振動(dòng)力學(xué)2簡(jiǎn)諧振動(dòng)

1、第二章第二章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)2.3 瑞利法瑞利法 2.2 能量法能量法2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)2.5 有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)l自由振動(dòng)自由振動(dòng)受初始擾動(dòng)激發(fā)所致振動(dòng)，沒(méi)有受初始擾動(dòng)激發(fā)所致振動(dòng)，沒(méi)有 外界能量補(bǔ)充。外界能量補(bǔ)充。l無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，動(dòng)能與勢(shì)能互相轉(zhuǎn)換，恒穩(wěn)振動(dòng)，實(shí)際上不動(dòng)能與勢(shì)能互相轉(zhuǎn)換，恒穩(wěn)振動(dòng)，實(shí)際上不存在，但可作為某些振動(dòng)的近似處理。存在，但可作為某些振動(dòng)的近似處理。l（有）阻尼自由振動(dòng)（有）阻尼自由振動(dòng)非保守系統(tǒng)，衰減，非保守系統(tǒng)，衰減

2、，l本章討論單自由度的自由振動(dòng)。本章討論單自由度的自由振動(dòng)。2.1 線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)自由振動(dòng) 我們看一個(gè)簡(jiǎn)單的振動(dòng)模型我們看一個(gè)簡(jiǎn)單的振動(dòng)模型xxFkx0彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在光滑平面上的振動(dòng)。彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在光滑平面上的振動(dòng)。其中其中k剛性系數(shù)（產(chǎn)生單位位移剛性系數(shù)（產(chǎn)生單位位移所需的力）。加負(fù)號(hào)是因?yàn)椋簭椥曰炙璧牧Γ＜迂?fù)號(hào)是因?yàn)椋簭椥曰謴?fù)力永遠(yuǎn)與位移復(fù)力永遠(yuǎn)與位移x方向相反。（始終方向相反。（始終指向靜平衡位置）指向靜平衡位置） 彈簧質(zhì)量不計(jì)；質(zhì)體彈簧質(zhì)量不計(jì)；質(zhì)體m m當(dāng)作剛體（或當(dāng)作剛體（或一個(gè)質(zhì)點(diǎn)）；并假設(shè)彈簧的恢復(fù)力與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)）；并假設(shè)彈簧的恢復(fù)力與變形成正比，即：變形成正比

3、，即：Fk kx注：注：k的的單位單位N/m 或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?其中常數(shù)其中常數(shù)C1 ，C2由初始條件確定。由初始條件確定。kxxm 0 kxxm 02xxn 這里令這里令 mkn2 上式即一個(gè)自由度（線性）系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程。上式即一個(gè)自由度（線性）系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程。這是個(gè)二階齊次線性常微分方程。它的通解是：這是個(gè)二階齊次線性常微分方程。它的通解是：tCtCxnnsincos21由牛頓第二定律：由牛頓第二定律： 設(shè)：當(dāng)設(shè)：當(dāng)t t0 0時(shí)時(shí) 注：這正是圓頻率相同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，一個(gè)用正注：這正是圓頻率相同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，一個(gè)用正弦、一個(gè)為余弦的合成情況，也是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。弦、一個(gè)為余弦

4、的合成情況，也是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。00,vxxx把初始條件代入上式，可得把初始條件代入上式，可得nvCxC0201,)sin(sincos00tAtvtxxnnnn2020)(nvxA00vxtgn其中其中討論：討論： 1 1、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)是個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)是個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅振幅A A和初相位和初相位由初始條件決定。從這里可以看由初始條件決定。從這里可以看到自由振動(dòng)最初發(fā)生的原因，必須有初位移到自由振動(dòng)最初發(fā)生的原因，必須有初位移x0 0或初或初速度速度v v0 0或兩者都有才有振動(dòng)或兩者都有才有振動(dòng)xAsinAsin( (nt t) )，否，否則則x0 0，無(wú)振

5、動(dòng)無(wú)振動(dòng)（弧度（弧度/秒）秒） 2 2、自由振動(dòng)的圓頻率（或角頻率）、自由振動(dòng)的圓頻率（或角頻率）mkn 頻率取決于系統(tǒng)的質(zhì)量及彈簧剛度，因此是系統(tǒng)所固有頻率取決于系統(tǒng)的質(zhì)量及彈簧剛度，因此是系統(tǒng)所固有的，與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)（也解釋說(shuō)，與系統(tǒng)是否發(fā)生振的，與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)（也解釋說(shuō)，與系統(tǒng)是否發(fā)生振動(dòng)無(wú)關(guān)）故把動(dòng)無(wú)關(guān)）故把n稱(chēng)為固有頻率。一座建筑物，一臺(tái)機(jī)器，稱(chēng)為固有頻率。一座建筑物，一臺(tái)機(jī)器，一架飛機(jī)等等，一旦制造出來(lái)，其一架飛機(jī)等等，一旦制造出來(lái)，其m，k就都是確定的了，就都是確定的了，于是固有頻率也就確定了。固有頻率是本課程最重要的概念，于是固有頻率也就確定了。固有頻率是本課程最重

6、要的概念，在以后的學(xué)習(xí)及工作中經(jīng)常要用到（例如防止共振）。在以后的學(xué)習(xí)及工作中經(jīng)常要用到（例如防止共振）。 固有頻率的求法：固有頻率的求法： a、 mknb、 cngpkgmk其中其中 kpc靜伸長(zhǎng)（靜伸長(zhǎng)（cm） g重力加速度（重力加速度（cm/s s2） Pc k 固有（自然）頻率及周期為固有（自然）頻率及周期為 cnngmkf21212gkmfTcnn221在工程實(shí)際中，一些比較簡(jiǎn)單的振動(dòng)系統(tǒng)可以抽象在工程實(shí)際中，一些比較簡(jiǎn)單的振動(dòng)系統(tǒng)可以抽象為上述單自由度質(zhì)量為上述單自由度質(zhì)量- -彈簧系統(tǒng)，而具有相同的動(dòng)彈簧系統(tǒng)，而具有相同的動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，書(shū)上有些具體例子。力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)規(guī)律

7、，書(shū)上有些具體例子。 例2.1-1 均勻懸臂梁長(zhǎng)l，彎曲剛度EJ，重量不計(jì)，自由端附有重P=mg的物體，求物體的振動(dòng)方程、頻率.lmyc解：由材料力學(xué)知：EJPlc33懸臂梁的作用等價(jià)于懸掛彈簧，設(shè)其剛度系數(shù)k，有PkccPk33lEJ物體的振動(dòng)方程：ylEJym33 033ymlEJy 固有頻率：33mlEJn33212mlEJfn 對(duì)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的問(wèn)題。由于沒(méi)有阻尼，系對(duì)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的問(wèn)題。由于沒(méi)有阻尼，系統(tǒng)就沒(méi)有能量損失，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在整個(gè)統(tǒng)就沒(méi)有能量損失，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中任一瞬時(shí)機(jī)械能保持為常數(shù)，即：振動(dòng)過(guò)程中任一瞬時(shí)機(jī)械能保持為常數(shù)，即： 2. 2 能

8、量法能量法U系統(tǒng)由于彈性變形而儲(chǔ)存勢(shì)能，或由于重力作系統(tǒng)由于彈性變形而儲(chǔ)存勢(shì)能，或由于重力作功而產(chǎn)生的重力勢(shì)能。功而產(chǎn)生的重力勢(shì)能。 將具體能量代入（將具體能量代入（2 2）式，化簡(jiǎn)后可得保守系統(tǒng)的）式，化簡(jiǎn)后可得保守系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。振動(dòng)微分方程。（1 1）式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：）式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)： 0)(UTdtd（1 1）其中其中 T系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)量所具有的動(dòng)能系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)量所具有的動(dòng)能 常數(shù)UT（2 2） 我們選取靜平衡位置為第一瞬時(shí)位置，這時(shí)勢(shì)我們選取靜平衡位置為第一瞬時(shí)位置，這時(shí)勢(shì)能為零，而動(dòng)能達(dá)到最大值能為零，而動(dòng)能達(dá)到最大值T Tmaxmax； T TmaxmaxU Umaxmax (2)

9、(2)對(duì)較復(fù)雜系統(tǒng)，用能量法建立微分方程和求固有對(duì)較復(fù)雜系統(tǒng)，用能量法建立微分方程和求固有頻率，有時(shí)更為方便。頻率，有時(shí)更為方便。 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置到最遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，速度減為零，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置到最遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，速度減為零，即動(dòng)能為零，但勢(shì)能達(dá)到最大值即動(dòng)能為零，但勢(shì)能達(dá)到最大值U Umaxmax，我們?nèi)≈疄椋覀內(nèi)≈疄榈诙矔r(shí)位置。第二瞬時(shí)位置。由（由（1 1）式得：）式得：T Tmaxmax0 00 0U Umaxmax， 即：即：例例2.2-1 2.2-1 一半徑一半徑r重重W的圓柱體在一個(gè)半徑為的圓柱體在一個(gè)半徑為R R的圓柱面的圓柱面內(nèi)作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。假設(shè)在圓柱面最低處內(nèi)作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。假設(shè)在圓

10、柱面最低處O O左右微幅擺動(dòng)左右微幅擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求擺動(dòng)固有頻率。為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求擺動(dòng)固有頻率。 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓柱體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓柱體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由于無(wú)滑動(dòng)，角速度為：由于無(wú)滑動(dòng)，角速度為： 注：注： ）解：設(shè)解：設(shè)為坐標(biāo)，圓柱體同時(shí)作兩為坐標(biāo)，圓柱體同時(shí)作兩種運(yùn)動(dòng)種運(yùn)動(dòng)移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。移動(dòng)時(shí)，移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。移動(dòng)時(shí)，圓柱體質(zhì)心線位移為圓柱體質(zhì)心線位移為)(rRv)(1rRrrv00rR(R-r)rrRdtrRddtdRr)()(,線速度為線速度為 )(rR任一瞬時(shí)位置，圓柱體動(dòng)能為：任一瞬時(shí)位置，圓柱體動(dòng)能為： 由由 2222222)(43)(1221)(212121rRgwrRrrgwrR

11、gwImvT注：注： 22rgwI 為圓柱體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓柱體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 圓柱體的勢(shì)能以最低位置圓柱體的勢(shì)能以最低位置O O為零，在轉(zhuǎn)角為為零，在轉(zhuǎn)角為的瞬時(shí)，圓的瞬時(shí)，圓柱體質(zhì)心升高為柱體質(zhì)心升高為(R(Rr)(1-cos),r)(1-cos),則則U Uw(R-r)(1-cos)w(R-r)(1-cos) 0)(UTdtd得：得： 0sin)()(23)cos1)()(43222 rRwrRgwrRwrRgwdtd對(duì)于任一瞬時(shí)若對(duì)于任一瞬時(shí)若 ，則對(duì)應(yīng)無(wú)擺動(dòng)，不是我們所求的。于，則對(duì)應(yīng)無(wú)擺動(dòng)，不是我們所求的。于是必有括號(hào)內(nèi)部分為零，又因微擺動(dòng)，是必有括號(hào)內(nèi)部分為零，又因微擺動(dòng)，

12、sinsin，00)(32rRg )(32rRgn故有故有解（解（2 2）若已知圓柱體的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧，只要求固有頻率若已知圓柱體的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧，只要求固有頻率n n，則設(shè)，則設(shè) 在最低點(diǎn)在最低點(diǎn)O O處勢(shì)能為零，動(dòng)能最大處勢(shì)能為零，動(dòng)能最大 則則 在擺動(dòng)到在擺動(dòng)到maxmax位置時(shí)動(dòng)能為零，勢(shì)能最大位置時(shí)動(dòng)能為零，勢(shì)能最大 由由T TmaxmaxU Umaxmax 有：有： )sin(tAn)cos(tAnnAmaxnAmax于是于是 2222max222max)(43)(432121nArRgwrRgwImvT22maxmaxmax)(212)()cos1)(ArRwrRwrRwU2222)(2

13、1)(43ArRwArRgwn則則 )(32rRgn例例2.2-2 2.2-2 桿桿AB是無(wú)質(zhì)量剛性桿，靜平衡時(shí)水平，又是無(wú)質(zhì)量剛性桿，靜平衡時(shí)水平，又知知k0及尺寸及尺寸a，l，質(zhì)量塊，質(zhì)量塊m，求振動(dòng)微分方程及周期。，求振動(dòng)微分方程及周期。 解法：解法：設(shè)剛性桿，向下有微小設(shè)剛性桿，向下有微小轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角時(shí)，時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)彈簧伸長(zhǎng)a, ,質(zhì)量塊的位移：質(zhì)量塊的位移： l系統(tǒng)的動(dòng)能：系統(tǒng)的動(dòng)能： 221)(lmT 系統(tǒng)的勢(shì)能：系統(tǒng)的勢(shì)能： mglkU)(2221021點(diǎn)，注：平衡位置為勢(shì)能零),2021mglaka平衡時(shí)由由 0)(20lamk mBk0almklan0質(zhì)量塊的速度：質(zhì)量塊的速度：

14、 l2021)(akU 0)(UTdtd得得 02kmalT2.32.3瑞利法瑞利法前面都假設(shè)彈簧的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，若彈簧質(zhì)量前面都假設(shè)彈簧的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，若彈簧質(zhì)量較大，忽略它會(huì)導(dǎo)致頻率偏高。較大，忽略它會(huì)導(dǎo)致頻率偏高。瑞利瑞利提出，用能量法對(duì)提出，用能量法對(duì)分布質(zhì)量系統(tǒng)分布質(zhì)量系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)單自簡(jiǎn)化為一個(gè)單自由度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)頻率的影響考由度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)頻率的影響考慮進(jìn)去，得到相對(duì)準(zhǔn)確的頻率。慮進(jìn)去，得到相對(duì)準(zhǔn)確的頻率。具體做法是先對(duì)具有分布質(zhì)量的彈性元件假定一種振具體做法是先對(duì)具有分布質(zhì)量的彈性元件假定一種振動(dòng)形式，然后將無(wú)阻尼自由振動(dòng)的簡(jiǎn)諧規(guī)律代

15、入，計(jì)動(dòng)形式，然后將無(wú)阻尼自由振動(dòng)的簡(jiǎn)諧規(guī)律代入，計(jì)算其動(dòng)能和勢(shì)能，利用能量法，即得到等效質(zhì)量和固算其動(dòng)能和勢(shì)能，利用能量法，即得到等效質(zhì)量和固有頻率，這種近似計(jì)算方法稱(chēng)作有頻率，這種近似計(jì)算方法稱(chēng)作瑞利法瑞利法。計(jì)算彈簧的等效質(zhì)量計(jì)算彈簧的等效質(zhì)量 設(shè)彈簧的長(zhǎng)度為設(shè)彈簧的長(zhǎng)度為l，假定彈簧的變形與離固定點(diǎn)假定彈簧的變形與離固定點(diǎn)21232201)3(21)3213)(21)(21xmxlllxdlxTl（其中其中m1 1= =l為彈簧質(zhì)量，則系統(tǒng)總動(dòng)能為：為彈簧質(zhì)量，則系統(tǒng)總動(dòng)能為：2112)3(2121xmmTxmT2max1max)3(21xmmT單位長(zhǎng)度質(zhì)量為單位長(zhǎng)度質(zhì)量為，的距離的距

16、離成正比，彈簧端點(diǎn)的位移為成正比，彈簧端點(diǎn)的位移為x。整個(gè)彈簧的動(dòng)能整個(gè)彈簧的動(dòng)能T T1 1：微元長(zhǎng)度微元長(zhǎng)度d d的動(dòng)能：的動(dòng)能：2)(21lxd我們將彈簧的1/3質(zhì)量定義為彈簧的等效質(zhì)量。彈簧的勢(shì)能與忽略彈簧質(zhì)量的情形一樣：31mmkn由221kxU 也可導(dǎo)出固有頻率。2maxmax21kxU0)(UTdtdmaxmaxUT由或設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)：),sin(tAxnnAxAxmaxmax, 0)3(1kxxmm 222121)3(21kAAmmn得2.4 2.4 等效等效剛性系數(shù)剛性系數(shù)彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)就是使彈簧產(chǎn)生變形所需要的就是使彈簧產(chǎn)生變形所需要的力力或或力矩力矩研究的振動(dòng)方向不

17、同，剛度系數(shù)也不同研究的振動(dòng)方向不同，剛度系數(shù)也不同 B點(diǎn)沿點(diǎn)沿x方向施加力方向施加力F，位移，位移xB，則，則 AFElxBBxxFk 等效剛度：等效剛度： 任何彈性體都可以看成彈簧任何彈性體都可以看成彈簧 設(shè)指定方向的位移為設(shè)指定方向的位移為x，所施加的力為，所施加的力為F，則等效剛度系數(shù)：，則等效剛度系數(shù)： xFk xGElJJA,BOlEAkxB點(diǎn)沿點(diǎn)沿y方向施加力方向施加力P，位移，位移yB，則，則 EJPlyB33ByyPk B點(diǎn)沿點(diǎn)沿y方向的等效剛度：方向的等效剛度： xGElJJA,BOyMGJlBP33lEJ亦稱(chēng)梁的亦稱(chēng)梁的彎曲彎曲剛度剛度 B點(diǎn)繞點(diǎn)繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向施加扭矩軸轉(zhuǎn)

18、動(dòng)方向施加扭矩M，軸產(chǎn)生轉(zhuǎn)角軸產(chǎn)生轉(zhuǎn)角， 則則 B端：端：B點(diǎn)點(diǎn)繞繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向的等效剛度：的等效剛度： BMklGJ亦稱(chēng)軸的亦稱(chēng)軸的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)剛度剛度 幾個(gè)彈性元件聯(lián)合使用時(shí)的等效剛度：幾個(gè)彈性元件聯(lián)合使用時(shí)的等效剛度：固有頻率固有頻率 2121212121)11(kkkkPkkPkPkPc)()(21212121kkmkkkkPkgkgcncPk（等效剛度）（等效剛度） Pk1 k2 兩彈簧串聯(lián)兩彈簧串聯(lián) 2121kkkkn個(gè)彈簧串聯(lián)個(gè)彈簧串聯(lián) niinkkkkk12111111兩彈簧并聯(lián)兩彈簧并聯(lián)( (兩彈簧伸長(zhǎng)相同兩彈簧伸長(zhǎng)相同) )解：重量解：重量P P分配在兩個(gè)彈簧上，分配

19、在兩個(gè)彈簧上，分別為分別為P1P1，P2P2，則，則 等效剛度等效剛度n個(gè)彈簧并聯(lián)：個(gè)彈簧并聯(lián)：Pkkggcn)(21Pk1 k2 ccckkkkPPP)(21212121kkPkcniinkkkkk121 前面講的無(wú)阻尼自由振動(dòng)是一種理想狀態(tài)，按前面講的無(wú)阻尼自由振動(dòng)是一種理想狀態(tài)，按照阻尼為零的假設(shè)，遵循機(jī)械能守恒定律，振動(dòng)中照阻尼為零的假設(shè)，遵循機(jī)械能守恒定律，振動(dòng)中沒(méi)有能量消耗，因而可以無(wú)休止地振動(dòng)下去。但事沒(méi)有能量消耗，因而可以無(wú)休止地振動(dòng)下去。但事實(shí)上阻尼總是存在的，它使振動(dòng)能量不斷減少，于實(shí)上阻尼總是存在的，它使振動(dòng)能量不斷減少，于是自由振動(dòng)逐漸衰減直至停止。我們首先講阻尼的是自

20、由振動(dòng)逐漸衰減直至停止。我們首先講阻尼的類(lèi)型。類(lèi)型。 一、阻尼的分類(lèi)一、阻尼的分類(lèi) 2.5 有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)1 1、粘性阻尼、粘性阻尼 2 2、材料阻尼、材料阻尼 3 3、干摩擦阻尼、干摩擦阻尼 1 1、粘性阻尼、粘性阻尼 其中其中c粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù) 當(dāng)質(zhì)量在磁場(chǎng)或流體質(zhì)中振動(dòng)時(shí)，阻尼力一般表當(dāng)質(zhì)量在磁場(chǎng)或流體質(zhì)中振動(dòng)時(shí)，阻尼力一般表現(xiàn)速度的函數(shù)：現(xiàn)速度的函數(shù)：)(xRR 若物體以較大速度在空氣或液體中運(yùn)動(dòng)，阻尼與若物體以較大速度在空氣或液體中運(yùn)動(dòng)，阻尼與速度平方成正比。但當(dāng)物體以低速度在粘性介質(zhì)中運(yùn)速度平方成正比。但當(dāng)物體以低速度在粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)（包括兩接觸面

21、之間有潤(rùn)滑劑時(shí)）可以認(rèn)為阻尼與動(dòng)（包括兩接觸面之間有潤(rùn)滑劑時(shí)）可以認(rèn)為阻尼與速度成正比，即：速度成正比，即： xcR 這種阻尼這種阻尼( (由于阻尼力與速度成正比由于阻尼力與速度成正比) )又稱(chēng)為線又稱(chēng)為線性阻尼（這種阻尼與介質(zhì)的粘性有關(guān)，故稱(chēng)為粘性阻性阻尼（這種阻尼與介質(zhì)的粘性有關(guān)，故稱(chēng)為粘性阻尼）。它使計(jì)算大為簡(jiǎn)化尼）。它使計(jì)算大為簡(jiǎn)化, ,我們將著重研究這種情況我們將著重研究這種情況，對(duì)于非粘性阻尼也得引進(jìn)等效，對(duì)于非粘性阻尼也得引進(jìn)等效粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)計(jì)算。計(jì)算。 2 2、材料阻尼、材料阻尼 又稱(chēng)為結(jié)構(gòu)阻尼。在振動(dòng)過(guò)程中物又稱(chēng)為結(jié)構(gòu)阻尼。在振動(dòng)過(guò)程中物體結(jié)構(gòu)材料本身的內(nèi)摩擦而引

22、起的阻力體結(jié)構(gòu)材料本身的內(nèi)摩擦而引起的阻力。在完全彈性材料內(nèi)，應(yīng)變與應(yīng)力的相。在完全彈性材料內(nèi)，應(yīng)變與應(yīng)力的相位相同，所以在反復(fù)受力過(guò)程中沒(méi)有能位相同，所以在反復(fù)受力過(guò)程中沒(méi)有能量損失。而粘彈性材料內(nèi)，應(yīng)變滯后于量損失。而粘彈性材料內(nèi)，應(yīng)變滯后于 這就是通常說(shuō)的摩擦力，出現(xiàn)在干摩擦之間。按這就是通常說(shuō)的摩擦力，出現(xiàn)在干摩擦之間。按庫(kù)侖摩擦定律：庫(kù)侖摩擦定律：R RN N 其中其中摩擦系數(shù)，由摩擦系數(shù)，由接觸面的材料和粗糙程度決定。接觸面的材料和粗糙程度決定。3 3、干摩擦阻尼、干摩擦阻尼 0加載卸載應(yīng)力應(yīng)力，在反復(fù)受力過(guò)程中，在反復(fù)受力過(guò)程中形形成滯后回線，因此要耗成滯后回線，因此要耗散能量，

23、而成為振動(dòng)的阻尼。散能量，而成為振動(dòng)的阻尼。二、阻尼振動(dòng)微分方程二、阻尼振動(dòng)微分方程 令令 按牛頓第二定律：按牛頓第二定律： 則得標(biāo)準(zhǔn)型單自由度阻尼自由振動(dòng)的微分方程則得標(biāo)準(zhǔn)型單自由度阻尼自由振動(dòng)的微分方程 xckxxm 0 xckxxm 0 xmkxmcx kmc2mkn2022xxxnn （1 1） 阻尼比（無(wú)量綱數(shù)）阻尼比（無(wú)量綱數(shù)） 其中其中c c阻尼系數(shù)（單位：阻尼系數(shù)（單位：N Ns/ms/m） xkc0mkxxc 現(xiàn)在求解方程（現(xiàn)在求解方程（1 1），這是一個(gè)二階常系數(shù)齊），這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次微分方程。下面求出方程的通解。次微分方程。下面求出方程的通解。 我們先設(shè)我們先設(shè) x

24、=e=eptpt （p p常數(shù)）常數(shù)） 那么，那么， 代入方程（代入方程（1 1）得：）得： ptpex ptepx2 但但e eptpt00，故有：，故有：（2 2）特征方程特征方程 可見(jiàn)，若可見(jiàn)，若p p是二次代數(shù)方程（是二次代數(shù)方程（2 2）的一個(gè)根，則）的一個(gè)根，則e eptpt能能使微分方程（使微分方程（1 1）滿足，也就是說(shuō)，是它的一個(gè)特解。）滿足，也就是說(shuō)，是它的一個(gè)特解。代數(shù)方程（代數(shù)方程（2 2）叫做微分方程（）叫做微分方程（1 1）的特征方程。）的特征方程。 0)222nnptPPe（0222nnPP特征方程（特征方程（2 2）的兩個(gè)根是：）的兩個(gè)根是： np)1(2可能有

25、三種情況，我們分別討論之。可能有三種情況，我們分別討論之。 d是是 阻尼自由振動(dòng)的角頻率。阻尼自由振動(dòng)的角頻率。 1 1、當(dāng)當(dāng) （欠阻尼狀態(tài)），得兩個(gè)復(fù)數(shù)根：（欠阻尼狀態(tài)），得兩個(gè)復(fù)數(shù)根： 1dnniip)1(22, 1nd21tinex)1(12tinex)1(22因此，微分方程（因此，微分方程（1 1）的兩個(gè)特解是）的兩個(gè)特解是 由線性齊次微分方程的性質(zhì)，由線性齊次微分方程的性質(zhì)，x1 1與與x2 2的線性組的線性組合也是方程（合也是方程（1 1）的解，故）的解，故 22)1()1(21122titinneexxxteeeedttititnddncos2ieeixxxtitinn22)()

26、(2122222teieeedttititnndnsin2 注：做此變換的目的是把微分方程的解寫(xiě)成注：做此變換的目的是把微分方程的解寫(xiě)成實(shí)數(shù)形式實(shí)數(shù)形式 這里，我們利用了歐拉公式這里，我們利用了歐拉公式 2cosixixeexieexixix2sin 很容易看出很容易看出x1 1與與x2 2線性無(wú)關(guān)，由齊次線性線性無(wú)關(guān)，由齊次線性微分方程通解定律，微分方程通解定律，x1 1與與x2 2的線性組合即方程的線性組合即方程（1 1）的通解，故：）的通解，故： )sincos(tDtCexddtn（3 3） （3 3） 其中其中C，D為待定常數(shù)，由初始條件為待定常數(shù)，由初始條件 給出給出 00,xx（

27、3 3）式即單自由度系統(tǒng)有阻尼振動(dòng)的位移通解。）式即單自由度系統(tǒng)有阻尼振動(dòng)的位移通解。 ,000 xxxxt 時(shí)，有設(shè)在）式，得：將條件代入（3dnDCxCx00, dnxxDxC000,)sincos(tDtCexddtn)sin(tAedtn（33） 其中其中 22DCADCtg（3 3）是有阻尼振動(dòng)的位移通解另一種形式。）是有阻尼振動(dòng)的位移通解另一種形式。 ,000 xxxxt 時(shí)，有設(shè)在）式，得：將條件代入（3)sincos(,sin00ndAxAx00020020tan,xxxxxxAnddn)sincos(tDtCexddtn其振幅其振幅隨著時(shí)間隨著時(shí)間t t的的增長(zhǎng)而衰減。增長(zhǎng)而衰減。 )sin(tAexdtnA1A2A3Tdtx0 xtnAe00 xt時(shí)，由于阻尼的存在由于阻尼的存在nd21對(duì)于小阻尼，對(duì)于小阻尼，n，如05. 0%125. 0,00125. 1只差TTd周期略有增大周期略有增大TTndd2211122，如3 . 0%5,05. 1只差TTdnd小阻尼時(shí)為了表示振幅衰減的為了表示振幅衰減的快慢，取任意兩個(gè)相快慢，取任意兩個(gè)相鄰振幅之