概率論與數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)課件14

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主講教師：李真主講教師：李真 博士博士廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 在實(shí)際問(wèn)題中，除了要考慮某事件在實(shí)際問(wèn)題中，除了要考慮某事件 A 的概的概率率P(A)外，有時(shí)還要考慮外，有時(shí)還要考慮在事件在事件B已經(jīng)發(fā)生的已經(jīng)發(fā)生的條件下條件下事件事件 A 發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。1.4.1 條件概率條件概率I. 條件概率的理解條件概率的理解 通常記事件通常記事件 B 發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, 事件事件 A 發(fā)生發(fā)生的概率為的概率為 P(A|B)。一般情況下，一般情況下， P(A|B) P(A) 。1.4 條件概率條件概率 例例1.4.1 10

2、0件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5件是不合格品，而件是不合格品，而5件不合格品中又有件不合格品中又有3件是次品，件是次品，2件是廢品。件是廢品?，F(xiàn)從現(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到的可能性都相同，求品被抽到的可能性都相同，求(1).(1).抽到的產(chǎn)品是次品的概率；抽到的產(chǎn)品是次品的概率；(2).(2).在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下, , 產(chǎn)品是產(chǎn)品是 次品的概率。次品的概率。 解解 設(shè)設(shè) A=抽到的產(chǎn)品是次品抽到的產(chǎn)品是次品，B=抽到的產(chǎn)品是不合格品抽到的產(chǎn)品是不合格品。(1).(1). 按古典概型計(jì)算公式，有按古典概型計(jì)算公

3、式，有 ;1003)(AP可見(jiàn)，可見(jiàn)，P(A) P(A|B)。(2). 由于由于 5 件不合格品中有件不合格品中有 3 件是次品，故件是次品，故 雖然雖然 P(A) 與與 P(A|B) 不同，但二者之間存不同，但二者之間存在什么關(guān)系呢在什么關(guān)系呢? 先來(lái)計(jì)算先來(lái)計(jì)算 P(B) 和和 P(AB)。.53)|(BAP 因?yàn)橐驗(yàn)?100 件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有 5 件是不合格品，所件是不合格品，所以以 P(B) = 5/100。P(AB)=3/100。 而而 AB 表示事件表示事件產(chǎn)品既是不合格品、又產(chǎn)品既是不合格品、又是次品是次品，再由，再由 100 件產(chǎn)品中只有件產(chǎn)品中只有 3 件產(chǎn)品既件產(chǎn)品既是

4、不合格品又是次品，得是不合格品又是次品，得通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算，得通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算，得.)()(1005100353)|(BPABPBAP有有.)()()|(BPABPBAP 若事件若事件 B 已發(fā)生已發(fā)生, 為使為使 A也也發(fā)生，則試驗(yàn)結(jié)果必須是既在發(fā)生，則試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在中又在 A 中的樣本點(diǎn)中的樣本點(diǎn), 那么此點(diǎn)那么此點(diǎn)必屬于必屬于AB。 由于已知由于已知 B 已發(fā)生已發(fā)生, 故故 B 就就變成了新的樣本空間變成了新的樣本空間 , 于于是，就有是，就有(1.4.1) 式。式。II. 條件概率定義條件概率定義為在事件為在事件 B 發(fā)生條件下，事件發(fā)生條件下，事件 A 的條件概率。的條件概

5、率。定義定義1.4.1 設(shè)設(shè) A, B 為事件，且為事件，且 P(B)0，稱，稱) 1 . 4 . 1 ( )()()|(BPABPBAP計(jì)算：計(jì)算：(1) 用定義計(jì)算用定義計(jì)算;(2) 根據(jù)加入條件后改變了的情況來(lái)計(jì)算根據(jù)加入條件后改變了的情況來(lái)計(jì)算.III. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)設(shè)設(shè) B 是一事件，且是一事件，且 P(B)0, 則則1. 對(duì)任一事件對(duì)任一事件 A，有，有 P(A|B) 0;2. P(|P(|B)=1)=1；3. 設(shè)設(shè) A1, A2,兩兩互斥，則有兩兩互斥，則有)|()|()| )(2121BAPBAPBAAP故，故，條件概率還是概率！條件概率還是概率！那么，那么，概

6、率所具有概率所具有的一切性質(zhì)，條件概率也一定具有。的一切性質(zhì)，條件概率也一定具有。更多條件概率的性質(zhì)（類似于概率）：更多條件概率的性質(zhì)（類似于概率）：()PA()P B A ()P BC A()P BC A01()P B A()()P B AP BC A()()P B AP C A()P BC A 例例1.4.2 有外觀相同的三極管有外觀相同的三極管 6只，按電流只，按電流放大系數(shù)分類放大系數(shù)分類, ,4 只屬甲類只屬甲類, , 兩只屬乙類。不放兩只屬乙類。不放回地抽取三極管兩次回地抽取三極管兩次, , 每次抽一只。求在第一每次抽一只。求在第一次抽到是甲類三極管的條件下次抽到是甲類三極管的條件

7、下, , 第二次又抽到第二次又抽到甲類三極管的概率。甲類三極管的概率。 解解 記記Ai= 第第 i 次抽到的是甲類三極管次抽到的是甲類三極管, i=1,2,A1A2=兩次抽到的都是甲類三極管兩次抽到的都是甲類三極管, P(A1)=4/6=2/3，)|(12AAP)()(121APAAP.533/22/5由第由第2講中的例講中的例1.3.3，可知，可知. 5/230/12)(21AAP課堂練習(xí)（另）課堂練習(xí)（另）由條件概率的定義：由條件概率的定義：當(dāng)當(dāng) P(B)0 時(shí)時(shí), 有有 P(AB)=P(B)P(A|B) . (1.4.2),)()()|(BPABPBAP1.4.2 乘法公式乘法公式在已知

8、在已知 P(B), P(A|B) 時(shí)時(shí), 可反解出可反解出 P(AB)。將將 A與與 B 位置對(duì)調(diào)，有位置對(duì)調(diào)，有當(dāng)當(dāng) P(A)0 時(shí)，有時(shí)，有 P(AB)=P(A)P(B|A). (1.4.3)(1.4.2) 式和式和 (1.4.3) 式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, 利用利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。當(dāng)當(dāng) P(A1A2An-1) 0 時(shí)，有時(shí)，有P (A1A2An) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2) P(An| A1A2An-1) .多個(gè)事件乘法公式多個(gè)事件乘法公式(1.4.4)可用可用乘法公式乘法公式的情形：的情形：求幾個(gè)

9、事件同時(shí)發(fā)生的概率；求幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率；分步驟完成一個(gè)試驗(yàn)。分步驟完成一個(gè)試驗(yàn)。 例例1.4.3 一批燈泡共一批燈泡共100100只，其中只，其中1010只是次只是次品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只, ,求第三次才取到正品的概率。求第三次才取到正品的概率。 解解 設(shè)設(shè) Ai =第第 i 次取到正品次取到正品, , i=1,2,3=1,2,3；A =第三次才取到正品第三次才取到正品 。則。則A)()(321AAAPAP, 321AAA)|()|()(213121AAAPAAPAP.0083. 0989099910010 例例1.4.4 袋中有

10、同型號(hào)小球袋中有同型號(hào)小球 b+r 個(gè)，其中個(gè)，其中b 個(gè)是黑球，個(gè)是黑球，r 個(gè)是紅球。每次從袋中任取一個(gè)是紅球。每次從袋中任取一球，觀其顏色后放回球，觀其顏色后放回, ,并再加入同顏色、同型并再加入同顏色、同型號(hào)球號(hào)球 c 個(gè)。若個(gè)。若 B=第一、第三次取到紅球第一、第三次取到紅球, ,第第二次取到黑球二次取到黑球 ，求求 P(P(B) )。 解解 設(shè)設(shè) Ai=第第 i 次取到紅球次取到紅球, , i =1,2,3,1,2,3,則則.)()(c)()|()|()()()(213121321crcbrcrbbrbrAAAPAAPAPAAAPBP，321AAAB 全概率公式和貝葉斯公式主要用于

11、計(jì)算全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率比較復(fù)雜事件的概率, 它們實(shí)質(zhì)上是加法公它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。式和乘法公式的綜合運(yùn)用。 綜合運(yùn)用綜合運(yùn)用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1.4.3和和1.4.4 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 例例1.4.5 一批同型號(hào)螺釘由編號(hào)為一批同型號(hào)螺釘由編號(hào)為I、II、的三臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn)的三臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn), ,各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,%,40% %和和25%

12、%, 各臺(tái)各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)螺釘?shù)拇纹仿史謩e為機(jī)器生產(chǎn)螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%,%,2% %和和1% %。求。求該批螺釘?shù)拇纹仿?。該批螺釘?shù)拇纹仿省?解解 記記 A=螺釘是次品螺釘是次品，Bi=螺釘由螺釘由 i號(hào)號(hào)機(jī)器生產(chǎn)機(jī)器生產(chǎn), i =1, 2, 3(分別表示分別表示I、II、 )。即即 A= B1AB2AB3A， 且且 B1A，B2A 和和 B3A 兩兩互斥。兩兩互斥。因因 A發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著B(niǎo)1, ,B2, ,B3 之一同時(shí)發(fā)生，之一同時(shí)發(fā)生，于是，于是，P(A)=P( B1A)+P(B2A)+P(B3A)運(yùn)用加法公式運(yùn)用加法公式將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就將此例中所用的

13、方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。全概率公式。對(duì)和式中的各項(xiàng)對(duì)和式中的各項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得運(yùn)用乘法公式得.021. 001. 025. 002. 040. 00.0335. 0)|()(31iiiBAPBP31)()(iiABPAP 定義定義1.4.2 設(shè)設(shè)為試驗(yàn)為試驗(yàn) E 的樣本空間，的樣本空間， B1, B2, Bn兩兩互斥，且兩兩互斥，且B1B2Bn=，則稱則稱 B1, B2, , Bn為樣本空間為樣本空間的一個(gè)的一個(gè)劃分劃分。 易見(jiàn)，若易見(jiàn)，若 B1, B2, Bn為樣本空間為樣本空間的一的一個(gè)劃分，則每次試驗(yàn)時(shí)，個(gè)劃分，則每次試驗(yàn)時(shí)，事件事

14、件 B1, B2, , Bn 之中必有一個(gè)，且僅有一個(gè)發(fā)生。之中必有一個(gè)，且僅有一個(gè)發(fā)生。即分情況！即分情況！ 定理定理1.4.1 設(shè)設(shè)是試驗(yàn)是試驗(yàn) E 的樣本空間，的樣本空間，A為一個(gè)事件，為一個(gè)事件，B1, B2, Bn為為的一個(gè)劃分，且的一個(gè)劃分，且 (1.4.5) . )|()()(1niiiBAPBPAP P(Bi)0, i =1, 2, , n。則有。則有 公式公式 (1.4.5) 稱為稱為全概率公式全概率公式。 在較復(fù)雜情況下，在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算直接計(jì)算P(A)不容易不容易, 但總可以但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Bi , 使使A伴隨著某個(gè)伴隨著某

15、個(gè)Bi 的發(fā)生而發(fā)生，且的發(fā)生而發(fā)生，且每個(gè)每個(gè) P( Bi A) 容易計(jì)算?？捎盟腥菀子?jì)算?？捎盟?P( Bi A) 之和計(jì)算之和計(jì)算 P(A)。niiniiiABPBAPBPAP11)()()()(由公式由公式“全部概率全部概率” P(A)，可分成多個(gè)，可分成多個(gè)“部分概率部分概率” P( Bi A) 之和。之和。它的理論和實(shí)用意義在于它的理論和實(shí)用意義在于:不難看出不難看出:niiniiiABPBAPBPAP11)()()()(由公式由公式“全部概率全部概率” P(A)，可分成多個(gè)，可分成多個(gè)“部分概率部分概率” P( Bi A) 之和。之和。不難看出不難看出:適用問(wèn)題的特點(diǎn)：適用問(wèn)

16、題的特點(diǎn)：1、有多種原因、有多種原因(或情況或情況)引起一個(gè)事件的發(fā)生，引起一個(gè)事件的發(fā)生，一個(gè)劃分一個(gè)劃分2、求這個(gè)事件發(fā)生的概率。、求這個(gè)事件發(fā)生的概率。nBBB,11A分情況，分情況， 求結(jié)果求結(jié)果!例例10（另）（另）P23，習(xí)題：，習(xí)題：1.18 有兩批相同的產(chǎn)品，第一批共有兩批相同的產(chǎn)品，第一批共14件，件，其中有兩件為次品，裝在第一個(gè)箱中；第二其中有兩件為次品，裝在第一個(gè)箱中；第二批有批有10件，其中有一件是次品，裝在第二個(gè)件，其中有一件是次品，裝在第二個(gè)箱中。今在第一箱中任意取出兩件混入到第箱中。今在第一箱中任意取出兩件混入到第二箱中，然后再?gòu)牡诙渲腥稳∫患?。求從二箱中，然?/p>

17、再?gòu)牡诙渲腥稳∫患Ｇ髲牡诙渲腥〉降氖谴纹返母怕?。第二箱中取到的是次品的概率。設(shè)事件是難點(diǎn)！設(shè)事件是難點(diǎn)！作為思考題，下次課講解。作為思考題，下次課講解。 實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題：已知某種結(jié)實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題：已知某種結(jié)果出現(xiàn)，求這種結(jié)果出現(xiàn)根源或原因的概率。果出現(xiàn)，求這種結(jié)果出現(xiàn)根源或原因的概率。 這一類問(wèn)題在實(shí)際中常見(jiàn)，它所求的是條這一類問(wèn)題在實(shí)際中常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。的可能性大小。接例接例1.4.5，考慮如下問(wèn)題：，考慮如下問(wèn)題：若從該批螺釘中任取一顆若從該批螺釘中任取一顆, 發(fā)現(xiàn)它是次品

18、發(fā)現(xiàn)它是次品, 求這求這顆螺釘由顆螺釘由 I、II臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的概率各是多少？的概率各是多少？)()()|(APABPABPii 記記 Bi = 螺釘由第螺釘由第 i 臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)， i =1, 2; A = 螺釘為次品螺釘為次品。則所求則所求為為 P(Bi |A)，31)()()|()(jjjiiBAPBPBAPBP運(yùn)用全概率公式運(yùn)用全概率公式 計(jì)算計(jì)算P(A)將上述公式一般化，就得到將上述公式一般化，就得到貝葉斯公式貝葉斯公式。) 7 . 4 . 1 ( . , 2 , 1 , )()()()()|(1 niBAPBPBAPBPABPnjjjiii 該公式于該公式于1763

19、1763年由貝葉斯年由貝葉斯 (BayesBayes) 給出。給出。 它是在觀察到事件它是在觀察到事件A 已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致致A發(fā)生的各原因的概率。發(fā)生的各原因的概率。 定理定理1.4.2 設(shè)設(shè)是是樣本空間樣本空間, A為一個(gè)事件為一個(gè)事件, B1, B2, Bn為為為為的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分, 且且 P(A)0， P(Bi)0，i=1, 2, , n，則有，則有 由結(jié)果，尋原因由結(jié)果，尋原因! 例例1.4.7 一批同型號(hào)的螺釘由編號(hào)為一批同型號(hào)的螺釘由編號(hào)為I,II,IIII,II,III的三臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn)。各臺(tái)機(jī)器生的三臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn)。各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘

20、的比例分別為產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,40%, 35%,40%, 25%25%。各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為。各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%, 3%, 2%2%和和1%1%?，F(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求?，F(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求: :這顆螺釘由這顆螺釘由I, II, IIII, II, III號(hào)機(jī)器生產(chǎn)的概率各號(hào)機(jī)器生產(chǎn)的概率各為多少為多少? ?解：解：設(shè)設(shè) A=螺釘是次品螺釘是次品, B1 1=螺釘由螺釘由I I號(hào)機(jī)器生產(chǎn)號(hào)機(jī)器生產(chǎn), , B2 2=螺釘由螺釘由IIII號(hào)機(jī)器生產(chǎn)號(hào)機(jī)器生產(chǎn), B3 3=螺釘由螺釘由IIIIII號(hào)機(jī)器生產(chǎn)號(hào)機(jī)器生產(chǎn) 。則則由由貝葉

21、斯公式貝葉斯公式，得，得)()|()()|()|(31111jjjBPBAPBPBAPABP. 5 . 001. 025. 002. 040. 003. 035. 003. 035. 0. 425)|( 218)|(32ABPABP，P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。作業(yè)：作業(yè)： P23，1.17； P24，1.18, 1.19。 例例1.4.6 8 8支步槍中有支步槍中有5 5支已校準(zhǔn)過(guò)支已校準(zhǔn)過(guò),3,3支未支未校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過(guò)的槍射擊時(shí)，中靶概校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過(guò)的槍射擊

22、時(shí)，中靶概率為率為0.8；用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶概率為；用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3?，F(xiàn)從。現(xiàn)從8 8支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶。求所用的槍是校準(zhǔn)過(guò)的概率。靶。求所用的槍是校準(zhǔn)過(guò)的概率。 解解 設(shè)設(shè) A=射擊時(shí)中靶射擊時(shí)中靶 ，B1 1=槍校準(zhǔn)過(guò)槍校準(zhǔn)過(guò), , B2 2=槍未校準(zhǔn)槍未校準(zhǔn) ，則，則 B1 1, ,B2 2 是是一個(gè)劃分，由一個(gè)劃分，由貝葉斯公式，得貝葉斯公式，得)()|()()|()()|()|(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP.8163. 04940) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0) 8/5(8 .

23、0 補(bǔ)例補(bǔ)例 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)呈陽(yáng)性的概率為者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)呈陽(yáng)性的概率為0.95，正常，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)呈陽(yáng)性的概率為人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)呈陽(yáng)性的概率為0.04，現(xiàn)抽，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)呈陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)呈陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大患者的概率有多大? 解解 設(shè)設(shè) B1 = 抽測(cè)者患癌癥抽測(cè)者患癌癥，B2= 抽測(cè)者抽測(cè)者不患癌癥不患癌癥，A = 試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性。則。則求求 P(B1|A)。. 04. 0)|( ,95. 0)|(, 995. 0)( ,005. 0)(2121BAPBAPBPBP現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義：現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義：代入數(shù)據(jù)計(jì)算，得代入數(shù)據(jù)計(jì)算，得 P(B1 | A)= 0.1066。 (2). 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥? (1). 該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌有無(wú)該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌有無(wú) 意義？意義？， )|()()|()()|()()|( 2211111BAP