概率論與數(shù)學(xué)統(tǒng)計課件14

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計主講教師：李真主講教師：李真 博士博士廣東財經(jīng)大學(xué)廣東財經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 在實際問題中，除了要考慮某事件在實際問題中，除了要考慮某事件 A 的概的概率率P(A)外，有時還要考慮外，有時還要考慮在事件在事件B已經(jīng)發(fā)生的已經(jīng)發(fā)生的條件下條件下事件事件 A 發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。1.4.1 條件概率條件概率I. 條件概率的理解條件概率的理解 通常記事件通常記事件 B 發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, 事件事件 A 發(fā)生發(fā)生的概率為的概率為 P(A|B)。一般情況下，一般情況下， P(A|B) P(A) 。1.4 條件概率條件概率 例例1.4.1 10

2、0件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5件是不合格品，而件是不合格品，而5件不合格品中又有件不合格品中又有3件是次品，件是次品，2件是廢品。件是廢品?，F(xiàn)從現(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到的可能性都相同，求品被抽到的可能性都相同，求(1).(1).抽到的產(chǎn)品是次品的概率；抽到的產(chǎn)品是次品的概率；(2).(2).在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下, , 產(chǎn)品是產(chǎn)品是 次品的概率。次品的概率。 解解 設(shè)設(shè) A=抽到的產(chǎn)品是次品抽到的產(chǎn)品是次品，B=抽到的產(chǎn)品是不合格品抽到的產(chǎn)品是不合格品。(1).(1). 按古典概型計算公式，有按古典概型計算公

3、式，有 ;1003)(AP可見，可見，P(A) P(A|B)。(2). 由于由于 5 件不合格品中有件不合格品中有 3 件是次品，故件是次品，故 雖然雖然 P(A) 與與 P(A|B) 不同，但二者之間存不同，但二者之間存在什么關(guān)系呢在什么關(guān)系呢? 先來計算先來計算 P(B) 和和 P(AB)。.53)|(BAP 因為因為 100 件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有 5 件是不合格品，所件是不合格品，所以以 P(B) = 5/100。P(AB)=3/100。 而而 AB 表示事件表示事件產(chǎn)品既是不合格品、又產(chǎn)品既是不合格品、又是次品是次品，再由，再由 100 件產(chǎn)品中只有件產(chǎn)品中只有 3 件產(chǎn)品既件產(chǎn)品既是

4、不合格品又是次品，得是不合格品又是次品，得通過簡單運算，得通過簡單運算，得.)()(1005100353)|(BPABPBAP有有.)()()|(BPABPBAP 若事件若事件 B 已發(fā)生已發(fā)生, 為使為使 A也也發(fā)生，則試驗結(jié)果必須是既在發(fā)生，則試驗結(jié)果必須是既在 B 中又在中又在 A 中的樣本點中的樣本點, 那么此點那么此點必屬于必屬于AB。 由于已知由于已知 B 已發(fā)生已發(fā)生, 故故 B 就就變成了新的樣本空間變成了新的樣本空間 , 于于是，就有是，就有(1.4.1) 式。式。II. 條件概率定義條件概率定義為在事件為在事件 B 發(fā)生條件下，事件發(fā)生條件下，事件 A 的條件概率。的條件概

5、率。定義定義1.4.1 設(shè)設(shè) A, B 為事件，且為事件，且 P(B)0，稱，稱) 1 . 4 . 1 ( )()()|(BPABPBAP計算：計算：(1) 用定義計算用定義計算;(2) 根據(jù)加入條件后改變了的情況來計算根據(jù)加入條件后改變了的情況來計算.III. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)設(shè)設(shè) B 是一事件，且是一事件，且 P(B)0, 則則1. 對任一事件對任一事件 A，有，有 P(A|B) 0;2. P(|P(|B)=1)=1；3. 設(shè)設(shè) A1, A2,兩兩互斥，則有兩兩互斥，則有)|()|()| )(2121BAPBAPBAAP故，故，條件概率還是概率！條件概率還是概率！那么，那么，概

6、率所具有概率所具有的一切性質(zhì)，條件概率也一定具有。的一切性質(zhì)，條件概率也一定具有。更多條件概率的性質(zhì)（類似于概率）：更多條件概率的性質(zhì)（類似于概率）：()PA()P B A ()P BC A()P BC A01()P B A()()P B AP BC A()()P B AP C A()P BC A 例例1.4.2 有外觀相同的三極管有外觀相同的三極管 6只，按電流只，按電流放大系數(shù)分類放大系數(shù)分類, ,4 只屬甲類只屬甲類, , 兩只屬乙類。不放兩只屬乙類。不放回地抽取三極管兩次回地抽取三極管兩次, , 每次抽一只。求在第一每次抽一只。求在第一次抽到是甲類三極管的條件下次抽到是甲類三極管的條件

7、下, , 第二次又抽到第二次又抽到甲類三極管的概率。甲類三極管的概率。 解解 記記Ai= 第第 i 次抽到的是甲類三極管次抽到的是甲類三極管, i=1,2,A1A2=兩次抽到的都是甲類三極管兩次抽到的都是甲類三極管, P(A1)=4/6=2/3，)|(12AAP)()(121APAAP.533/22/5由第由第2講中的例講中的例1.3.3，可知，可知. 5/230/12)(21AAP課堂練習(xí)（另）課堂練習(xí)（另）由條件概率的定義：由條件概率的定義：當(dāng)當(dāng) P(B)0 時時, 有有 P(AB)=P(B)P(A|B) . (1.4.2),)()()|(BPABPBAP1.4.2 乘法公式乘法公式在已知

8、在已知 P(B), P(A|B) 時時, 可反解出可反解出 P(AB)。將將 A與與 B 位置對調(diào)，有位置對調(diào)，有當(dāng)當(dāng) P(A)0 時，有時，有 P(AB)=P(A)P(B|A). (1.4.3)(1.4.2) 式和式和 (1.4.3) 式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, 利用利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率。它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率。當(dāng)當(dāng) P(A1A2An-1) 0 時，有時，有P (A1A2An) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2) P(An| A1A2An-1) .多個事件乘法公式多個事件乘法公式(1.4.4)可用可用乘法公式乘法公式的情形：的情形：求幾個

9、事件同時發(fā)生的概率；求幾個事件同時發(fā)生的概率；分步驟完成一個試驗。分步驟完成一個試驗。 例例1.4.3 一批燈泡共一批燈泡共100100只，其中只，其中1010只是次只是次品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只, ,求第三次才取到正品的概率。求第三次才取到正品的概率。 解解 設(shè)設(shè) Ai =第第 i 次取到正品次取到正品, , i=1,2,3=1,2,3；A =第三次才取到正品第三次才取到正品 。則。則A)()(321AAAPAP, 321AAA)|()|()(213121AAAPAAPAP.0083. 0989099910010 例例1.4.4 袋中有

10、同型號小球袋中有同型號小球 b+r 個，其中個，其中b 個是黑球，個是黑球，r 個是紅球。每次從袋中任取一個是紅球。每次從袋中任取一球，觀其顏色后放回球，觀其顏色后放回, ,并再加入同顏色、同型并再加入同顏色、同型號球號球 c 個。若個。若 B=第一、第三次取到紅球第一、第三次取到紅球, ,第第二次取到黑球二次取到黑球 ，求求 P(P(B) )。 解解 設(shè)設(shè) Ai=第第 i 次取到紅球次取到紅球, , i =1,2,3,1,2,3,則則.)()(c)()|()|()()()(213121321crcbrcrbbrbrAAAPAAPAPAAAPBP，321AAAB 全概率公式和貝葉斯公式主要用于

11、計算全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率比較復(fù)雜事件的概率, 它們實質(zhì)上是加法公它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用。式和乘法公式的綜合運用。 綜合運用綜合運用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1.4.3和和1.4.4 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 例例1.4.5 一批同型號螺釘由編號為一批同型號螺釘由編號為I、II、的三臺機器共同生產(chǎn)的三臺機器共同生產(chǎn), ,各臺機器生產(chǎn)的螺釘各臺機器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,%,40% %和和25%

12、%, 各臺各臺機器生產(chǎn)螺釘?shù)拇纹仿史謩e為機器生產(chǎn)螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%,%,2% %和和1% %。求。求該批螺釘?shù)拇纹仿?。該批螺釘?shù)拇纹仿省?解解 記記 A=螺釘是次品螺釘是次品，Bi=螺釘由螺釘由 i號號機器生產(chǎn)機器生產(chǎn), i =1, 2, 3(分別表示分別表示I、II、 )。即即 A= B1AB2AB3A， 且且 B1A，B2A 和和 B3A 兩兩互斥。兩兩互斥。因因 A發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著B1, ,B2, ,B3 之一同時發(fā)生，之一同時發(fā)生，于是，于是，P(A)=P( B1A)+P(B2A)+P(B3A)運用加法公式運用加法公式將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就將此例中所用的

13、方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的得到在概率計算中常用的全概率公式。全概率公式。對和式中的各項對和式中的各項運用乘法公式得運用乘法公式得.021. 001. 025. 002. 040. 00.0335. 0)|()(31iiiBAPBP31)()(iiABPAP 定義定義1.4.2 設(shè)設(shè)為試驗為試驗 E 的樣本空間，的樣本空間， B1, B2, Bn兩兩互斥，且兩兩互斥，且B1B2Bn=，則稱則稱 B1, B2, , Bn為樣本空間為樣本空間的一個的一個劃分劃分。 易見，若易見，若 B1, B2, Bn為樣本空間為樣本空間的一的一個劃分，則每次試驗時，個劃分，則每次試驗時，事件事

14、件 B1, B2, , Bn 之中必有一個，且僅有一個發(fā)生。之中必有一個，且僅有一個發(fā)生。即分情況！即分情況！ 定理定理1.4.1 設(shè)設(shè)是試驗是試驗 E 的樣本空間，的樣本空間，A為一個事件，為一個事件，B1, B2, Bn為為的一個劃分，且的一個劃分，且 (1.4.5) . )|()()(1niiiBAPBPAP P(Bi)0, i =1, 2, , n。則有。則有 公式公式 (1.4.5) 稱為稱為全概率公式全概率公式。 在較復(fù)雜情況下，在較復(fù)雜情況下，直接計算直接計算P(A)不容易不容易, 但總可以但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Bi , 使使A伴隨著某個伴隨著某

15、個Bi 的發(fā)生而發(fā)生，且的發(fā)生而發(fā)生，且每個每個 P( Bi A) 容易計算?？捎盟腥菀子嬎??？捎盟?P( Bi A) 之和計算之和計算 P(A)。niiniiiABPBAPBPAP11)()()()(由公式由公式“全部概率全部概率” P(A)，可分成多個，可分成多個“部分概率部分概率” P( Bi A) 之和。之和。它的理論和實用意義在于它的理論和實用意義在于:不難看出不難看出:niiniiiABPBAPBPAP11)()()()(由公式由公式“全部概率全部概率” P(A)，可分成多個，可分成多個“部分概率部分概率” P( Bi A) 之和。之和。不難看出不難看出:適用問題的特點：適用問

16、題的特點：1、有多種原因、有多種原因(或情況或情況)引起一個事件的發(fā)生，引起一個事件的發(fā)生，一個劃分一個劃分2、求這個事件發(fā)生的概率。、求這個事件發(fā)生的概率。nBBB,11A分情況，分情況， 求結(jié)果求結(jié)果!例例10（另）（另）P23，習(xí)題：，習(xí)題：1.18 有兩批相同的產(chǎn)品，第一批共有兩批相同的產(chǎn)品，第一批共14件，件，其中有兩件為次品，裝在第一個箱中；第二其中有兩件為次品，裝在第一個箱中；第二批有批有10件，其中有一件是次品，裝在第二個件，其中有一件是次品，裝在第二個箱中。今在第一箱中任意取出兩件混入到第箱中。今在第一箱中任意取出兩件混入到第二箱中，然后再從第二箱中任取一件。求從二箱中，然后

17、再從第二箱中任取一件。求從第二箱中取到的是次品的概率。第二箱中取到的是次品的概率。設(shè)事件是難點！設(shè)事件是難點！作為思考題，下次課講解。作為思考題，下次課講解。 實際中還有下面一類問題：已知某種結(jié)實際中還有下面一類問題：已知某種結(jié)果出現(xiàn)，求這種結(jié)果出現(xiàn)根源或原因的概率。果出現(xiàn)，求這種結(jié)果出現(xiàn)根源或原因的概率。 這一類問題在實際中常見，它所求的是條這一類問題在實際中常見，它所求的是條件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。的可能性大小。接例接例1.4.5，考慮如下問題：，考慮如下問題：若從該批螺釘中任取一顆若從該批螺釘中任取一顆, 發(fā)現(xiàn)它是次品

18、發(fā)現(xiàn)它是次品, 求這求這顆螺釘由顆螺釘由 I、II臺機器生產(chǎn)臺機器生產(chǎn)的概率各是多少？的概率各是多少？)()()|(APABPABPii 記記 Bi = 螺釘由第螺釘由第 i 臺機器生產(chǎn)臺機器生產(chǎn)， i =1, 2; A = 螺釘為次品螺釘為次品。則所求則所求為為 P(Bi |A)，31)()()|()(jjjiiBAPBPBAPBP運用全概率公式運用全概率公式 計算計算P(A)將上述公式一般化，就得到將上述公式一般化，就得到貝葉斯公式貝葉斯公式。) 7 . 4 . 1 ( . , 2 , 1 , )()()()()|(1 niBAPBPBAPBPABPnjjjiii 該公式于該公式于1763

19、1763年由貝葉斯年由貝葉斯 (BayesBayes) 給出。給出。 它是在觀察到事件它是在觀察到事件A 已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致致A發(fā)生的各原因的概率。發(fā)生的各原因的概率。 定理定理1.4.2 設(shè)設(shè)是是樣本空間樣本空間, A為一個事件為一個事件, B1, B2, Bn為為為為的一個劃分的一個劃分, 且且 P(A)0， P(Bi)0，i=1, 2, , n，則有，則有 由結(jié)果，尋原因由結(jié)果，尋原因! 例例1.4.7 一批同型號的螺釘由編號為一批同型號的螺釘由編號為I,II,IIII,II,III的三臺機器共同生產(chǎn)。各臺機器生的三臺機器共同生產(chǎn)。各臺機器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘

20、的比例分別為產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,40%, 35%,40%, 25%25%。各臺機器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為。各臺機器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%, 3%, 2%2%和和1%1%。現(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求?，F(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求: :這顆螺釘由這顆螺釘由I, II, IIII, II, III號機器生產(chǎn)的概率各號機器生產(chǎn)的概率各為多少為多少? ?解：解：設(shè)設(shè) A=螺釘是次品螺釘是次品, B1 1=螺釘由螺釘由I I號機器生產(chǎn)號機器生產(chǎn), , B2 2=螺釘由螺釘由IIII號機器生產(chǎn)號機器生產(chǎn), B3 3=螺釘由螺釘由IIIIII號機器生產(chǎn)號機器生產(chǎn) 。則則由由貝葉

21、斯公式貝葉斯公式，得，得)()|()()|()|(31111jjjBPBAPBPBAPABP. 5 . 001. 025. 002. 040. 003. 035. 003. 035. 0. 425)|( 218)|(32ABPABP，P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。作業(yè)：作業(yè)： P23，1.17； P24，1.18, 1.19。 例例1.4.6 8 8支步槍中有支步槍中有5 5支已校準(zhǔn)過支已校準(zhǔn)過,3,3支未支未校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時，中靶概校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊

22、時，中靶概率為率為0.8；用未校準(zhǔn)的槍射擊時，中靶概率為；用未校準(zhǔn)的槍射擊時，中靶概率為0.3?，F(xiàn)從。現(xiàn)從8 8支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶。求所用的槍是校準(zhǔn)過的概率。靶。求所用的槍是校準(zhǔn)過的概率。 解解 設(shè)設(shè) A=射擊時中靶射擊時中靶 ，B1 1=槍校準(zhǔn)過槍校準(zhǔn)過, , B2 2=槍未校準(zhǔn)槍未校準(zhǔn) ，則，則 B1 1, ,B2 2 是是一個劃分，由一個劃分，由貝葉斯公式，得貝葉斯公式，得)()|()()|()()|()|(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP.8163. 04940) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0) 8/5(8 .

23、0 補例補例 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患，患者對一種試驗反應(yīng)呈陽性的概率為者對一種試驗反應(yīng)呈陽性的概率為0.95，正常，正常人對這種試驗反應(yīng)呈陽性的概率為人對這種試驗反應(yīng)呈陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)呈陽性，問此人是癌癥查了一個人，試驗反應(yīng)呈陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大患者的概率有多大? 解解 設(shè)設(shè) B1 = 抽測者患癌癥抽測者患癌癥，B2= 抽測者抽測者不患癌癥不患癌癥，A = 試驗結(jié)果是陽性試驗結(jié)果是陽性。則。則求求 P(B1|A)。. 04. 0)|( ,95. 0)|(, 995. 0)( ,005. 0)(2121BAPBAPBPBP現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義：現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義：代入數(shù)據(jù)計算，得代入數(shù)據(jù)計算，得 P(B1 | A)= 0.1066。 (2). 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? (1). 該試驗對于診斷一個人是否患有癌有無該試驗對于診斷一個人是否患有癌有無 意義？意義？， )|()()|()()|()()|( 2211111BAP