數(shù)學思想方法及其教學最新課件

1、2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新1數(shù)學思想方法及其教學2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新2*基礎教育改革：尋找解決教學問題基礎教育改革：尋找解決教學問題的大策略成為明顯趨勢。的大策略成為明顯趨勢。*2121世紀國際教育委員會認為：教學世紀國際教育委員會認為：教學質(zhì)量和教師素質(zhì)的重要性無論怎樣質(zhì)量和教師素質(zhì)的重要性無論怎樣強調(diào)都不過分。強調(diào)都不過分。引言引言2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新3一、為什么要談數(shù)學思想方法1、從數(shù)學思想方法的意義看2、從當前數(shù)學課堂教學現(xiàn)狀看2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新4從數(shù)學思想方法的意義看21世紀是“知識經(jīng)濟時代”，國際競

2、爭是“創(chuàng)新能力”的競爭，高科技的競爭，若把“高科技”比作皇冠的話，數(shù)學就是皇冠上的一顆明珠。就是說要培養(yǎng)21世紀高科技創(chuàng)新人才，首先應培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維能力的“數(shù)學王子”。在數(shù)學教育中，學生掌握科學的思維方法是成為創(chuàng)造型人才的基礎，是培養(yǎng)高科技研究型人才、迎接新世紀國際高科技挑戰(zhàn)的比由之路。 2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新5思維是事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律性在人腦中的反映，它是智力的核心，而小學數(shù)學的一個重要任務就是要培養(yǎng)學生實際操作能力的基礎上訓練和培養(yǎng)學生的思維能力。 2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新6從當前數(shù)學教學現(xiàn)狀看多年來，我國小學實現(xiàn)依然存在時費低效的多年來，我國

3、小學實現(xiàn)依然存在時費低效的現(xiàn)象，表現(xiàn)在教師講解例題多，學生套題解為現(xiàn)象，表現(xiàn)在教師講解例題多，學生套題解為多，對復雜化的題型束手無策，更談不上創(chuàng)造多，對復雜化的題型束手無策，更談不上創(chuàng)造性地解決實際問題。究其實質(zhì)，是思維訓練沒性地解決實際問題。究其實質(zhì)，是思維訓練沒有到位，從思維方法訓練的角度得到反省，過有到位，從思維方法訓練的角度得到反省，過去教師過分看重思維結果，偏重灌輸，忽視學去教師過分看重思維結果，偏重灌輸，忽視學生思維過程的展示，以及錯誤思維過程的暴露，生思維過程的展示，以及錯誤思維過程的暴露，必須導致思維訓練走過場，教師講的頭頭是道，必須導致思維訓練走過場，教師講的頭頭是道，學生解

4、題摸不著門道的被動局面，只有讓學生學生解題摸不著門道的被動局面，只有讓學生經(jīng)歷思考過程，獲得思維方法，才能真正內(nèi)行經(jīng)歷思考過程，獲得思維方法，才能真正內(nèi)行為經(jīng)驗和知識，形成能力。為經(jīng)驗和知識，形成能力。 2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新7 課堂教學應試為主教學目標定位偏低教學目標定位偏低 鞏固知識鞏固知識 熟練技能熟練技能教學內(nèi)容膚淺狹窄教學內(nèi)容膚淺狹窄 已知知識已知知識 浮于淺表浮于淺表 局限課本局限課本 固守單科固守單科教學過程預設過多教學過程預設過多 嚴密周到嚴密周到 強迫牽制強迫牽制 被動跟隨被動跟隨教學方式講授演繹教學方式講授演繹 教師講析教師講析 師生問答師生問答 學生活

5、動虛浮異化學生活動虛浮異化 有形無實有形無實 效度不高效度不高 機械練習機械練習 2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新8數(shù)學新課程標準的要求 “幫助學生學會基本的數(shù)學思想方法”是新一輪數(shù)學課程改革所設定的一個基本目標。以國際上的相關研究為背景，對小學數(shù)學教學中如何突出數(shù)學思維進行具體分析表明，即使是十分初等的數(shù)學內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特征性質(zhì)。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新9理論依據(jù)數(shù)學教學主要是數(shù)學思維的教學，而不是單純的數(shù)學知識的教學，要加強數(shù)學基礎知識教學的同時，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，掌握數(shù)學思考方法，因此小學數(shù)學教學要有重大突破，就在于小學生思維

6、發(fā)展的研究。這一教學原則改變了我們“滿堂灌”，“注入式”的教學方法，著眼于學生的思維的訓練。給學生“思考”的機會，指導學生思維方法，使其形成良好的思維品質(zhì)。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新10教學從現(xiàn)代教育觀點看：教學從現(xiàn)代教育觀點看：當前的數(shù)學教學偏重書本知識和雙基訓練，缺少對學生學習情感、態(tài)度以及個體差異的關注，忽視研究性學習和實踐活動。在學生的創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)方面，與發(fā)達國家相比，差距十分明顯。有學者指出，按照。有學者指出，按照知識的外在程度，新經(jīng)濟時代把知識分為外顯部知識的外在程度，新經(jīng)濟時代把知識分為外顯部分與內(nèi)隱部分，它們構成一個冰山模式，前者浮分與內(nèi)隱部分，它們

7、構成一個冰山模式，前者浮出海面，后者在下托起整個冰山。后者就是內(nèi)隱出海面，后者在下托起整個冰山。后者就是內(nèi)隱部分，即智慧、情感和態(tài)度，它深深地嵌入于實部分，即智慧、情感和態(tài)度，它深深地嵌入于實踐之中。人的創(chuàng)新精神和實踐能力主要依賴于內(nèi)踐之中。人的創(chuàng)新精神和實踐能力主要依賴于內(nèi)隱部分。只有通過在行動中學習，才能達到培養(yǎng)隱部分。只有通過在行動中學習，才能達到培養(yǎng)和提高的目的。當前數(shù)學教育的現(xiàn)狀呼喚著符合和提高的目的。當前數(shù)學教育的現(xiàn)狀呼喚著符合時代要求的新數(shù)學課程的誕生。時代要求的新數(shù)學課程的誕生。 2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新11 知識的冰山模型知識的冰山模型明確知識明確知識（是什

8、么、為什么）（是什么、為什么）主要是事實和原理的知主要是事實和原理的知識識存于書本，可編碼（邏輯存于書本，可編碼（邏輯性）、可傳遞（共享性）、性）、可傳遞（共享性）、可反思（批判性）可反思（批判性）默會知識默會知識（怎么想、怎么做）（怎么想、怎么做） 本質(zhì)上是理本質(zhì)上是理 解力和領悟解力和領悟 存于個人經(jīng)驗（個體存于個人經(jīng)驗（個體 性）、嵌入實踐活動性）、嵌入實踐活動 （情境性）（情境性）2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新12 教學是兩組主體間的作用系統(tǒng)教學是兩組主體間的作用系統(tǒng) 從被動到互動從被動到互動尊重學生（需求、現(xiàn)狀、發(fā)展可能）尊重學生（需求、現(xiàn)狀、發(fā)展可能）要求學生（強調(diào)適切

9、性）要求學生（強調(diào)適切性）教師學生儒家文化：尊師重教儒家文化：尊師重教 主導性主體主導性主體發(fā)展性主體發(fā)展性主體2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新13從單一過程到復雜過程從單一過程到復雜過程存于實踐經(jīng)驗的存于實踐經(jīng)驗的默會知識默會知識 存于書本的存于書本的 明確知識明確知識 教師教師學生學生書本學習、行動學習、合作學習書本學習、行動學習、合作學習2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新14在主導原則下取得新平衡是關鍵在主導原則下取得新平衡是關鍵打破舊平衡打破舊平衡 出現(xiàn)偏頗出現(xiàn)偏頗 平衡兼顧平衡兼顧 問題解決為中心問題解決為中心 概念和技能不落概念和技能不落 實實 平衡基本技能、概念

10、平衡基本技能、概念 理解和問題解決理解和問題解決 興趣作為出發(fā)點興趣作為出發(fā)點 知識不總是好玩知識不總是好玩 和容易的和容易的 平衡長效核心知識和平衡長效核心知識和 學生活動興趣學生活動興趣 重視應用重視應用 應用情境混亂導應用情境混亂導 致知識難懂致知識難懂 對應用情境要作合適對應用情境要作合適 的教學加工的教學加工 強調(diào)合作強調(diào)合作 依賴別人導致獨依賴別人導致獨 立思考能力下降立思考能力下降 弄清什么情況下合作弄清什么情況下合作 學習才有效學習才有效 教改實踐要有不走極端而達到頂尖的集其大成的智慧教改實踐要有不走極端而達到頂尖的集其大成的智慧2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新15國

11、際著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾稱之為“再創(chuàng)造”，他反復指出：學生學習數(shù)學的唯一正確的方法是實行“再創(chuàng)造”。數(shù)學教育家的教學原則，為我們闡明了數(shù)學教育方法：就是在引導學生獲取知識時，為學生創(chuàng)造能夠利用已有的感性經(jīng)驗和認識條件，為學生提供思維的最近發(fā)展區(qū)，激發(fā)學生的求知欲望，誘發(fā)學生的創(chuàng)造2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新16基礎知識與基本技能基礎知識與基本技能 雙基的內(nèi)涵與時代的發(fā)展雙基的內(nèi)涵與時代的發(fā)展 繁難偏舊的綜合繁難偏舊的綜合 過度形式化演繹問題過度形式化演繹問題2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新17基礎知識與基本技能基礎知識與基本技能523121 這是美國許多學生在做分數(shù)加

12、這是美國許多學生在做分數(shù)加減時所犯的錯誤，為此我們應該減時所犯的錯誤，為此我們應該考慮雙基的內(nèi)涵與時代的發(fā)展之考慮雙基的內(nèi)涵與時代的發(fā)展之間的關系間的關系.2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新181 1、從實物到算式的、從實物到算式的“數(shù)學化數(shù)學化”過過程程 -小學數(shù)學小學數(shù)學有余數(shù)的除法有余數(shù)的除法 7 73=2 13=2 1 FreudenthalFreudenthal研究所的達朗其研究所的達朗其( (Jan de Lange,1996Jan de Lange,1996) )在在ICME-8ICME-8的大會報告中介紹了荷蘭的一堂課：的大會報告中介紹了荷蘭的一堂課：8181名家長出席

13、學名家長出席學校家長會，每張桌子可坐校家長會，每張桌子可坐6 6人，需要布置多少張桌子？一類人，需要布置多少張桌子？一類學生具體地擺桌子；第二類學生經(jīng)歷了具體到形式的抽象；學生具體地擺桌子；第二類學生經(jīng)歷了具體到形式的抽象；第三類學生套用算式去做。實際上，三類學生中只有第二類第三類學生套用算式去做。實際上，三類學生中只有第二類才真正體驗到了才真正體驗到了“數(shù)學化數(shù)學化”的含義。的含義。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新19問題問題糾纏于區(qū)分等分除、包含除等枝節(jié)糾纏于區(qū)分等分除、包含除等枝節(jié), ,未突出未突出“有有余數(shù)余數(shù)”這個要點這個要點習慣于程式化訓練：習慣于程式化訓練：3 3（ ）

14、7 7 括號里最大能填幾？未關注試商的現(xiàn)實意義括號里最大能填幾？未關注試商的現(xiàn)實意義(3)(3)表面地尋找規(guī)律表面地尋找規(guī)律 16165 53131 17 175 53232 18 185 53333 19 195 53434 余數(shù)余數(shù)(1(1、2 2、3 3、4 4）與除數(shù)（）與除數(shù)（5 5）比較大）比較大小，得出余數(shù)小于除數(shù)小，得出余數(shù)小于除數(shù)忘記了對小學生來說忘記了對小學生來說“數(shù)學就是生活數(shù)學就是生活” ” 2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新202021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新21 實物操作實物操作 表象操作表象操作 符號操作符號操作 分豆子分豆子 腦中分豆子腦中分豆

15、子 算式運算算式運算 （具體）（具體） （半具體、半抽象）（半具體、半抽象） （抽象）（抽象） 尋找規(guī)律尋找規(guī)律“分豆子分豆子”與布魯納的認知理論與布魯納的認知理論 數(shù)學是在具體、半具體、半抽象、抽象中間的鋪數(shù)學是在具體、半具體、半抽象、抽象中間的鋪排，是穿梭于實物與算式之間所作的形式化過渡。排，是穿梭于實物與算式之間所作的形式化過渡。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新22豁然開朗：表象操作是形式化的重要中介豁然開朗：表象操作是形式化的重要中介 如退位減法如退位減法23-8=23-8=？學生有多種思維水平：？學生有多種思維水平：第一種：第一種：第二種：第二種：形式化形式化尋找意義尋找意

16、義 2323 8 8 15 15第三種：第三種：第四種：說出算理第四種：說出算理 23238=10 +(13 8=10 +(13 8)=158)=15 23 23 8=(20 8=(20 8)+3=158)+3=15 23 23 8=(23 8=(23 10)+2=1510)+2=15 停留于第一、第二種水平的學生停留于第一、第二種水平的學生“只會動手做只會動手做, , 不會不會動腦想動腦想”，從第二到第三種是關鍵的一步，通過表象操作，從第二到第三種是關鍵的一步，通過表象操作，越過這一步，才能達到計算自動化，或靈活運用多種方法越過這一步，才能達到計算自動化，或靈活運用多種方法并說出算理。并說出

17、算理。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新23二、數(shù)學思想方法在數(shù)學教學中數(shù)學思想方法的發(fā)展史數(shù)學思想方法在數(shù)學教學中的應用2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新241數(shù)學思想與方法數(shù)學思想與方法1,從詞義看：思想是指客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果。2,從哲學角度看，思想的涵義有二：一是與“觀念”同義，二是指相對于感性認識的理性認識成果。3,數(shù)學思想：對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的思想觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數(shù)學和用數(shù)學問題的指導思想。例：化歸思想、分類思想、模型思

18、想、極限思想、統(tǒng)計思想、最優(yōu)化思想。4,數(shù)學方法：從數(shù)學角度提出問題、解決問題（包括數(shù)學內(nèi)部問題和實際問題）的過程中采用的各種方式、手段、途徑等，其中包括變換數(shù)學形式。求和可以考慮分解組合的方法，變換問題的數(shù)學形式。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新25 二、數(shù)學思想方法的發(fā)展和演進數(shù)學思想方法的發(fā)展和演進 數(shù)學是一門古老的學科，它從萌芽時期發(fā)展至今已經(jīng)有數(shù)千年的歷史。數(shù)學的發(fā)展史不只是一些新概念、新命題的簡單堆砌，它包含著數(shù)學思想和方法的積淀，尤其是數(shù)學本身許多質(zhì)的飛躍，即數(shù)學思想方法的重大突破。1，古代的數(shù)學思想和方法 從遠古到公元前5世紀左右的數(shù)學萌芽時期是一個漫長的歷史過程。

19、（人們積累了算術和幾何方面的零碎知識，逐漸形成了抽象意義下的數(shù)和圖形的概念，產(chǎn)生了計數(shù)法和各種數(shù)制下的算法，出現(xiàn)了測地術。此時尚未形成一般的數(shù)學理論，還談不上有什么重要的數(shù)學思想。但是一一對應的計數(shù)法（對應思想）和記數(shù)符號的使用有力地推動了數(shù)學的發(fā)展。另外，直接的觀察和體念被作為最重要的認識方法。 數(shù)學經(jīng)過漫長的萌芽時期，在古巴比倫、埃及和中國積累了大量的數(shù)學知識之后，匯成了兩股不同的數(shù)學源流，2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新26 形成了兩個各具特色、風格各異的數(shù)學體系。一個是以巴 比倫和埃及數(shù)學為源頭的，在希臘匯合后又得到長足進步 與發(fā)展的古希臘數(shù)學，另一個則是以解決問題為宗旨、以

20、 注重算法為特點的古代中國數(shù)學。 古希臘的數(shù)學融數(shù)學與哲學為一體，以哲學促進數(shù)學 理論的建立，提出了一系列思辯性的數(shù)學觀點、理論和方 法。首先 ，古希臘人對數(shù)學的認識有了根本性的變化。他 們認為數(shù)學不僅可用來解決一些實際問題，更重要的是他 們試圖用數(shù)學來理解世界，把數(shù)學看作是理解宇宙的一把 鑰匙，是研究自然的一部分，其深刻的數(shù)學思想對后世影 響很大。其次，古希臘人用演繹證明方法研究幾何，使幾 何學成為一個演繹系統(tǒng)。歐幾里得的幾何原本和阿波 羅尼斯的圓錐曲線是演繹數(shù)學的代表著作。把邏輯證 明系統(tǒng)地引入數(shù)學，把數(shù)學奠基于邏輯之上，這是對數(shù)學 認識的一個質(zhì)的飛躍。由此得來數(shù)學思想方法的更新 公里化的

21、思想和演繹推理進入了數(shù)學。值得一提的是，古2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新27希臘雖然非常強調(diào)演繹推理，但數(shù)學思想發(fā)展的歷史表明，他們的數(shù)學創(chuàng)造也離不開觀察、實驗，離不開歸納、猜想和分析。 中國古代數(shù)學是以問題為中心的算法體系，九章算術的成書是其形成的標志。2、近代的數(shù)學思想和方法、近代的數(shù)學思想和方法 1718世紀，歐洲的數(shù)學創(chuàng)造也進入了一個嶄新的時期，這個時期，數(shù)學不僅產(chǎn)生了許多新的分支，而且產(chǎn)生了許多新的思想和方法，它突出表現(xiàn)在從演繹幾何到幾何代數(shù)化、從常量數(shù)學到變量數(shù)學以及從必然數(shù)學到或然數(shù)學的幾個重大轉折上。3、現(xiàn)代的數(shù)學思想和方法、現(xiàn)代的數(shù)學思想和方法2021-10-9數(shù)

22、學思想方法及其教學最新28美國的基礎教育n馬力平（原華師大碩士）在馬力平（原華師大碩士）在數(shù)學的認知和教學數(shù)學的認知和教學例例舉了這樣一個例子：舉了這樣一個例子：n象象n考察考察2020個小學教師，個小學教師，62%62%的教師沒有答對（樣本雖小，的教師沒有答對（樣本雖小，但他們中但他們中1818個具有學士學位，個具有學士學位，6 6個具有碩士或博士學個具有碩士或博士學位）位）n美國小學（三至五年級）不教分數(shù)美國小學（三至五年級）不教分數(shù)n美國也在學習中國的基礎教育，因此，我們得尋找中美國也在學習中國的基礎教育，因此，我們得尋找中西方的最佳結合點西方的最佳結合點中間地帶中間地帶32153202

23、1-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新29一條船上有一條船上有7575頭牛和頭牛和3232頭羊，頭羊，問船長幾歲？問船長幾歲？ 這是學校把學生越教越笨的表現(xiàn)這是學校把學生越教越笨的表現(xiàn). .中國的中小學生有中國的中小學生有92.5% 92.5% 給出答案給出答案法國四年級小學生給答案的為法國四年級小學生給答案的為65%65%2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新30（荷蘭）甲離學校（荷蘭）甲離學校1010公里，乙離甲公里，乙離甲3 3公里，公里， 問乙離學校幾公里？問乙離學校幾公里？n訓練學生的表示能力n甲、乙、學校在一條直線上？ 沒有說 校 乙 甲 乙 2021-10-9數(shù)學思想方法及其教

24、學最新31數(shù)學方法的應用舉例數(shù)學方法的應用舉例1 1、數(shù)學抽象與數(shù)學模型方法、數(shù)學抽象與數(shù)學模型方法數(shù)學從內(nèi)容到方法都顯示出極其高度的抽象性數(shù)學從內(nèi)容到方法都顯示出極其高度的抽象性(1).數(shù)學抽象方法11數(shù)學抽象的概念 數(shù)學抽象是抽象方法在數(shù)學中的具體運用，也就是利用抽象方法把大量生動的關于現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的直觀背景材料進行去偽存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提煉數(shù)學概念，構造數(shù)學模型，建立數(shù)學理論。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新3212 數(shù)學抽象的特點(1)數(shù)學抽象的特殊內(nèi)容：數(shù)學只是量的科學。1，1頭牛，1只羊（2) 數(shù)學抽象的特殊高度：和一般的自然科學相比，數(shù)

25、學抽象的又一特點在于它所達到的高度，數(shù)學的抽象程度遠遠超過了自然科學中的一般抽象。首先，數(shù)學抽象往往是在其他學科抽象基礎上的再抽象。（例如，正比例函數(shù)是物理學中勻速直線運動和簡諧運動的再抽象。其次，數(shù)學抽象具有逐級抽象的特點。更為重要的是，數(shù)學抽象的特殊高度表現(xiàn)在數(shù)學中一些概念與真實世界的距離是如此遙遠以致常常被看成“思維的自由想象物和創(chuàng)造物”，這即為數(shù)學中所謂的“理想元素”（如無窮遠點）（3)數(shù)學抽象的特殊方法。數(shù)學抽象就是一種建構的活動，數(shù)學的研究對象是通過邏輯建構活動來得到構造的。2.數(shù)學抽象的基本方法2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新3321 理想化抽象在純粹理想的狀態(tài)下，對事

26、物進行簡單化與完善化的加工處理，撇開事物的具體內(nèi)容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的本質(zhì)的屬性，抽象出相應數(shù)學內(nèi)容的方法。22 強抽象與弱抽象 強抽象是指在已知概念中，加強對某一屬性的限制，抽象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過擴大原概念的內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。例：從四邊形概念出發(fā)，從兩組對邊給予適當限制，則得平行四邊形和梯形的概念。若從平行四邊形概念出發(fā)，再對邊或角分別適當限制，有得到矩形、菱形及正方形的概念。弱抽象：指在已知概念中，減弱對某一屬性的限制，抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新概念的特例的方法。即通過縮小原概念的內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。2021-

27、10-9數(shù)學思想方法及其教學最新34例：從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲得相似形與等積形的概念，它們分別保留了“形狀相同”及“面積相等”的特性。23 等置抽象從一類對象（具體的或抽象的個體）中抽象出其中的某種共同屬性的抽象方法。例：自然數(shù)的概念就是用等置抽象的思想建立起來的。每個自然數(shù)實際上都是一類等價集合的標記，它反映這類集合中元素的數(shù)目是該類集合的類的標記，它反映這類集合中元素的數(shù)目，是該類集合的類的特征。24 存在性抽象先用假設的方法肯定抽象出來的數(shù)學概念存在性，并由此發(fā)展出一定的數(shù)學理論，然后在理論和實踐中加以驗證，從而確認新的數(shù)學理論的合理性。如：自然數(shù)“無限延伸”以及無理數(shù)

28、、負數(shù)、虛數(shù)都是由存在性抽象方法建立起來的。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新35應用舉例：應用舉例：例17只杯放在桌子上，三只杯口朝上，四只杯口朝下，現(xiàn)要求每次同時翻轉其中四只使杯口朝向相反，問能否經(jīng)過有限次翻轉后，使所有杯子杯口均朝下？ 分析：+1表示杯口朝上，-1表示杯口朝下起始狀態(tài)：三個+1，四個-1（+1）（+1）（+1）（+1）（-1）（-1）（-1）終點狀態(tài)是七個-1，即 （-1）翻轉一只杯子使其朝向相反，不是+1也即在（+1）或（-1）上乘以（-1）?，F(xiàn)欲將四只杯子同時翻轉，可見每次“運算”（即翻轉杯子）的總結果是乘以（）原問題就抽象為如下問題：能否每次同時改變四個符號

29、使起始狀態(tài)變?yōu)榻K點狀態(tài)，顯然不可能。因為，起始狀態(tài)結果為，終點狀態(tài)為711, 1就是442021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新36例 男女若干人圍坐在一個圓桌，在相鄰兩人間插上一朵花；同性者中間插一朵紅花，異性者中間插一朵蘭花。若所插的紅花與蘭花一樣多，證明：男女人數(shù)總和是4的倍數(shù)。例 （1906年匈牙利）設a 為1，2，3， 的 某種排列，證明，若n為奇數(shù)，則積（ 為偶數(shù)。由上例可以編出下列習題例（1968年英國） 設a 為整數(shù)， 為它們的一個排列，證明：數(shù)（ 為偶數(shù)。naaa,.,321n).(2)(121naaan7321,.,aaa721.,bbb).()(772211bababa

30、2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新37例任選六個人在一起集合，試證其中要么至少有三個人彼此不認識，要么至少有三個人互相認識。（此問題常稱為六人集合問題，現(xiàn)用理想化抽象的方法處理）2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新38例例在哥尼斯堡七橋問題中，一筆畫問題就是七橋問題的數(shù)學模型。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新39n例將1到100這一百個自然數(shù)寫在一起成為一個多位數(shù)：12345678910111213149899100n試從這個數(shù)中去掉一百個數(shù)字，而使剩下的數(shù)最大，問應怎樣去法？最后剩下的數(shù)是什么數(shù)？2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新40n按照題意，應使最后剩下的

31、這個數(shù)的前面幾位數(shù)字盡量地大。n（1）去掉12345678，共8個數(shù)字，使剩下的第一位數(shù)字為9；n（2）去掉第一個9后面的1011128，再去掉19的1，這樣共去掉19個數(shù)字，使剩下的第二位數(shù)字為9，再去掉第二個9后面的22627282共19個數(shù)字，使剩下的第三位數(shù)字位9，如此繼續(xù)下去至剩下第五個9時，算一算就知道去掉了84個數(shù)字。n（3）去掉第五個9后面的14個數(shù)字505，這樣一共去掉98個數(shù)字，再可去掉兩個數(shù)字，若去掉57，則剩下的第六位數(shù)字為5，不算大，因此只去掉一個數(shù)字5，使剩下的第六位數(shù)字為7。n（4）最后再去掉7后面的一個數(shù)字5，使剩下的第七位字為8。n由上面得到的剩下的最大數(shù)為：

32、n99999785960619899100。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新41例:計算： .1505011022110111100199141312112021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新42提示： 分子= =分母=答案為2。1001614121210013121150131211100131211.1001531521511212021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新43整體化思想在數(shù)學解題中的應用整體把握法是指全面地、總體地考慮數(shù)學問題，注意分析問題的整體結構，從整體角度思考，從宏觀上理解和認識問題的實質(zhì)，以達到解決問題的目的。例1設都是非零實數(shù)，則行列式中至少有一項是

33、負數(shù)，有一項是正數(shù)。942861753843762951987654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新441.挖掘問題的整體化特征挖掘問題的整體化特征例2在正方形內(nèi)部給出2000個點，現(xiàn)在用M來表示該正方形的個頂點和上述個點構成的點集，并按下式規(guī)則把上述正方形紙片剪成一些三角形，使得：每個三角形三個頂點都是M中元素；除頂點之外，每個三角形不再含M中的元素，試問：共可剪出多少個三角形？如果三角形每邊剪一刀，共要剪幾刀？2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新45故共剪出4200個三角形。（）每個三角形共有三邊，故每個三角形共要

34、剪刀，4200個三角形共 邊。但原四邊形的四邊不必剪，并且注意到其余每邊都是兩個三角形的公共邊，故應剪的刀數(shù)是(故共要剪去6100刀。 （圖1 正方形）34002.60012320012)4340022021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新46分析與思考：分析與思考：（）如果逐點或逐個三角形來考慮，那就太繁瑣了。由于三角形三內(nèi)角和為定值，而正方形每個頂點不管這樣剪總可以提供90，內(nèi)部的每個點可以提供360，因此可以從三角形內(nèi)角和總數(shù)方面作整體性考慮。如圖，中有兩類點：第一類為四邊形的頂點，即 等。第二類是四邊形內(nèi)部的那2000個點，如 等。研究以第一類點為頂點的所有三角形的相關角，如以D為公

35、共頂點的，它們的和為90。以第二類點中每個點為頂點的三角形的相關角的和為360，例如，以P為頂點的三角形有3個，其中，以P為公共頂點的個角之和為 ，故符合條件的所有三角形的內(nèi)角和為) 1 ()2(DCBA，QP，360654180400236020009042021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新472、從全局入手解決局部問題n本來是個局部的數(shù)學問題，為解決它，“升格”為全局問題，通過對全局問題的研究，導致原問題的解決。n例3 求包含在正整數(shù)與（）之間的分母為3的所有不同約分數(shù)之和。mnnm 2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新48n思考與分析：思考與分析：這樣的所有分數(shù)是它既非等差數(shù)

36、列，又非等比數(shù)列，當然不好求和，但我們看到包含正整數(shù)與之間的可約分分數(shù)為它的各項和容易求出為 。這兩類分數(shù)統(tǒng)一在整體之中，而這整體分數(shù)為等差數(shù)列，各項和為所以所求分數(shù)之和為 313235343231nnmmmm，nnmm，11,2) 1)(1mnnmSnnnmmmmmm，31323534132312) 133)(2mnnmS2212mnSSS2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新49n3、從整體結構考慮，抓住整體的不變性、從整體結構考慮，抓住整體的不變性n在研究一個題目時，當一些條件變化了，而另一些條件或者研究對象的整體保持不變，這些整體的不變性可以直接影響題目的結果，我們就要從整體上去發(fā)

37、現(xiàn)和抓住這些不變的因素。n例4 設名選手兩兩之間進行一場比賽，沒有平局，第i名選手勝場，負，求證：n我們考慮比賽總場數(shù)這一整體。n因為每一場比賽，沒有平局，必有一人勝，一人負，所以，所有人所有勝場總和等于所有人所有負場總和，即n 。這是一個不變量。n 另外，對于每個選手都是比賽了場，因此有n （這又是一個不變量）。n利用這兩個不變量，本題很容易解決n于是)2(niwil2222122221nnlllwwwnnlllwww21211n1nlwii2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新50n利用這兩個不變量，本題很容易解決n于是n于是0)(1()() 1()()(11112121212niin

38、iiniiiniiiiiiniiniiniilwnlwnlwlwlwlw2222122221nnlllwww2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新514、從整體性質(zhì)出發(fā)對已知條件整、從整體性質(zhì)出發(fā)對已知條件整體運用體運用對已知條件要克服單抓一二項，而忽視其他，要從整體性質(zhì)出發(fā)對已知條件整體運用，挖掘已有條件的地位與作用，從而達到訓練學生整體思考能力。例已知 求的值。172523212222222222222wzyx174543414222222222222wzyx176563616222222222222wzyx178583818222222222222wzyx2222wzyx2021-1

39、0-9數(shù)學思想方法及其教學最新52思考與分析：思考與分析：把四個方程變成一個整體，即以為根的關于的方程（）這是一個關于的分式方程，可以化為關于的四次方程 （）又因為為方程（2）的根，則整理得 （）比較方程（2）和（3）中的系數(shù)可得+84= 22228 ,6 ,4 ,2t1753122222222twtztytxtt0)84(4322322224atatatwzyxt22228 ,6 ,4 ,2, 0)8)(6)(4)(2(2222tttt0)8642(4322322224atatatt2222wzyx120864222222222wzyx3t2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新535利用

40、配對策略，把局部補成整體利用配對策略，把局部補成整體通過題目中的某個式子A的特點，配上一個A的對偶式B，使得A和B從整體上有些比較明顯的結果。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新54例 已知均為正實數(shù)，且滿足n求證：不等式對正整數(shù)成立。 naaa,21121naaa211212132222121aaaaaaaaaaaannnnnn2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新556挖掘結論的整體性挖掘結論的整體性題目的結論整體性很強，而從局部并不容易去思考，這時，我們常常把結論的對象看做一個整體，并從整體上去研究結論的特征，從而獲得解題的方法。n例7 今有男女各2n人，圍成內(nèi)外兩圈跳邀請舞，

41、每圈各2n人，有男有女，跳舞規(guī)則如下：每當音樂一起，如面對面是一男一女，則男的邀請女的跳舞，如果均是男的，或者均是女的，則鼓掌助興，曲終時，外圈的人均向前一步，如此繼續(xù)，試證：在整個跳舞過程中，至少有一次起舞的男女不小于n。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新56n思考與分析：思考與分析：我們不能局限在哪一次起舞的過程，也沒有辦法去確定哪一次起舞的男女不小于對，只能對本題的結果整體思考。n我們設內(nèi)圈的人為 ， 外圈的人為 ，并設男的為+1，女的為1。n有了以上的賦值，可以使問題數(shù)學化。n考查n若 和 都是男的或者都是女的，依題設，則不起舞，此時有 nxxx221,nyyy221,iiyx

42、ixiy01iiyx2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新57 若 和 一是男的，一是女的，依題設，則起舞，此時有 。n考慮結論的整體，假定每次起舞都小于 n 對 ，即結論不成立，我們可尋求可能發(fā)生的矛盾。n 由于總對數(shù)為2n對，若每次起舞者都小于n對，則起舞者小于不起舞者，則有ixiy01iiyx000012212212222121123221222211nnnnnnnnnnyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新58n將以上2n個不等式相加得n（ （1）n下面針對（1）式，研究n設內(nèi)圈有k個男的，則有2n-k女的，此時外圈有2n-k 個

43、男的， k個女的。n于是n兩式相乘得n（ （2）n（1）與（2）發(fā)生矛盾。n于是，一定有一次起舞的男女不少于n對。0)(221221nnyyyxxxnnyyyxxx221221和nkknkxxxn22) 1()2() 1(221knkknyyyn22) 1() 1()2(2210)(4)(2221221knyyyxxxnn2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新59例:在一串分數(shù)： （1）第幾個分數(shù)？（2）第400個分數(shù)是幾分之幾？;41,42,43,44,43,42,41;31,32,33,32,31;21,22,21;112021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新60解:1+3+5+7+

44、9+11+13+15+17+7=88 88+2（10-7）=941+3+5+所以第400個分數(shù)為2012012012012014001202）（2012021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新61例在1到100的自然數(shù)集合中，任取51個數(shù)，其中必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的倍數(shù)。構造抽屜：設P為1到100之間的奇數(shù)，按P2（的形式可以將1到100的所有自然數(shù)分成符合要求的50類：2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新62由于從50類中任取51個數(shù)，至少有兩個數(shù)在同一類中。 9951249,4923 ,23 , 23 , 321 ,21 , 21 , 1502625522621AAAAA

45、2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新63化歸思想例 將1976 分拆成自然數(shù)之和，再將其相乘，試求（并證明）所有這種乘積中之最大值。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新64特殊化方法與極端化方法特殊化方法與極端化方法例1 在等式 中的括號內(nèi)填上兩個不同的自然數(shù)。分析：小的一個數(shù)必須大于7而小于14，即只有8到13六種情況，若是8，必須 是一個分子為1的分數(shù)。注意到 （1）便知8與56即為所求。同時易知只有一組解（8，56）推廣一、7能否換成別的自然數(shù)？注意到（1）式中等式右端的分子1是有8-7而得到，一般有： （2）此式是否只有 一組解？事實上，由 知，只有為素數(shù)時才是唯一。 ()

46、1()1718171817156187)78() 1(1111nnnn)1(, 1(nnn)(1)(11knknknnkknn2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新65n極端化就是通過對極端位置或狀態(tài)下問題特性的考察，以獲得有益啟示，從中引出一般位置或狀態(tài)下的性質(zhì)，從而獲得解決問題的思路。數(shù)學中的“極端”情況很多。例如，點是圓的半徑為零的極端情況，切線是割線的極端情況等。n 例2 兩人輪流在一張圓桌上擺放大小相同的硬幣，每次只能平放一個，不能重疊，在桌上放下最后一枚硬幣者為游戲的勝利者。試問是先放者取勝，還是后放者取勝？n分析與思考：分析與思考：先考慮極端情形。假設硬幣恰與圓桌一樣大小，則

47、先擺必勝。這是因為只要把硬幣擺在桌子中心即可。從極端情形中可以獲得啟示：先擺的人可以把第一枚硬幣占據(jù)桌子中心，由于桌面為中心對稱，以后不論對方把硬幣放至何處，先擺的人總可以把硬幣擺在與其成中心對稱的位置，故必先擺者取勝。n 對于一時難以入手的一般問題，一個使用最普遍而又較為簡單易行的化歸途徑，乃是把它向特殊的形式轉化，這就是特殊化法。2021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新66有趣的數(shù)學有趣的數(shù)學趣味數(shù)學的啟示角谷猜想：例：任取一個大于2的自然數(shù)反復進行下述兩種運算：（1） 若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘以3再加上1（2） 若是偶數(shù)，則將該數(shù)除以2對3反復進行這樣的運算：對4，5，6進行運算其結果也是

48、1對7運用枚舉歸納法，建立了這樣一個猜想：從任意一個大于2的自然數(shù)出發(fā)，反復進行（1）、（2）兩種運算，最后必定得到1。這個猜想后來被多次檢驗，發(fā)現(xiàn)對7000億以下的數(shù)都是正確的，但是否對大于2的一切自然數(shù)都是正確，至今還不得而知。124816510381651020401326521734112271242021-10-9數(shù)學思想方法及其教學最新67數(shù)學中的黑洞美國賓夕法尼大學數(shù)學教授米歇爾.?？藢懥瞬簧佟皵?shù)學黑洞”的文章，其中最簡單的一個是123黑洞。在古希臘神話中，科林斯國王西西佛斯受到天譴，天神罰他把一塊巨石推倒一座山上，但無論他怎樣努力，這塊石頭總是在快要到達山頂之前不可避免地滾下來，于是他只能重新在推，就這樣沒完沒了，永無休止。在數(shù)學中，同樣的事情也可能發(fā)生。開始我們可以取任何一數(shù)字串，位數(shù)不限，例如948856371接著是數(shù)一數(shù)其中的偶數(shù)個數(shù)，奇數(shù)個數(shù)以及總數(shù)的數(shù)字個數(shù)，把它們寫成一個三數(shù)組。對上例來說，便是4，5，9，并略去其中的逗號，濃縮地記為459對上述三數(shù)組重復上述