【金學(xué)案】蘇教高中數(shù)學(xué)必修2測(cè)試章末知識(shí)整合1含解析

1、章末知識(shí)整合一、數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)形結(jié)合”是把代數(shù)中的“數(shù)”與幾何中的“形”結(jié)合起來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題、理解問(wèn)題并解決問(wèn)題的思維方法， 是人們的一種普遍思維習(xí)慣在數(shù)學(xué)上的具體表現(xiàn).數(shù)形結(jié)合一般包括兩個(gè)方面，即以“形”助“數(shù)”和以“數(shù)”解“形”.解析幾何研究問(wèn)題的主要方法一一坐標(biāo)法，就是數(shù)形結(jié)合的典范.在本章的學(xué)習(xí)中主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：(1)直線的方程中有很多概念，如距離、傾斜角、斜率等都很容易轉(zhuǎn) 化成“形”，因此題目中涉及這些問(wèn)題時(shí)可以嘗試用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.(2)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題、直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、圓與圓的位置關(guān)系 等都可能用到數(shù)形結(jié)合思想.例 1已知圓 Ci： x2+y2= 4和圓 C2： x2

2、 + (y 8)2=4,直線 y=手x+ b在兩圓之間(不與圓相交或相切)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：畫出示意圖如圖所示，結(jié)合圖形可知3Vb<5.5直線 y=fx+b,即15x 2y+ 2b= 0.當(dāng)直線與圓Ci相切時(shí),|2b| 5+4=2,解得b=i3;當(dāng)直線與圓C2相切時(shí),MJrf1 =2,解得 b= 5 或 b=11.A規(guī)律總結(jié)圓是一種幾何特征非常明顯的圖形.在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般要根據(jù)題意在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，然后充分利用圖形解決問(wèn)題.變式訓(xùn)練1 .設(shè)點(diǎn)P(x, y)是圓x2+(y+ 4)2 = 4上的任意一點(diǎn)，則« (x-1) 2+ (y-1) 2的最大值為.解

3、析：因?yàn)辄c(diǎn)P(x, y)是圓x2 + (y+ 4)2 = 4上的任意一點(diǎn)，所以(x1) 2+ (y 1) 2表示點(diǎn)(1, 1)與該圓上任意一點(diǎn)的距離.易知點(diǎn)(1, 1)在圓x2 + (y+ 4)2 = 4外，如圖所示，所以7 (x-1) 2+ (y-1) 2的最大值為7 (1 0) 2+ (1 + 4) 2 + 2 = 26+2.答案：26+22 .已知點(diǎn)A(3, 1),在直線y= 乂和丫=。上各找一點(diǎn)M和N,使 AMN的周長(zhǎng)最短，并求出最短周長(zhǎng).解：由點(diǎn)A(3, 1)及直線y= x,可求得點(diǎn)A關(guān)于y= x的對(duì)稱點(diǎn)B(1, 3),同理可得點(diǎn)A關(guān)于y=。的對(duì)稱點(diǎn)C(3, 1),如圖所示.則 AM

4、+AN+MN = BM + CN+MN ABC,當(dāng)且僅當(dāng) B, M, N, C 四點(diǎn)共線時(shí)， AMN的周長(zhǎng)最短，為BC=2 5.由點(diǎn)B(1, 3), C(3, 1)可得直線BC的方程為2x+ y-5=0.2x+y- 5 = 0, 由工ly= x,5 x= 3,5V= 3.對(duì)于 2x+ y 5=0,一 5令 y= 0,得 x= 2,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為35故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2故點(diǎn)M(5, 5打點(diǎn)N(5, 0加所求，此時(shí)zAMN的周長(zhǎng)最短，且最 3 32短周長(zhǎng)為2 5.二、分類討論思想分類討論思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一， 其實(shí)質(zhì)就是把整體問(wèn)題化為 部分問(wèn)題，從而增加題設(shè)的條件來(lái)解決問(wèn)題.例2過(guò)點(diǎn)P(1, 0

5、), Q(0, 2)分別作兩條互相平行的直線，使它 們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1,求這兩條直線方程.解：(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線的方程分別為x=-1, x= 0,它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1,滿足題意；(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為 k,則兩條直線的方程分別為 y= k(x+1), y= kx+2.，2令 y=0,分別得 x= 1, x= 2.，r一2一由定息-1 + 1 =1,即k=1.k所以這兩條直線的方程分別為 y= x+1, y= x+2, 即 xy+ 1 = 0, x y+ 2 = 0.綜上可知，所求的直線方程分別為x= 1, x= 0 或 x y+ 1

6、= 0, x y+ 2=0.A規(guī)律總結(jié)研究直線要善于從斜率的角度去考慮問(wèn)題，即從斜率存在和斜率不 存在兩個(gè)方面分類討論.這是隱含在題中的一個(gè)分類因素，易被忽視, 也是犯“對(duì)而不全”錯(cuò)誤的根源之一.變式訓(xùn)練3 .已知直線l: 4x ysin 0+ 1 = 0,求它的斜率及斜率的取值范圍.解：直線l的方程中y的系數(shù)是一sin 0,而sin 0的值域是一1,1, sin 0的值可取零，但sin 0=。的直線的斜率不存在，故視 sin 0為研究 對(duì)象，分類討論.(1)當(dāng) sin 0= 0,即 0= k兀k6 Z)時(shí),直線l的斜率不存在，傾斜角oc=2；（2）當(dāng) sin -0,即-k兀k Z）時(shí),4直線

7、l的斜率k=s肅 k的取值范圍為（s, 4U4, + s）.三、函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想在圓中應(yīng)用較廣泛， 求圓的方程、直線與圓的交點(diǎn) 及圓與圓的交點(diǎn)等都要用到函數(shù)與方程思想.分析:例3已知過(guò)點(diǎn)（3,0）的直線l與圓x2 + y2 + x-6y+ 3= 0相交于P, Q兩點(diǎn)，且OPLOQ（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程.已知 OPXOQ,若設(shè) P(x1, w), Q(x2, y2),則刈乂2+丫佻=0,由點(diǎn)P, Q在圓及直線l上，可聯(lián)立方程，借助根與系數(shù)的關(guān)系求解.解：設(shè)直線l的方程為x + ay 3=0,由題意知a#0.(*)x2 + y2+x-6y+ 3= 0, 由lx+ ay-

8、3 = 0,一 2 一 y 23 x消去 y,得 x2+ Tf+x6、工+3=0,即(a, + 1)x + (a2 + 6a 6)x + 3a2 18a + 9 = 0,、門r3a2-18a+9設(shè) PM, y) Q(x2, 為，則 xix2="由方程組(*)消去 x,得(3 ay, +y+3ay 6y+ 3 = 0,即(a? + 1)y(7a+6)y+15=0,所以 yiy2=a215i依題意知op，OQ,所以xix2+yiy2=0.3a2- 18a+915將代入，得 一口一 +a2151= 0.整理，得a26a+8 = 0,解得a=2或a = 4,經(jīng)檢驗(yàn)知a=2和a=4都滿足題意，

9、所以直線l的方程為x+2y 3=。或x+ 4y-3=0.A規(guī)律總結(jié)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立 各變量間的函數(shù)關(guān)系.通過(guò)函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問(wèn)題得到解決.方程的思想多用于曲線方程的求解和兩直線位置關(guān)系的判定.變式訓(xùn)練1 一4 .已知直線l: y= 2x和兩個(gè)定點(diǎn)A(1, 1), B(2, 2),向直線l上 是否存在一點(diǎn)P,使得|PA|2+|PB|2取得最小值，若存在，求出點(diǎn)P的坐 標(biāo)和|PA|2+ |PB|2的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.解：假設(shè)存在一點(diǎn)P,使得|PA|2+ |PB|2取得最小值，設(shè)此點(diǎn)為P(2X0, X0),則|PA|2+ |PB|2

10、 = (2X0 1)2+(X0-1)2 + (2x0-2)2+ (x。 2)2 = 10x2 18x0+ 10.因?yàn)閄06R,所以當(dāng) = 10,即點(diǎn)p的坐標(biāo)為(5, 190時(shí),PA2 + PB2可取得最小值，且最小值為1910.四、轉(zhuǎn)化與化歸思想把代數(shù)問(wèn)題幾何化、幾何問(wèn)題代數(shù)化, 體化、簡(jiǎn)單化，從而使問(wèn)題快速得到解決.可使較復(fù)雜問(wèn)題直觀化、具例4已知實(shí)數(shù)x, y滿足y= x2-2x+2(-1<x< 1),試求的最大值和最小值.解：設(shè)丫= x2-2x + 2(-1<x< 1)表示曲線段AB.由巖：的幾何意義可知，它表示定點(diǎn)P(2, 3)和曲線段AB上任一點(diǎn)(x, y)的連線的斜 率k,如圖所示，可知由已知可得A(1, 1), B( 1, 5),所以kPA= 1 _1 一 ( 3)(2)=3, kPB=5 ( 3)1 (2)=8.所以8,故號(hào)的最大值是8,最小值是3.y2 yic+ dx對(duì)于形如k=的分式函數(shù)y=的值域問(wèn)題，可利用定點(diǎn)x2 x1a+bx與動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)位置，轉(zhuǎn)化為求直線斜率的范圍，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.變式訓(xùn)練5 .已知實(shí)數(shù)x, y滿足x+ y+ 1=0,求x