應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系

1、二、純剪切應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系GG或G 為剪切彈性模量，單位為N/m2.第1頁/共30頁（1）符號規(guī)定xyzo上面右側(cè)面前面xxyxzyyxyzzzxzyx y z x y y z z x x y z x y y z z x 1、各向同性材料的廣義胡克定律：拉應(yīng)力為正 壓應(yīng)力為負(fù)。三、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系第2頁/共30頁xyxzxxyzo上面右側(cè)面前面yyxyzzzxzy 若正面(外法線與坐標(biāo)軸正向一致的平面)上剪應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸正向一致, 或負(fù)面(外法線與坐標(biāo)軸負(fù)向一致的平面)上剪應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸負(fù)向一致，則該剪應(yīng)力為正, 反之為負(fù)。第3頁/共30頁 : 以伸長為正,

2、 縮短為負(fù)。 : 使直角減小者為正, 增大者為負(fù)。xyyzzx xOy yOz zox 。xxyzO上面右側(cè)面前面yyxyzzzxzyxyxz第4頁/共30頁 在x y z 分別單獨(dú)存在時, x 方向的線應(yīng)變 x 依次為:Exx2、各向同性材料的廣義胡克定律EyxEzx yyxxxxzzz(1)線應(yīng)變的推導(dǎo)第5頁/共30頁在x y z同時存在時, x方向的線應(yīng)變x為 )(1zyxxE )(1)(1yxzzxzyyEE 在x y z同時存在時, y,z方向的線應(yīng)變?yōu)榈?頁/共30頁剪應(yīng)變 xy , yz ,zx與剪應(yīng)力xy ,yz ,zx之間的關(guān)系為GGGzxzxyzyzxyxy 在線彈性范圍內(nèi)

3、, 小變形條件下, 各向同性材料。(2)剪應(yīng)變的推導(dǎo)第7頁/共30頁)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEGGGzxzxyzyzxyxy 在線彈性范圍內(nèi),小 變形條件下, 各向同性材料。第8頁/共30頁3、 特例 （1）平面應(yīng)力狀態(tài)下(假設(shè) Z = 0 )(1yxxE )(1xyyE )(yxzE Gxyxy 第9頁/共30頁（2） 廣義胡克定律用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示時 三向應(yīng)力狀態(tài)下：)(13211 E)(11322 E)(12133 E(7-7-6)第10頁/共30頁平面應(yīng)力狀態(tài)下 設(shè) 3 = 0, 則)(1211 E)(1122 E)(213 E第11頁/共30頁)1(2vEG

4、第12頁/共30頁例題7-6 已知一受力構(gòu)件自由表面上的兩主應(yīng)變數(shù)值為10160,102406361 。構(gòu)件材料為Q235鋼，其彈性模量E=210GPa，泊松比=0。3。求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值，并求該點(diǎn)處另一主應(yīng)變2的數(shù)值和方向。132132=0物體表面第13頁/共30頁解：32321,1 1與與一，一對應(yīng)。 由于構(gòu)件自由表面，所以主應(yīng)力2=0。 所以該點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài)。)(1311 E)(1133 EMPaE3 .44)(13121 MPaE3 .20)(11323 由解得第14頁/共30頁該點(diǎn)處另一主應(yīng)變2的數(shù)值為103 .34)(6312 E2是縮短的主應(yīng)變，其方向必與1和3垂直，即沿構(gòu)件的

5、外法線方向。第15頁/共30頁四、各向同性材料的體積應(yīng)變（2）各向同性材料在空間應(yīng)力狀態(tài)下的 體積應(yīng)變（1）概念:構(gòu)件每單位體積的體積變化, 稱為 體積應(yīng)變用 表示。 第16頁/共30頁)1 ()1 ()1 (321dzdydxV公式推導(dǎo) 設(shè)單元體的三對平面為主平面, 其三個邊長為d x, d y, d z 變形后的邊長分別為 d x(1+ , d y(1+2 ,d z(1+3 , 因此變形后單元體的體積為:213dxd yd z第17頁/共30頁321321321 )1 ( )1 ()1 ()1 ( dxdydzdxdydzdxdydzdxdydzdxdydzdzdydxVVV第18頁/共3

6、0頁)(21321E將廣義胡克定律)(13211 E)(11322 E)(12133 E代入得321第19頁/共30頁)(21zyxE 在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個線應(yīng)變x ，y， z有關(guān)。仿照上述推導(dǎo)有 在任意形式的應(yīng)力狀態(tài)下, 各向同性材料內(nèi)一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與通過該點(diǎn)的任意三個相互垂直的平面上的正應(yīng)力之和成正比, 而與剪應(yīng)力無關(guān)。第20頁/共30頁特例：xy 3102 )(21321E代入得0)0(21xyxyE 可見，材料的體積應(yīng)變等于零。即在小變形下，剪應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變。第21頁/共30頁例題7-7 邊長 a = 0.1m 的銅立方塊, 無間隙地放入

7、體積較大, 變形可略去不計的鋼凹槽中, 如圖 所示。 已知銅的彈性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 當(dāng)受到P=300kN 的均布壓力作用時, 求該銅塊的主應(yīng)力. 體積應(yīng)變以及最大剪應(yīng)力。aaaPyxz第22頁/共30頁231.010300APy解：銅塊上截面上的壓應(yīng)力為yyZxzx(b)MPa300)(1zyxxE0)(1yxzzE第23頁/共30頁解得-15.5MPa)30(0.34-10.34)0.34(1 1)1(22yzx銅塊的主應(yīng)力為MPaMPa , .30515321 第24頁/共30頁體積應(yīng)變和最大剪應(yīng)力分別為43211095.1)(21EMPa25. 7)(213

8、1max第25頁/共30頁例題9-8 壁厚 t =10mm , 外徑 D=60mm 的薄壁圓筒, 在表面上 k 點(diǎn)處與其軸線成 45和135 角即 x, y 兩方向分別貼上應(yīng)變片,然后在圓筒兩端作用矩為 m 的扭轉(zhuǎn)力偶,如圖 所示已知圓筒材料的彈性模量為 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi),且 max =80MPa , 試求k點(diǎn)處的線應(yīng)變 x ,y 以及變形后的筒壁厚度。Dtymk450900 x第26頁/共30頁450900Dtxymkmaxmaxxyk0MPa80MPa802max3max1zxy可求得:解: 從圓筒表面 k 點(diǎn)處取出單元體, 其各面上的應(yīng)力分量如圖 所示 1 3第27頁/共30頁k點(diǎn)處的線應(yīng)變 x , y 為)(1)(1maxmaxEEyxx)(102.54拉應(yīng)變 xy)(102 . 5E)(14max壓應(yīng)變第28頁/共30頁圓筒表面上k點(diǎn)