多元函數(shù)微分學(xué)85月11日學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)85月月11日日第一頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何點(diǎn)(x y) 都有在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 ,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).第1頁(yè)/共33頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。注注 1. 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) .但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).如,定理定理1 (必要條件)函數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取

2、得極值取得極值有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 ,則有故yxz 第2頁(yè)/共33頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。 2. 從幾何上看 這時(shí)如果曲面zf(x y)在極值點(diǎn)(x0 y0 z0)處有切平面 則切平面zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面zz0 類似地可推得 如果三元函數(shù)uf (x y z)在點(diǎn)(x0 y0 z0)具有偏導(dǎo)數(shù) 則它在點(diǎn)(x0 y0 z0)具有極值的必要條件為 fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0 第3頁(yè)/共33頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期一：十五

3、點(diǎn) 五十八分。時(shí), 具有極值定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)證明見(jiàn) P108 時(shí), 沒(méi)有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)第4頁(yè)/共33頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。求函數(shù)極值的一般步驟：第一步 解方程組求出實(shí)數(shù)解，得所有駐點(diǎn).第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0, y0), 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B 、C.第三步 定出ACB2的符號(hào)，再判定是否是極值.第四步對(duì)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(包括邊界點(diǎn))，再判定是否是極值點(diǎn).第5頁(yè)/共33頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。例例1.求函數(shù)解解: 第一步

4、第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn).得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第6頁(yè)/共33頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,0B,6C在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;第7頁(yè)/共33頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求z=z(x,y)的極值點(diǎn)和極值。 練習(xí)：練習(xí)：第8頁(yè)/共33頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分

5、。例例2. 討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正正負(fù)負(fù)0222)(yxz在點(diǎn)(0,0)并且在 (0,0) 都有 33yxz可能為第9頁(yè)/共33頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。 注 不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn). 因此, 在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí), 除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外, 如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), 那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮. 但(0 0)不是函數(shù)的駐點(diǎn) 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值第10頁(yè)/共33頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期一：十

6、五點(diǎn) 五十八分。 最值應(yīng)用問(wèn)題最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值(大大)(大大)依據(jù)第11頁(yè)/共33頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。 例3 欲將長(zhǎng)度為a的細(xì)桿分為三段,試問(wèn)如何分才能使三段長(zhǎng)度乘積為最大? 解 設(shè)第一段和第二段的長(zhǎng)分別為x y 則三段長(zhǎng)度乘積為 ).3,3(aa得駐點(diǎn)第12頁(yè)/共33頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法

7、.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法第13頁(yè)/共33頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè) 記)(,(xxfz例如例如,故 故有第14頁(yè)/共33頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)L(x,y) 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足0),(yx則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.第15頁(yè)

8、/共33頁(yè)第十六頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件第16頁(yè)/共33頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。例例4.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問(wèn)題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最?。康拈L(zhǎng)方體開(kāi)口水箱, 試問(wèn) xyz第17頁(yè)/共33頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.因此

9、,當(dāng)高為xyz思考思考: :1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示提示: : 利用對(duì)稱性可知,2) 當(dāng)開(kāi)口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià)最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長(zhǎng)、寬、高尺寸如何? 提示提示: :長(zhǎng)、寬、高尺寸相等 .第18頁(yè)/共33頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。例例5.設(shè)生產(chǎn)z噸某產(chǎn)品與所用A,B兩種原料噸數(shù)x,y之間的關(guān)系式為 現(xiàn)擬向銀行貸款150萬(wàn)元購(gòu)買原料, A,B兩種原料每噸價(jià)格分別為1萬(wàn)元和2萬(wàn)元,問(wèn)怎么樣購(gòu)進(jìn)這兩種原料使該產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量最多?分析： 依題意,問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)在附加條件x+2y=150下的最大值.第19頁(yè)/共33頁(yè)第二十頁(yè)，

10、編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。例例5.令解方程組解解: 依題意,問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)xLyLLyxyxz2005. 0),(在附加條件x+2y=150下的最大值.因?yàn)榇藛?wèn)題的最大值是存在的,且駐點(diǎn)是唯一的,所以點(diǎn)(100,25)是z(x,y)的最大值點(diǎn), 其最大值為z(100,25)=1250第20頁(yè)/共33頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí)思考與練習(xí)則 ACABS21第21頁(yè)/共33頁(yè)第二十

11、二頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形面積最大.第22頁(yè)/共33頁(yè)第二十三頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。 在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要根據(jù)兩個(gè)變量的幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)值在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要根據(jù)兩個(gè)變量的幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，來(lái)找出這兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式（經(jīng)驗(yàn)公式）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，來(lái)找出這兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式（經(jīng)驗(yàn)公式）問(wèn)題：解決這個(gè)問(wèn)題的常用的方法是什么？問(wèn)題：解決這個(gè)問(wèn)題的常用的方法是什么？第23頁(yè)/共33頁(yè)第二十四頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。 例例某證券公司近幾年投資于資本市場(chǎng)的資金額如下表所

12、示：某證券公司近幾年投資于資本市場(chǎng)的資金額如下表所示：第24頁(yè)/共33頁(yè)第二十五頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。如圖，在坐標(biāo)紙上畫(huà)出如圖，在坐標(biāo)紙上畫(huà)出這些點(diǎn)，這些點(diǎn)，因?yàn)檫@些點(diǎn)本來(lái)不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的因?yàn)檫@些點(diǎn)本來(lái)不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的 ，使得，使得 在在 處的函數(shù)值與實(shí)際數(shù)據(jù)處的函數(shù)值與實(shí)際數(shù)據(jù) 相差都很小相差都很小ba,baxxf)(410,xxx410,yyy解解第25頁(yè)/共33頁(yè)第二十六頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。就是要使偏差就是要使偏差 都很小都很小.因此可以考慮選取常數(shù)因此可以考慮選取常數(shù) ，使得，使得 ba,定義定義這種根據(jù)偏差的平

13、方和為最小的條件來(lái)選擇常數(shù)這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來(lái)選擇常數(shù) 的方法叫做的方法叫做最小二乘法最小二乘法ba,這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.最小來(lái)保證每個(gè)偏差的絕對(duì)值都很小最小來(lái)保證每個(gè)偏差的絕對(duì)值都很小第26頁(yè)/共33頁(yè)第二十七頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。M把看成自變量把看成自變量 和和 的一個(gè)二元函數(shù)，的一個(gè)二元函數(shù)，ab那么問(wèn)題就可歸結(jié)為求函數(shù)那么問(wèn)題就可歸結(jié)為求函數(shù) 在那些點(diǎn)處取得最小值在那些點(diǎn)處取得最小值.),(baMM 即即4040. 0)(, 0)(iiiiiiibaxyxbaxy第27頁(yè)/共33頁(yè)第二十八頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。將括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)進(jìn)行整理合并，并把未知數(shù)將括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)進(jìn)行整理合并，并把未知數(shù) 和和 分離出來(lái)，便得分離出來(lái)，便得ab計(jì)算得計(jì)算得,1040iix,30402iix,270040iiy561040iiixy第28頁(yè)/共33頁(yè)第二十九頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。代入方程組（代入方程組（1）得）得解此方程組，得到解此方程組，得到這樣便得到所求經(jīng)驗(yàn)公式為這樣便得到所求經(jīng)驗(yàn)公式為第29頁(yè)/共33頁(yè)第三十頁(yè)，編輯于星期一：十五點(diǎn) 五十八分。最小二乘法的原理：最小二乘法的原理：最小二乘法標(biāo)準(zhǔn)方程組：最小二乘法