(shù)列xn為為單調(diào)增加數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列; 若滿足若滿足x1x2xnxn+1,則稱數(shù)列則稱數(shù)列xn為為單調(diào)單調(diào)減少數(shù)列減少數(shù)列; 當(dāng)上述不等式中等號(hào)都不成立時(shí)當(dāng)上述不等式中等號(hào)都不成立時(shí),則分別稱則分別稱xn 是是嚴(yán)格單調(diào)增加和嚴(yán)格單調(diào)減少數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)增加和嚴(yán)格單調(diào)減少數(shù)列.收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則 單調(diào)增加且有上界的數(shù)列必有極限單調(diào)增加且有上界的數(shù)列必有極限;單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限單調(diào)減少

15、有下界的數(shù)列必有極限.三、收斂準(zhǔn)則.)11(,)111()11(,111,11)1()(1()(,0.)11(.)11(5111111是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的即即數(shù)數(shù)列列得得代代入入取取即即有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)單單調(diào)調(diào)增增加加且且有有上上界界只只需需證證明明證證收收斂斂證證明明數(shù)數(shù)列列例例nnnnnnnnnnnnnnnnnnbnabnabnaabanbabbaabababann enennnnnnnnnnbnannnnnnnnnn)11 (lim,)11()11(,)11(, 2 , 1, 4)211 (4)211 ()1211 (, 2 , 1, 4)211 (, 2)211 (,1,2112122即的極限記為將收斂由收斂準(zhǔn)則可知有界即數(shù)列成立對(duì)一切所以又由于從而得代入取五、