第三章變量之間的關系

1、第三章 變量之間的關系3.1 用表格表示的變量間關系一、常量與變量在某個變化過程中，數值始終不變的量叫做常量，可以取不同數值的量叫做變量。例1：在公式s=50t中，常量是 ，變量是 。二、自變量、因變量、表格法1定義：.如果一個量隨著另一個量的變化而變化，那么把這個量叫做因變量，另一個量叫做自變量。2.（1）自變量是在一定范圍內主動發(fā)生變化的變量。（2）因變量是隨著自變量的變化而變化。3.表格法：利用表格，可以表示因變量隨自變量的變化而變化的情況。一般地，表格第一行表示自變量，第二行表示因變量。4.優(yōu)缺點：表格法一目了然，使用方便，但列出的數值有限，不容易看出自變量和因變量的變化規(guī)律。例2：你

2、以每小時8千米的速度勻速行走時，你所走的路程s（千米）隨著時間t（小時）的增大而增大，常量是 ，變量是 ，自變量是 ，因變量是 。練習1：圓柱的高h為10cm，當圓柱的地面半徑r由小變大變化時，圓柱的體積V也發(fā)生了變化，在這個變化過程中，自變量是 ，因變量是 。三、題型解析題型一：路程、速度、時間相關的問題例3：一輛小汽車在高速公路上從靜止到啟動10秒后的速度經測量如下表：時間（秒）012345678910速度（米/秒）00.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9（1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？（2）如果用t表示時間，v表示速度，那

3、么隨著t的變化，v的變化趨勢是什么？（3）當t每增加一秒時，v的變化情況相同嗎？在哪一秒鐘內，v的增加最大？（4）若高速公路上小汽車行駛的速度的上限為120千米/時，試估計大約還需幾秒這輛小汽車速度將達到這個上限？練習2：小明和他爸爸做了一個試驗：小明從一幢245m高的樓頂隨手扔下一個蘋果，由他爸爸測量有關數據，得到蘋果下落的路程和下落的時間有下列關系：下落時間t/s123456下落路程s/m5204580125180（1）隨著時間的增加，每秒下落的路程趨勢如何？（2）隨著時間的增加，蘋果下落的速度趨勢是什么？（3）請推測，7秒后蘋果是否會落地？練習3：聲音在空氣中傳播的速度y（米/秒）（簡稱

4、音速）與氣溫x（）之間的關系如下：氣溫x（）05101520音速y（米/秒）331334337340343（1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？（2）隨著氣溫的升高，音速的變化趨勢是？（3）在氣溫為15的一天召開運動會，某人看到發(fā)令槍的煙0.2秒后，聽到了槍聲，則由此可知，這個人距發(fā)令地點多少米？練習4：從高處讓一顆石子由靜止開始落下，它落下的高度與時間有下列關系：時間t/s12345下落的高度h/m5204580125推測一下用t表示h的公式，利用你的公式計算從靜止開始，經過2.5秒，石子落下多少米？題型二：彈簧問題例4：在一次實驗中，小強把一根彈簧的上端固定，在

5、其下端懸掛物品，下面測得的是彈簧的長度y與所掛的物體的質量x 的一組對應值：所掛的物體的質量x012345彈簧的長度y202224262830（1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？（2）當所掛重物為4kg時，彈簧多長？不掛重物呢？（3）若所掛重物為6kg時，（在彈簧的允許范圍內），你能說出此時彈簧的長度嗎？ 練習5：一名同學用彈簧做實驗，在彈簧上掛不同質量的物體時，彈簧的長度就會發(fā)生變化，但所掛物體質量不能超過1000g，實驗數據如下：物體質量/g100200300400彈簧長度/cm11121314（1）你能指出在這個實驗中什么是自變量，什么是因變量嗎？（2）你能

6、預測所掛物體的質量為800g時，彈簧的長度是多少嗎？彈簧的長度為15cm時，所掛物品的質量是多少？（3）不掛物體時，彈簧的長度是多少？在彈性范圍內彈簧的最大長度是多少？題型三：分段計費問題例5：上網費包括網絡使用費（每月38元）和上網通信費（每小時2元）。某電信局對撥號上網的用戶分時段優(yōu)惠，具體政策如下表（包括最大值，不包括最小值）：每月上網的時間優(yōu)惠標準030小時無優(yōu)惠3050小時通信費優(yōu)惠30%50100小時通信費優(yōu)惠40%100小時以上通信費優(yōu)惠60%例如：某戶某月上網總時間為42小時，則他應該繳納的上網費為：38+2×30+（42-30）×（1-30%）×

7、2=114.8元。你能根據上面提供的例子完成下表嗎？每月上網總時間應繳上網費20小時40小時60小時120小時練習6：某城市自來水收費實行階梯水價，收費標準如下。某用戶5月份交水費45元，則所用水為 噸。月用水量不超過12噸的部分超過12噸不超過18噸的部分超過18噸的部分收費標準（元/噸）2.002.503.003.2 用關系式表示的變量間關系一、關系式法1.兩個變量之間的關系有時可以用，一個含有兩個變量及數學運算符號的等式來表示，這種表示變量之間關系的方法叫關系式法。2.優(yōu)缺點：關系式法簡單明了，能準確反應整個變化過程中因變量與自變量之間的相互關系，但是求對應值時，要經過比較復雜的計算，而

8、且在實際問題中，有的變量之間的關系不一定能用關系式表示出來。3.確定關系式的步驟：先找出題目中關于自變量與因變量的相等關系，再用含自變量的代數式來表示因變量。4.知自變量求因變量，實質是代數式求值； 知因變量求自變量，實質是解方程。二、題型解析題型一：關于圖形的問題利用周長、面積或體積公式來列關系式例1：一個梯形，梯形的上底是x，下底的長是10，高是6。（1）梯形的面積y與上底長x之間的關系式是什么？（2）用表格表示上底x從1變到9時（每次增加1），面積y的值。（3）當x每增加1，y如何變化？（4）當x=0和x=10時，y等于多少？此時y表示什么？練習1：圓柱的高是5cm，當圓柱的底面半徑由小

9、變大時，圓柱的體積也隨之發(fā)生變化。（1）在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？（2）已知圓柱底面半徑為r（cm），體積為V（cm3），則V與r之間有什么關系？（3）當底面半徑為2cm時，圓柱的體積是多少？（4）當圓柱的體積為500cm3時，底面半徑是多少？（5）圓柱體的體積隨底面半徑的增大如何變化？練習2：若長方形的周長為24厘米，其中一邊為x（x0），面積為y平方厘米，則這樣的長方形中y與x的關系式為 。練習3：如圖3.2-1，在直角三角形ABC中，BC=6，AC=8，點D在線段AC上從點C向點A運動。若設CD=x，ABD的面積為y.（1）請寫出y與x的關系式；（2）當x為何值時，y有最

10、大值，最大值是多少？此時點D在什么位置？DA（3）當ABD的面積是ABC的面積的,點D在什么位置？CB圖3.2-1題型二：不同的計費方案之間的比較例2：某移動通信公司開設了兩種通信業(yè)務，“全球通”：使用時首先繳50元月租費，然后每通話1分鐘，付話費0.4元；“動感地帶”：不繳月租費，每通話1分鐘，付話費0.6元（本題的通話均指市內通話）。若一個月通話x分鐘，兩種方式的費用分別為y1和y2元。（1）寫出y1、y2與x之間的關系式；（2）一個月內通話多少分鐘，兩種移動通訊費相同？（3）某人估計一個月內通話300分鐘，應選擇哪種移動通信合算些？練習4：某文具店出售書包和文具盒，書包每個定價30元，文

11、具盒每個定價5元。該商店制定了兩種優(yōu)惠方案：買一個書包贈送一個文具盒；按總價的9折付款。某班學生需要購買8個書包，文具盒若干（不少于8個）。如果設文具盒數為x（個），付款數為y（元）。（1）分別求出兩種優(yōu)惠方案中y與x之間的關系式；（2）購買文具盒多少個時，兩種方案付款相同？購買文具盒大于8個時，兩種方案中哪一種更省錢？題型三：利用表格列關系式例3：某市規(guī)定用水收費標準如下：每戶每月的用水不超過6立方米，水費按每立方米a元收費；超過6立方米，不超過的部分仍按a元收費，超過的部分每立方米按b元收費。該市某用戶今年3,4月份的用水量和水費如下表所示：月份用水量/立方米水費/元357.54927（1

12、）求a，b的值，并寫出不超過6立方米和超過6立方米時，水費與用水量之間的關系式；（2）若該用戶5月份的用水量為8立方米，求該用戶5月份的水費。3.3 用圖像表示的變量間關系一、圖像法1.用圖像來表示兩個變量之間的關系的方法叫做圖像法。2.通常用水平方向的數軸（稱為橫軸）上的點表示自變量，用豎直方向的數軸（稱為縱軸）上的點表示因變量，用坐標來表示每對自變量和因變量的對應值所在位置。3.優(yōu)缺點：圖像法的特點是形象、直觀，可以形象地反映出變量之間關系的變化趨勢和某些性質，是研究變量性質的好工具，其不足是由圖像法往往難以得到準確的對應值。二、路程、速度與時間關系的圖像規(guī)律總結速度速度速度速度時間時間時

13、間時間加速減速勻速停止路程/s速度/V時間/tbbacdac00時間/t圖3.3-1圖3.3-21.如圖3.3-1，（1）a代表物體從 開始 運動；（2）b代表物體 運動；（3）c代表物體 運動；（4）a代表的速度 代表的速度（填、）2.如圖3.3-2，（1）a代表物體 運動；（2）b代表物體 ；（3）c代表物體 運動直至回到原地。3.在s-t圖像中，線段的傾斜程度表示速度的快慢，越陡速度越快，越平緩速度越慢。三、題型解析題型一：關于路程、速度與時間的圖像例1：如圖3.3-3，根據汽車行駛情況的圖象回答下列問題：（1）圖中反映了哪兩個變量之間的關系？（2）A、B、C三點分別代表了什么？（3）汽

14、車在哪些時間段內保持勻速行駛？時速分別是多少？（4）汽車行駛了多長時間？它的最大速度是多少？（5）用自己的語言大致描述這輛汽車的行駛情況。206040322824201612840 速度/（km/h）時間/min圖3.3-3練習1：玲玲騎車上學，加速行駛一段時間后，勻速前進，快到十字路口時看到前面是紅燈，于是減速停下來，綠燈亮后，她又加速行駛一段時間，快到學校時，減速行駛進入校園停了下來，下列選項中可以近似地刻畫玲玲騎車的速度隨著時間變化的情況是（ ）tt000vvvtttt0vABCDts0tsDCBss練習2：小張騎車沿直線旅行，先前進了1000米，休息了一段時間，又原路返回800米，再前

15、進1200米，則他離起點的距離s與時間t的關系示意圖是（ ）000A練習3：小強騎自行車上學，開始以一定速度勻速行駛，但行至途中自行車出現故障，只好停下來修車，車修好后，因怕耽誤上學，他加快騎車速度，并勻速行駛，下面是行駛路程s（m）關于時間t（min）的 圖象，那么符合小強行駛情況的圖象大致是（ ）xy0ts0ts0ts0ts0BCBDCBAAA練習4：萬州某運輸公司的一艘輪船在長江上航行，往返于萬州、朝天門兩地，假設輪船在靜水中的速度不變，長江的水流速度不變，該輪船從萬州出發(fā)，逆水航行到朝天門，停留一段時間（卸貨、裝貨、加燃料等），又順水航行返回萬州，若該輪船從萬州出發(fā)后所用的時間為x（h

16、），輪船距萬州的距離為y（km），則下列各圖中，能反映y與x之間函數關系的大致圖像是（ ）xy0xy0xy0DD練習5：一人騎自行車從家里出發(fā)，先加速行駛一段路程后，又勻速騎了一段路程，途中遇一熟人，減速后停下來，講了一陣話，后又加速行駛一段路程后勻速行駛，接著又減速行駛到目的地。下列圖象中能正確表示這段情形的是（ ）速度速度速度速度00C時間時間時間00時間練習6：一輛公共汽車從車站開出，加速行駛一段后開始勻速行駛，過了一段時間，汽車到達下一個車站。乘客上、下車后汽車開始加速，一段時間后又開始勻速行駛，請用圖象大致地表示汽車在這段時間內的速度變化情況。題型二：關于容器注水，水面高度隨時間變化

17、的圖象例2：均勻的向一個容器注水，最后把容器注滿，在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖3.3-4所示，則這個容器的形狀為（ ）練習7：如圖，向放在水槽底部的燒杯注水（流量一定），注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度h與注水時間t之間的函數關系，大致是（）ABC D.題型三：生活中問題的圖象應用表示例3：麗麗放學回家進門后覺得口渴，可家里沒有涼開水，于是她用水壺接了水，放在爐子上燒開，燒開后又倒入水杯中晾涼后才喝，下列圖象中，可以近似地刻畫出水的溫度隨時間的變化而變化的是（）ABCD練習8：新成藥業(yè)集團研究開發(fā)了一種新藥，在實驗藥效時發(fā)現，如果兒童按規(guī)定劑量服用，那么2小時的時候血液中含藥量最高，接著逐步衰減，每毫升血液中含藥量y（微克）隨時間x（小時）的變化如圖所示當兒童按規(guī)定劑量服藥后：（1）何時血液中含藥量最高？是多少微克？（2）A點表示什么意義？（3）每毫升血液中含藥量為2微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效期是多長？（4）你建議該兒童首次服藥后幾小時再服藥？為什么？題型四：關系式與圖象的綜合應用例4：爺爺帶了若干千克自產的土豆進城出售，為了方便，他帶了一些零錢備用，按市場價出售一些后，又降價出售，售出土豆的千克數x與他手中持有的錢數y（含備用零錢）