相似專題六：圓與相似

1、a127.2.1常見圓中相似問題常見圓中相似問題a2第一部分 圓中的相似模型母子型（尤其是直角三角形的母子型）a3 如圖，AB是 O的直徑，點(diǎn)C在圓上，CDAB，DEBC，則圖中與ABC相似的三角形的個(gè)數(shù)有( ) A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)a4如圖，A、B、C、D是 O上的四個(gè)點(diǎn)，AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE=3，ED=4， ACEBDE (2) ABEADB (2)求AB的長度 a5如圖，AB是 O的直徑，點(diǎn)E是 上的一點(diǎn)，DBC=BED （1）求證：BC是 O的切線； （2）已知AD=3，CD=2，求BC的長 ADa6如圖，在ABC中，BA=BC，以AB為直徑作 O，交AC于點(diǎn)

2、D，連接DB，過點(diǎn)D作DEBC，垂足為E（1）求證：DE為 O的切線；（2）求證：DB2=AB * BEa7第二部分 圓中輔助線1.直徑所對的圓周角是90度2.有切線連切點(diǎn)和圓心a8如圖，直線 與半徑為4 的 相切于點(diǎn) ， 是 上 的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn) 作 ，垂足為 ，連接 。 設(shè) ， ，則 的最大值是_ a9如圖，在 中， ，以 為直徑的 交 于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) 。 （1）求證： 。（2）若 ， ，求 的長。a10如圖，以 的一邊 直徑的半圓與其它兩邊 ， 的交點(diǎn)分別為 ， ，且 。 （1）試判斷 的形狀。（2）已知半圓的半徑為5， ，求AD的值。a11如圖， 是 的直徑， 點(diǎn)在 上

3、， 的平分線交 于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 的垂線交 的延長線于點(diǎn) ，連接 交 于點(diǎn) （1）猜想 與 的位置關(guān)系，并證明你的猜想。（2）若 ， ，求 的長。a12DEFPCBAa13回顧與反思圓與相似三角形綜合題解題思路圓與相似三角形綜合題解題思路平行法SSSSASHLAA圓ABCDEF三角形相似對應(yīng)角相等對應(yīng)邊成比例a14 在在 O中，弦中，弦AB，CD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P,連連接接AC.已知已知AC=2，BD=4，AP=1。 (1) 證明證明ACP DBP; (2) 求線段求線段DP的長的長.OPDCBA基礎(chǔ)練習(xí)同弧所對的圓周角相等同弧所對的圓周角相等.a15 在在 O中，弦中，弦AB，CD相交于點(diǎn)相

4、交于點(diǎn)P,點(diǎn)點(diǎn)A為為CD弧中點(diǎn)弧中點(diǎn),連接連接AC,BD,AD,已知已知AP=2，BP=4. (1) 證明證明ADP ABD (2) 求線段求線段AD 的值的值OPDCBA中考變式2等弧所對的圓周角相等等弧所對的圓周角相等.a16 如圖如圖,已知已知AB是是 O的直徑的直徑,點(diǎn)點(diǎn)C是是 O上一點(diǎn)上一點(diǎn),連接連接AC,過點(diǎn)過點(diǎn)C作作CDAB于于D點(diǎn)，點(diǎn)，E是是AB上一上一點(diǎn)點(diǎn),直線直線CE與與 O相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)F,連接連接AF與線段與線段CD的延長線交于點(diǎn)的延長線交于點(diǎn)G.(1)試說明試說明:ACGAFC.(2)若若AG=2，AF=6，求以，求以AC為邊的正方形面積為邊的正方形面積.AEDCB

5、FGO中考鏈接a17a18a19 在半徑為在半徑為r r的的O O中，直徑中，直徑ABAB直徑直徑CDCD，P P為弧為弧BCBC上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，PD PD 交交ABAB于于E E點(diǎn)，點(diǎn)，PAPA交交CDCD于于F F點(diǎn)點(diǎn). .求證求證: :(1)(1) (2) (2)四邊形四邊形ADEFADEF的面積為的面積為r r2 2DEFPCBA思維拓展2ADAEDF 圓結(jié)合三角形外角內(nèi)角等知識綜合演繹找等角.Oa20 小結(jié)圓與相似三角形綜合題解題思路圓與相似三角形綜合題解題思路平行法SSSSASHLAA圓ABCDEF三角形相似對應(yīng)角相等對應(yīng)邊成比例在圓中找到相等角的方法在圓中找到相等角的方法

6、:（ 作輔助線構(gòu)造）作輔助線構(gòu)造） 同弧或等弧所對圓周角相等。同弧或等弧所對圓周角相等。 結(jié)合三角形外角內(nèi)角等知識綜合演繹。結(jié)合三角形外角內(nèi)角等知識綜合演繹。直徑配垂直。直徑配垂直。a21練習(xí)練習(xí)1 如圖，如圖，AD是是ABC的高，的高，AE是是ABC外接圓外接圓 O的直徑，且的直徑，且AC=5，AD=4，AB=求圓的直徑求圓的直徑AE的長（改為求圓的面積呢）的長（改為求圓的面積呢）4 2鞏固練習(xí)a22中考題解析中考題解析練習(xí)練習(xí)2a23中考題解析中考題解析考查了圓周角定理、垂徑定理考查了圓周角定理、垂徑定理 ,相似三角形的相似三角形的判定與性質(zhì)判定與性質(zhì)分析：分析：（1）證明：如圖）證明：如

7、圖A與與B都是對弧都是對弧CD的圓周角，的圓周角， A=B， 又又1=2， ADEBCE； a24中考題解析中考題解析考查了圓周角定理、垂徑定理一相似三角形考查了圓周角定理、垂徑定理一相似三角形的判定與性質(zhì)此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)的判定與性質(zhì)此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用合思想的應(yīng)用 2）證明：如圖，）證明：如圖，AD2=AEAC，又又A=A，ADEACD，AED=ADC，又，又AC是是 O的直徑，的直徑，ADC=90，即，即AED=90，直徑直徑ACBD，CD=CBa25練習(xí)練習(xí)3ABC中，中，AB=AC，以，以AB為直徑為直徑的的 O交交BC于于D，交，交AC于于E。若若AB=6，C

8、D=2，求，求CE的長。的長。ABCDO圖圖1a26證明：證明：AB是是 O的直徑，的直徑， ACB=90，又又CDAB于于D，BCD=A，A=F，F(xiàn)=BCD=BCG，在，在BCG和和BFC中，中，BCGBFC練習(xí)練習(xí)4 （湖北（湖北黃岡卷）如圖，已知黃岡卷）如圖，已知AB是是 O的直的直徑，點(diǎn)徑，點(diǎn)C是是 O上一點(diǎn)，連結(jié)上一點(diǎn)，連結(jié)BC，AC，過點(diǎn)，過點(diǎn)C作直作直線線CDAB于點(diǎn)于點(diǎn)D，點(diǎn)，點(diǎn)E是是AB上一點(diǎn)，直線上一點(diǎn)，直線CE交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)F，連結(jié)，連結(jié)BF，與直線，與直線CD交于點(diǎn)交于點(diǎn)G求證：求證：BFBGBC2BCBFBGBC2BCBGBFa27解：延長解：延長CG交交 O于點(diǎn)于

9、點(diǎn)M,ABCM直徑BCBM,MCBCFB是公共角，又CBFGCBCFBBFBGBC2BCBFBGBCa28練習(xí)練習(xí)5 ABC內(nèi)接于內(nèi)接于 O，D是是 O上一點(diǎn)，連結(jié)上一點(diǎn)，連結(jié)BD、CD、AC、BD，交，交于點(diǎn)于點(diǎn)E。(1)請找出圖中的相似三角形，并加以證請找出圖中的相似三角形，并加以證明；明；(2)若若D=45，BC=2，求，求 O的的面積。面積。ABCDOEa29相似基本圖形相似基本圖形1. 平行相似平行相似 2.兩角相等兩角相等“A”字型字型“X”字型字型（1=C）(DEBC)平移平移雙垂圖雙垂圖 角特殊化角特殊化特別注意直角三角形的相似特別注意直角三角形的相似a30中考題如圖中考題如圖

10、3，在，在RtABC中，中，C=90，點(diǎn)，點(diǎn)D是是AC的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且A+CDB=90，過點(diǎn)，過點(diǎn)A，D作作 O，使圓心，使圓心O在在AB上，上， O與與AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)E（1）求證：直線）求證：直線BD與與 O相切；相切；（2）若）若AD：AE=4：5，BC=6，求，求 O的直徑的直徑分析：連接分析：連接OD，由，由A=ADO,進(jìn)而得到進(jìn)而得到ODB=90,直線直線BD 與與 O相切；連接相切；連接DE,利用利用ADEACB,進(jìn)而得到進(jìn)而得到AC：AB=4：5,求出結(jié)果。求出結(jié)果。a31 1.如圖，已知如圖，已知 O的兩條弦的兩條弦AB、CD交于交于E，AE=BE=6,ED=4，則，則C

11、E=_.CDBAE9OAEBCDa322、已知：如圖，、已知：如圖，ABC內(nèi)接于內(nèi)接于 O，AD是是 O的直徑，的直徑，AEBC于點(diǎn)于點(diǎn)E，AB=6，AC=5，AE=4，求，求AD的長。的長。CABDOEa333、如圖，、如圖，ABC是是 O的內(nèi)接三角的內(nèi)接三角形，形，D是是AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BD交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E。(1)CDE與與BDC相似嗎？為什么？相似嗎？為什么？(2)若若DEDB=16，求，求DC的長。的長。DCABOEa34練習(xí)1：如圖，A、B、C、D是 O上的四個(gè)點(diǎn)，AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE=3，ED=4，則AB的長為_a35練習(xí)2：如圖,等邊ABC中內(nèi)接于圓O,D為弧

12、AC上一點(diǎn),CD的延長線與BA的延長線交于E,若AB=根號15,DE=2,則CD的長為a364.（ 2012 黃岡）如圖，在 ABC中， BA BC，以 AB為直徑作半圓 O，交 AC于點(diǎn) D連接 DB，過點(diǎn) D作 DE BC，垂足為點(diǎn) E（ 1 ）求證： DE為 O的切線（2 ）求證： DB 2 AB BEa375.如圖，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，AD垂直于過點(diǎn)C的直線，垂足為D，且AC平分BAD(1)求證：CD是 O的切線；(2)若AC2根號6，AD4，求AB的長a38練習(xí)1（2012大連）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，CAB的平分線交O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長線于點(diǎn)

13、E，連接BC交AD于點(diǎn)F（1）猜想ED與O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的長a39練習(xí)2 如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，AE和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為E，AE交O于點(diǎn)D，直線EC交AB的延長線于點(diǎn)P，連接AC，BC，PBPC12.（1）求證：AC平分BAD；（2）探究線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若AD3，求ABC的面積.a40練習(xí)3如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，PD切O于點(diǎn)C，BDPD，垂足為D，連接BC（1）求證：BC平分PDB；（2）求證：BC2=ABBD；（3）若PA=6，PC=6根號2，求BD的長a416

14、.如圖，已知如圖，已知AB為為 O的直徑，點(diǎn)的直徑，點(diǎn)C是是 O上上一點(diǎn)（不與一點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作作 O的切的切線線CD,過點(diǎn)過點(diǎn)A作作CD的垂線，垂足是的垂線，垂足是M點(diǎn)點(diǎn). 若若AB=6，AM=4，求，求AC的長的長. MBOACDa427已知：如圖，已知：如圖，AB為為 O的直徑，弦的直徑，弦ACOD, BD切切 于于B,聯(lián)結(jié)聯(lián)結(jié)CD（1）判斷）判斷CD是否為是否為 O的切線，若是請證明；若的切線，若是請證明；若不是請說明理由不是請說明理由（2）若）若AC=2,OD=6,求求 O的半徑的半徑DCBAOa438. 如圖，如圖，AB為為 O的直徑，的直徑，AB=4，點(diǎn)

15、，點(diǎn)C在在 O上，上， CFOC，且，且CF=BF. v求證：求證：BF是是 O的切線的切線;v設(shè)設(shè)AC與與BF的延長線交于點(diǎn)的延長線交于點(diǎn)M，若，若MC=6，求求AC的長；求的長；求M的大??；的大??；MCF的大小的大小.AFCOBMa44題型分類題型分類深度剖析深度剖析【例例 1 1】(2014(2014玉林玉林) )如圖的如圖的O O中，中，ABAB為直徑，為直徑，OCABOCAB， 弦弦CDCD與與OBOB交于點(diǎn)交于點(diǎn)F F，過點(diǎn)，過點(diǎn)D D、A A分別作分別作O O的切線交于點(diǎn)的切線交于點(diǎn) G G，并與，并與ABAB延長線交于點(diǎn)延長線交于點(diǎn)E.E. (1) (1)求證：求證：1 12.

16、2. (2) (2)已知：已知：OFOBOFOB1313，O O的的 半徑為半徑為3 3，求，求AGAG的長的長 典例精析典例精析a45題型分類題型分類深度剖析深度剖析【例例 2 2】(2014(2014咸寧咸寧) )如圖，已知如圖，已知ABAB是是O O的直徑，直線的直徑，直線CDCD 與與O O相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)C C，ADCDADCD于點(diǎn)于點(diǎn)D.D. (1) (1)求證：求證：ACAC平分平分DABDAB； (2)(2)若點(diǎn)若點(diǎn)E E為為 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，ADAD ，ACAC8 8，求，求ABAB和和CECE的長的長 典例精析典例精析a46題型分類題型分類對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練1. 1. (20

17、14(2014荊門荊門) )如圖，如圖，ABAB是半圓是半圓O O的直徑，的直徑，D D、E E是半圓上任是半圓上任 意兩點(diǎn)，連接意兩點(diǎn)，連接ADAD、DEDE、AEAE與與BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C C，要使，要使ADCADC與與 ABDABD相似，可以添加一個(gè)條件下列添加的條件中錯(cuò)相似，可以添加一個(gè)條件下列添加的條件中錯(cuò) 誤的是誤的是 ( () ) A. ACD A. ACDDAB DAB B. ADB. ADDEDE C. AD C. AD2 2BDCD BDCD D. ADABD. ADABACBD ACBD 對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練a47題型分類題型分類對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練2. 2. (2014

18、(2014內(nèi)江內(nèi)江) )如圖，如圖，RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，ACAC4 4， BCBC6 6，以斜邊，以斜邊ABAB上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)O O為圓心所作的半圓分別與為圓心所作的半圓分別與 ACAC、BCBC相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)D D、E E，則，則ADAD為為 ( () ) A. 2.5 A. 2.5 B. 1.6 B. 1.6 C. 1.5 C. 1.5 D. 1 D. 1 對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練a48題型分類題型分類對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練3. 3. (2014(2014綿陽綿陽) )如圖，如圖，ABAB是半圓是半圓O O的直徑，的直徑，C C是半圓是半圓O O上一點(diǎn)，上一點(diǎn)， OQB

19、COQBC于點(diǎn)于點(diǎn)Q Q，過點(diǎn)，過點(diǎn)B B作半圓作半圓O O的切線，交的切線，交OQOQ的延長線于的延長線于 點(diǎn)點(diǎn)P P，PAPA交半圓交半圓O O于于R R，則下列等式中正確的是，則下列等式中正確的是 ( () ) 對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練a49題型分類題型分類對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練4. 4. (2014(2014南寧南寧) )如圖，如圖，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACACBCBC a a，以斜邊，以斜邊ABAB上的點(diǎn)上的點(diǎn)O O為圓心的圓分別與為圓心的圓分別與ACAC、BCBC相切于點(diǎn)相切于點(diǎn) E E、F F，與，與ABAB分別交于點(diǎn)分別交于點(diǎn)G G、H H，且，且EHEH的延長線

20、和的延長線和CBCB的延長的延長 線交于點(diǎn)線交于點(diǎn)D D，則，則CDCD的長為的長為_ 對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練a50題型分類題型分類對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練6. 6. (2014(2014陜西陜西) )如圖，如圖，O O的半徑為的半徑為4 4，B B是是O O外一點(diǎn)，連接外一點(diǎn)，連接 OBOB，且，且OBOB6 6，過點(diǎn)，過點(diǎn)B B作作O O的切線的切線BDBD，切點(diǎn)為，切點(diǎn)為D D，延長，延長BOBO 交交O O于點(diǎn)于點(diǎn)A A，過點(diǎn)，過點(diǎn)A A作切線作切線BDBD的垂線，垂足為的垂線，垂足為C. C. (1) (1)求證：求證：ADAD平分平分BACBAC； (2)(2)求求ACAC的長的長 對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練a51題型分類題型分類對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練7. 7. (2014(2014資陽資陽) )如圖，如圖，ABAB是是O O的直徑，過點(diǎn)的直徑，過點(diǎn)A A作作O O的切線的切線 并在其上取一點(diǎn)并在其上取一點(diǎn)C C，連