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文檔簡介

1、. , .AFPPAFP 行初等變換設矩陣最簡形矩陣則存在可逆矩陣使. 求( ,)( ,).A EF PPPAF 行初等變換設最簡形，則 可逆，且引理引理. 定理定理. 存在可逆矩陣P，Q 使PAQB (3)矩陣A等價于B(1)矩陣A行等價于B存在可逆矩陣P 使PAB存在可逆矩陣Q 使AQB(2)矩陣A列等價于B問題問題.第1頁/共7頁二二. 矩陣的秩矩陣的秩 定義定義. 若在矩陣A中有一個r階子式D非零 且所有r1階子式(如果存在的話)都為零 則稱D為矩陣A的一個最高階非零子式 稱數(shù)r為矩陣A的秩 記作R(A) 規(guī)定零矩陣的秩等于0 ( ).ABBR A 有限次行初等變換階梯形矩陣設，則 中

2、非零行的個數(shù)求矩陣的秩求矩陣的秩.第2頁/共7頁矩陣秩的基本性質矩陣秩的基本性質0R(Amn)minm n R(AT)R(A) 3. 若AB 則R(A)R(B) 4.若P, Q可逆 則R(PAQ)R(A)0,()( ).RAR A特別的若數(shù)則5. 0( ).nAAR An 階矩陣 可逆6. maxR(A) R(B)R(A B)R(A)R(B) 特別地 當B 為列向量時 有 R(A)R(A )R(A)17. ()( )( ).R A BR AR B8. ()min ( ), ( ).(7)R ABR A R B見下節(jié)定理9.0. ( )( ).(13)m nn tABR AR Bn若則見下節(jié)例第

3、3頁/共7頁三三. 求解線性方程組求解線性方程組定理定理. . (1) ( )( ,);(2) ( )( ,);(3) ( )( ,).m nAXR AR AR AR AnR AR An線性方程組無解有唯一解有無窮解定理定理. ( )( ,).AXR AR A有解定理定理. 0( ).0( ).m nm nAXR AnAXR An有非零解只有零解定理定理. ( )( , ).m nn lm lAXBR AR A B矩陣方程有解第4頁/共7頁(一一). 線性方程組線性方程組AmnXn1=m1的求解的求解.1.不含參數(shù)的線性方程組的求解不含參數(shù)的線性方程組的求解.1111( ,)(,)().AAAXAX 行初等變換最簡形矩陣或階梯形矩陣則與同解2.含參數(shù)的線性方程組的求解含參數(shù)的線性方程組的求解.11(1) ( ,)(,)AA 行初等變換階梯形矩陣(2) ,.AAn若 是含參數(shù)的矩陣 且 是 階方陣 則用克拉默法則求解| 0.n nAAX即有唯一解| 0.n nA然后對時討論方程組的求解第5頁/共7頁(二二). 求解矩陣方程求解矩陣方程AmnXnl=Bml .1111( , )(,),.A BA BAXBA XB 行初等變換最簡形矩陣則與同解1, ,AXA B特別的 若 可逆 則( , )A B 行初等變換最簡形矩陣1, ,ABEXA若 可逆

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