數(shù)學(xué)必修五數(shù)列高考匯編 (2)

1、數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)D D 單元單元數(shù)列數(shù)列D1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法17 、 、2014江西卷 已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn3n2n2，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)任意的 n1，都存在 mN*，使得 a1，an，am成等比數(shù)列17解：(1)由 Sn3n2n2，得 a1S11.當(dāng) n2 時(shí)，anSnSn13n2，a1也符合上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an3n2.(2)證明：要使得 a1，an，am成等比數(shù)列，只需要 a2na1am，即(3n2)21(3m2)，即 m3n24n2.而此時(shí) mN*，且 mn，所以對(duì)任意的 n1，都存在 mN*，使得 a1，an，am成等比數(shù)列18

2、 、2014江西卷 已知函數(shù) f(x)(4x24axa2) x，其中 a0.(1)當(dāng) a4 時(shí)，求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若 f(x)在區(qū)間1，4上的最小值為 8，求 a 的值18解：(1)當(dāng) a4 時(shí)，由 f(x)2（5x2） （x2）x0 得 x25或 x2，由 f(x)0得 x0，25 或 x(2，)故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，25 和(2，)(2)因?yàn)?f(x)（10 xa） （2xa）2 x，a0，所以由 f(x)0 得 xa10或 xa2.當(dāng)x0，a10 時(shí)， f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)xa10，a2 時(shí)， f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)xa2，時(shí)，f(x)單調(diào)遞增易知 f(x

3、)(2xa)2x0，且 fa2 0.當(dāng)a21，即2a0 時(shí)，f(x)在1，4上的最小值為 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合題意當(dāng) 1a24 時(shí)，即8a2 時(shí)，f(x)在1，4時(shí)的最小值為 fa2 0，不符合題意當(dāng)a24 時(shí)，即 a8 時(shí)，f(x)在1，4上的最小值可能在 x1 或 x4 時(shí)取得，而f(1)8，由 f(4)2(6416aa2)8 得 a10 或 a6(舍去)當(dāng) a10 時(shí)，f(x)在(1，4)上單調(diào)遞減，f(x)在1，4上的最小值為 f(4)8，符合題意綜上有，a10.162014新課標(biāo)全國(guó)卷 數(shù)列an滿(mǎn)足 an111an，a82，則 a1_16.12

4、解析 由題易知 a811a72，得 a712；a711a612，得 a61；a611a51，得 a52，于是可知數(shù)列an具有周期性，且周期為 3，所以 a1a712.D2等差數(shù)列及等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和22014重慶卷 在等差數(shù)列an中，a12，a3a510，則 a7()A5B8C10D142B解析 由題意，得 a12da14d2a16d46d10，解得 d1，所以 a7a16d268.52014天津卷 設(shè)an是首項(xiàng)為 a1，公差為1 的等差數(shù)列，Sn為其前 n 項(xiàng)和若 S1，S2，S4成等比數(shù)列，則 a1()A2B2C.12D125D解析 S22a11，S44a1432(1)4a16，且 S1

5、，S2，S4成等比數(shù)列，(2a11)2a1(4a16)，解得 a112.15 、2014北京卷 已知an是等差數(shù)列，滿(mǎn)足 a13，a412，數(shù)列bn滿(mǎn)足 b14，b420，且bnan為等比數(shù)列(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和15解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，由題意得da4a1312333.所以 ana1(n1)d3n(n1，2，)設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為 q，由題意得q3b4a4b1a12012438，解得 q2.所以 bnan(b1a1)qn12n1.從而 bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知 bn3n2n1(n1，2，)數(shù)列3n的前 n 項(xiàng)

6、和為32n(n1)，數(shù)列2n1的前 n 項(xiàng)和為 112n122n1，所以，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為32n(n1)2n1.17 ，2014福建卷 在等比數(shù)列an中，a23，a581.(1)求 an；(2)設(shè) bnlog3an，求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.17解：(1)設(shè)an的公比為 q，依題意得a1q3，a1q481，解得a11，q3.因此，an3n1.(2)因?yàn)?bnlog3ann1，所以數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Snn（b1bn）2n2n2.19 、 、2014湖北卷 已知等差數(shù)列an滿(mǎn)足：a12，且 a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)記 Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)

7、和，是否存在正整數(shù) n，使得 Sn60n800？若存在，求 n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由19解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為 d，依題意知，2，2d，24d 成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)，化簡(jiǎn)得 d24d0，解得 d0 或 d4，當(dāng) d0 時(shí)，an2；當(dāng) d4 時(shí)，an2(n1)44n2，從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2 或 an4n2.(2)當(dāng) an2 時(shí)，Sn2n，顯然 2n60n800 成立當(dāng) an4n2 時(shí)，Snn2（4n2）22n2.令 2n260n800，即 n230n4000，解得 n40 或 n60n800 成立，n 的最小值為 41.綜上，當(dāng) an2 時(shí)，不存在滿(mǎn)足

8、題意的正整數(shù) n；當(dāng) an4n2 時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù) n，其最小值為 41.16 、2014湖南卷 已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Snn2n2，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和16.解：(1)當(dāng) n1 時(shí)，a1S11；當(dāng) n2 時(shí)，anSnSn1n2n2（n1）2（n1）2n.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和為 T2n，則 T2n(212222n)(12342n)記 A212222n，B12342n，則 A2（122n）1222n12，B(12)(34)(2n1)

9、2nn.故數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 T2nAB22n1n2.132014江西卷 在等差數(shù)列an中，a17，公差為 d，前 n 項(xiàng)和為 Sn，當(dāng)且僅當(dāng) n8 時(shí) Sn取得最大值，則 d 的取值范圍為_(kāi)13.1，78解析 由題可知 a80 且 a90 且 78d0，所以1d78.92014遼寧卷 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列，則()Ad0Bd0Ca1d0Da1d09D解析 令 bn2a1an，因?yàn)閿?shù)列2a1an為遞減數(shù)列，所以bn1bn2a1an12a1an2a1(an1an)2a1d1，所以 a1d0，所以 d2.從而 an2n1，Snn2(nN*)(2)由(1)得 a

10、mam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由 m，kN*知 2mk1k11，故2mk113，k15，所以m5，k4.16 、2014重慶卷 已知an是首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列，Sn表示an的前 n 項(xiàng)和(1)求 an及 Sn；(2)設(shè)bn是首項(xiàng)為 2 的等比數(shù)列，公比 q 滿(mǎn)足 q2(a41)qS40，求bn的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和 Tn.16解：(1)因?yàn)閍n是首項(xiàng) a11，公差 d2 的等差數(shù)列，所以ana1(n1)d2n1.故 Sn13(2n1)n（a1an）2n（12n1）2n2.(2)由(1)得 a47，S416.因?yàn)?q2(a41)qS40

11、，即 q28q160，所以(q4)20，從而 q4.又因?yàn)?b12，bn是公比 q4 的等比數(shù)列，所以 bnb1qn124n122n1.從而bn的前 n 項(xiàng)和 Tnb1（1qn）1q23(4n1)D3等比數(shù)列及等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和122014安徽卷 如圖 13，在等腰直角三角形 ABC 中，斜邊 BC2 2，過(guò)點(diǎn) A 作BC 的垂線，垂足為 A1；過(guò)點(diǎn) A1作 AC 的垂線，垂足為 A2；過(guò)點(diǎn) A2作 A1C 的垂線，垂足為A3；.依此類(lèi)推，設(shè) BAa1，AA1a2，A1A2a3，A5A6a7，則 a7_圖 1312.14解析 在等腰直角三角形 ABC 中，斜邊 BC22，所以 ABACa12

12、，由題易知 A1A2a312AB1，A6A7a7123AB212314.17 ，2014福建卷 在等比數(shù)列an中，a23，a581.(1)求 an；(2)設(shè) bnlog3an，求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.17解：(1)設(shè)an的公比為 q，依題意得a1q3，a1q481，解得a11，q3.因此，an3n1.(2)因?yàn)?bnlog3ann1，所以數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Snn（b1bn）2n2n2.13 、 2014廣東卷 等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)， 且 a1a54， 則 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_13 5解析 在等比數(shù)列中， a1a5a2a4a234.因

13、為 an0， 所以 a32， 所以 a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a3a5325，所以 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2255.19 、 、2014湖北卷 已知等差數(shù)列an滿(mǎn)足：a12，且 a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)記 Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，是否存在正整數(shù) n，使得 Sn60n800？若存在，求 n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由19解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為 d，依題意知，2，2d，24d 成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)，化簡(jiǎn)得 d24d0，解得 d0 或 d4，當(dāng)

14、 d0 時(shí)，an2；當(dāng) d4 時(shí)，an2(n1)44n2，從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2 或 an4n2.(2)當(dāng) an2 時(shí)，Sn2n，顯然 2n60n800 成立當(dāng) an4n2 時(shí)，Snn2（4n2）22n2.令 2n260n800，即 n230n4000，解得 n40 或 n60n800 成立，n 的最小值為 41.綜上，當(dāng) an2 時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù) n；當(dāng) an4n2 時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù) n，其最小值為 41.72014江蘇卷 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若 a21，a8a62a4，則 a6的值是_74解析 由等比數(shù)列的定義可得，a8a2q6，a6a2q4，a4

15、a2q2，即 a2q6a2q42a2q2.又 an0，所以 q4q220，解得 q22，故 a6a2q41224.17 、 、2014江西卷 已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn3n2n2，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)任意的 n1，都存在 mN*，使得 a1，an，am成等比數(shù)列17解：(1)由 Sn3n2n2，得 a1S11.當(dāng) n2 時(shí)，anSnSn13n2，a1也符合上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an3n2.(2)證明：要使得 a1，an，am成等比數(shù)列，只需要 a2na1am，即(3n2)21(3m2)，即 m3n24n2.而此時(shí) mN*，且 mn，所以對(duì)任意的 n

16、1，都存在 mN*，使得 a1，an，am成等比數(shù)列18 、2014江西卷 已知函數(shù) f(x)(4x24axa2) x，其中 a0.(1)當(dāng) a4 時(shí)，求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若 f(x)在區(qū)間1，4上的最小值為 8，求 a 的值18解：(1)當(dāng) a4 時(shí)，由 f(x)2（5x2） （x2）x0 得 x25或 x2，由 f(x)0得 x0，25 或 x(2，)故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，25 和(2，)(2)因?yàn)?f(x)（10 xa） （2xa）2 x，a0，所以由 f(x)0 得 xa10或 xa2.當(dāng)x0，a10 時(shí)， f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)xa10，a2 時(shí)， f(x

17、)單調(diào)遞減； 當(dāng)xa2，時(shí)，f(x)單調(diào)遞增易知 f(x)(2xa)2x0，且 fa2 0.當(dāng)a21，即2a0 時(shí)，f(x)在1，4上的最小值為 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合題意當(dāng) 1a24 時(shí)，即8a2 時(shí)，f(x)在1，4時(shí)的最小值為 fa2 0，不符合題意當(dāng)a24 時(shí)，即 a8 時(shí)，f(x)在1，4上的最小值可能在 x1 或 x4 時(shí)取得，而f(1)8，由 f(4)2(6416aa2)8 得 a10 或 a6(舍去)當(dāng) a10 時(shí)，f(x)在(1，4)上單調(diào)遞減，f(x)在1，4上的最小值為 f(4)8，符合題意綜上有，a10.82014全國(guó)卷 設(shè)等比數(shù)列

18、an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.若 S23，S415，則 S6()A31B32C63D648C解析 設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為 a，公比為 q，易知 q1，根據(jù)題意可得a（1q2）1q3，a（1q4）1q15，解得 q24，a1q1，所以 S6a（1q6）1q(1)(143)63.52014新課標(biāo)全國(guó)卷 等差數(shù)列an的公差為 2，若 a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前 n 項(xiàng)和 Sn()An(n1)Bn(n1)C.n（n1）2D.n（n1）25A解析 由題意，得 a2，a24，a212 成等比數(shù)列，即(a24)2a2(a212)，解得 a24，即 a12，所以 Sn2nn（n1）22n(n1)19

19、 ， ，2014山東卷 在等差數(shù)列an中，已知公差 d2，a2是 a1與 a4的等比中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bnan（n1）2，記 Tmb1b2b3b4(1)nbn，求 Tn.19解：(1)由題意知，(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得 a12.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2n.(2)由題意知，bnan（n1）2n(n1)，所以 Tn122334(1)nn(n1)因?yàn)?bn1bn2(n1)，所以當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122nn2（42n）2n（n2）2，當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，TnTn1(bn)（n1） （n1）

20、2n(n1)（n1）22.所以 Tn（n1）22，n 為奇數(shù)，n（n2）2，n 為偶數(shù).16 、 、2014陜西卷 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c.(1)若 a，b，c 成等差數(shù)列，證明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若 a，b，c 成等比數(shù)列，且 c2a，求 cos B 的值16解： (1)a，b，c 成等差數(shù)列，ac2b.由正弦定理得 sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)由題設(shè)有 b2ac，c2a，b 2a.由余弦定理得 cos Ba2c2b22aca24a22a24a23

21、4.20 、 、 2014天津卷 已知 q 和 n 均為給定的大于 1 的自然數(shù)， 設(shè)集合 M0， 1， 2， ，q1，集合 Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)當(dāng) q2，n3 時(shí)，用列舉法表示集合 A.(2)設(shè) s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中 ai，biM，i1，2，n.證明：若 anbn，則 st.20解：(1)當(dāng) q2，n3 時(shí)，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3，可得 A0，1，2，3，4，5，6，7(2)證明：由 s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n 及 anb

22、n，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1（q1） （1qn1）1qqn110，所以 st.16 、2014重慶卷 已知an是首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列，Sn表示an的前 n 項(xiàng)和(1)求 an及 Sn；(2)設(shè)bn是首項(xiàng)為 2 的等比數(shù)列，公比 q 滿(mǎn)足 q2(a41)qS40，求bn的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和 Tn.16解：(1)因?yàn)閍n是首項(xiàng) a11，公差 d2 的等差數(shù)列，所以ana1(n1)d2n1.故 Sn13(2n1)n（a1an）2n（12n1）2n2.(2)由(1)得 a47，S416.因?yàn)?q

23、2(a41)qS40，即 q28q160，所以(q4)20，從而 q4.又因?yàn)?b12，bn是公比 q4 的等比數(shù)列，所以 bnb1qn124n122n1.從而bn的前 n 項(xiàng)和 Tnb1（1qn）1q23(4n1)D4數(shù)列求和15 、2014北京卷 已知an是等差數(shù)列，滿(mǎn)足 a13，a412，數(shù)列bn滿(mǎn)足 b14，b420，且bnan為等比數(shù)列(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和15解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，由題意得da4a1312333.所以 ana1(n1)d3n(n1，2，)設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為 q，由題意得q3b4a4b1a1201243

24、8，解得 q2.所以 bnan(b1a1)qn12n1.從而 bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知 bn3n2n1(n1，2，)數(shù)列3n的前 n 項(xiàng)和為32n(n1)，數(shù)列2n1的前 n 項(xiàng)和為 112n122n1，所以，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為32n(n1)2n1.16 、2014湖南卷 已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Snn2n2，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和16.解：(1)當(dāng) n1 時(shí)，a1S11；當(dāng) n2 時(shí)，anSnSn1n2n2（n1）2（n1）2n.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 ann.(2)由(1)知，bn2n(

25、1)nn.記數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和為 T2n，則 T2n(212222n)(12342n)記 A212222n，B12342n，則 A2（122n）1222n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 T2nAB22n1n2.17 、2014全國(guó)新課標(biāo)卷 已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程 x25x60的根(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an2n的前 n 項(xiàng)和17解：(1)方程 x25x60 的兩根為 2，3.由題意得 a22，a43.設(shè)數(shù)列an的公差為 d，則 a4a22d，故 d12，從而得 a132.所以an的通項(xiàng)公式為 an12n1.(2)設(shè)an

26、2n的前 n 項(xiàng)和為 Sn，由(1)知an2nn22n1，則 Sn322423n12nn22n1，12Sn323424n12n1n22n2，兩式相減得12Sn3412312n1n22n23414112n1n22n2，所以 Sn2n42n1.19 ， ，2014山東卷 在等差數(shù)列an中，已知公差 d2，a2是 a1與 a4的等比中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bnan（n1）2，記 Tmb1b2b3b4(1)nbn，求 Tn.19解：(1)由題意知，(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得 a12.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2n.(2)由題意知，bnan（n1

27、）2n(n1)，所以 Tn122334(1)nn(n1)因?yàn)?bn1bn2(n1)，所以當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122nn2（42n）2n（n2）2，當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，TnTn1(bn)（n1） （n1）2n(n1)（n1）22.所以 Tn（n1）22，n 為奇數(shù)，n（n2）2，n 為偶數(shù).D5單元綜合182014安徽卷 數(shù)列an滿(mǎn)足 a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)證明：數(shù)列ann 是等差數(shù)列；(2)設(shè) bn3nan，求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.18解： (1)證明：由已知可得an1n1ann1，即an1n1ann1，所以an

28、n 是以a111 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列(2)由(1)得ann1(n1)1n，所以 ann2，從而可得 bnn3n.Sn131232(n1)3n1n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n13 （13n）13n3n1（12n）3n132，所以 Sn（2n1）3n134.192014廣東卷 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn滿(mǎn)足 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求 a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù) n，有1a1（a11）1a2（a21）1an（an1）13.19 、 、2014湖北卷 已

29、知等差數(shù)列an滿(mǎn)足：a12，且 a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)記 Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，是否存在正整數(shù) n，使得 Sn60n800？若存在，求 n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由19解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為 d，依題意知，2，2d，24d 成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)，化簡(jiǎn)得 d24d0，解得 d0 或 d4，當(dāng) d0 時(shí)，an2；當(dāng) d4 時(shí)，an2(n1)44n2，從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2 或 an4n2.(2)當(dāng) an2 時(shí)，Sn2n，顯然 2n60n800 成立當(dāng) an4n2 時(shí)，Snn2（4n2）22n2.令 2n260n800

30、，即 n230n4000，解得 n40 或 n60n800 成立，n 的最小值為 41.綜上，當(dāng) an2 時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù) n；當(dāng) an4n2 時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù) n，其最小值為 41.202014江蘇卷 設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.若對(duì)任意的正整數(shù) n，總存在正整數(shù) m，使得 Snam，則稱(chēng)an是“H 數(shù)列”(1)若數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn2n(n)，證明：an是“H 數(shù)列”(2)設(shè)an是等差數(shù)列，其首項(xiàng) a11，公差 d0.若an是“H 數(shù)列”，求 d 的值(3)證明： 對(duì)任意的等差數(shù)列an， 總存在兩個(gè)“H數(shù)列”bn和cn， 使得anbncn(n)成立20解：

31、(1)證明：由已知，當(dāng) n1 時(shí)，an1Sn1Sn2n12n2n.于是對(duì)任意的正整數(shù) n，總存在正整數(shù) mn1，使得 Sn2nam，所以an是“H 數(shù)列”(2)由已知得，S22a1d2d.因?yàn)閍n是“H 數(shù)列”，所以存在正整數(shù) m，使得 S2am，即 2d1(m1)d，于是(m2)d1.因?yàn)?d0，所以 m21，都存在 mN*，使得 a1，an，am成等比數(shù)列17解：(1)由 Sn3n2n2，得 a1S11.當(dāng) n2 時(shí)，anSnSn13n2，a1也符合上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an3n2.(2)證明：要使得 a1，an，am成等比數(shù)列，只需要 a2na1am，即(3n2)21(3m2)

32、，即 m3n24n2.而此時(shí) mN*，且 mn，所以對(duì)任意的 n1，都存在 mN*，使得 a1，an，am成等比數(shù)列18 、2014江西卷 已知函數(shù) f(x)(4x24axa2) x，其中 a0.(1)當(dāng) a4 時(shí)，求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若 f(x)在區(qū)間1，4上的最小值為 8，求 a 的值18解：(1)當(dāng) a4 時(shí)，由 f(x)2（5x2） （x2）x0 得 x25或 x2，由 f(x)0得 x0，25 或 x(2，)故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，25 和(2，)(2)因?yàn)?f(x)（10 xa） （2xa）2 x，a0，所以由 f(x)0 得 xa10或 xa2.當(dāng)x0，

33、a10 時(shí)， f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)xa10，a2 時(shí)， f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)xa2，時(shí)，f(x)單調(diào)遞增易知 f(x)(2xa)2x0，且 fa2 0.當(dāng)a21，即2a0 時(shí)，f(x)在1，4上的最小值為 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合題意當(dāng) 1a24 時(shí)，即8a2 時(shí)，f(x)在1，4時(shí)的最小值為 fa2 0，不符合題意當(dāng)a24 時(shí)，即 a8 時(shí)，f(x)在1，4上的最小值可能在 x1 或 x4 時(shí)取得，而f(1)8，由 f(4)2(6416aa2)8 得 a10 或 a6(舍去)當(dāng) a10 時(shí)，f(x)在(1，4)上單調(diào)遞減，f(x)在1，4上的最小值為

34、f(4)8，符合題意綜上有，a10.19 、 、2014四川卷 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù) f(x)2x的圖像上(nN*)(1)證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；(2)若a11， 函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(a2， b2)處的切線在x軸上的截距為21ln 2， 求數(shù)列anb2n的前 n 項(xiàng)和 Sn.19解：(1)證明：由已知得，bn2an0，當(dāng) n1 時(shí)，bn1bn2an1an2d.故數(shù)列bn是首項(xiàng)為 2a1，公比為 2d的等比數(shù)列(2)函數(shù) f(x)2x在點(diǎn)(a2，b2)處的切線方程為 y2a2(2a2ln 2)(xa2)，其在 x 軸上的截距為 a21ln 2.由題意知，a21

35、ln 221ln 2，解得 a22，所以 da2a11，ann，bn2n，anb2nn4n.于是，Sn14242343(n1)4n1n4n，4Sn142243(n1)4nn4n1，因此，Sn4Sn4424nn4n14n143n4n1（13n）4n143，所以，Sn（3n1）4n149.1 2014黃岡中學(xué)月考 已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Snn22n2，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan2n3Ban2n3Can1，n1，2n3，n2Dan1，n1，2n3，n21C解析 當(dāng) n1 時(shí)，a1S11；當(dāng) n2 時(shí)，anSnSn12n3.又當(dāng) n1 時(shí)，a1的值不適合 n2 時(shí)的通項(xiàng)公式，故選 C.62

36、014杭州檢測(cè) 設(shè) Sn為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，若 a40，a5|a4|，則使 Sn0成立的最小正整數(shù) n 為()A6B7C8D96C解析 由題意知，S77a40，S88（a1a8）28（a4a5）20，故選 C.7 2014成都七中模擬 已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿(mǎn)足 a7a62a5， 若存在兩項(xiàng) am，an，使得 aman4a1，則1m9n的最小值為()A.83B.114C.145D.1767A解析 設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q(q0)由 a7a62a5，得 a5q2a5q2a5，解得 q2.由 aman4a1， 得 a12mn224a1， 所以 mn6.故1m9n1m9nmn61

37、69m6nn6m965329m6nn6m83，當(dāng)且僅當(dāng) n3m 時(shí)，等號(hào)成立2 2014合肥檢測(cè) 已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn， 且滿(mǎn)足 an22an1an， a54a3，則 S7()A7B12C14D212C解析 由 an22an1an得，數(shù)列an為等差數(shù)列由 a54a3，得 a5a34a1a7，所以 S77（a1a7）214.12014常德期末 在 1 和 2 之間依次插入 n(nN*)個(gè)正數(shù) a1，a2，a3，an，使得這 n2 個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這 n2 個(gè)數(shù)的乘積記作 Tn，令 bn2log2Tn.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令 cn2n，設(shè) Snb1c1b2c2bncn，求 Sn.1解：(1)方法一：設(shè)等比數(shù)列 1，a1，a2，a3，an，2 的公比為 q，則 21qn1，qn12，Tn1a1a2an21qq2qnqn1q123(n1)q（n1） （n2）22n22，bn2log2Tn2lo