線性代數(shù)矩陣秩與向量組秩關(guān)系PPT課件

1、1按行分塊得到12mA 12,iiinaaaAi i i其中其中是 的第 行構(gòu)成的向量是 的第 行構(gòu)成的向量i =1,2,mi =1,2,m第1頁(yè)/共20頁(yè)2將該矩陣按列分塊得到 12nA 12jjjmjaaa 其中其中 An是 的第j 列構(gòu)成的是 的第j 列構(gòu)成的向量 j =1,2,向量 j =1,2,第2頁(yè)/共20頁(yè)3稱為A的行向量組 1,mn1 1，稱為A的列向量組定義9 矩陣A的行向量組的秩成為A的行秩，A的列向量組的秩稱為A的列秩。矩陣A的秩與其行秩和列秩有什么關(guān)系呢？第3頁(yè)/共20頁(yè)4先看一個(gè)例子112231 0000 1000 00100 000010 00000ababBb 此

2、矩陣為具有4個(gè)非零行的B-型矩陣第4頁(yè)/共20頁(yè)5 4R B 顯然B的列向量組1246,線性無(wú)關(guān)，并且311225112233aabbb故1246,是B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。第5頁(yè)/共20頁(yè)6B的列秩B的秩r一般的，對(duì)有r個(gè)非零行的B-型階梯型矩陣，有B的列秩B的秩4引理 設(shè)矩陣A經(jīng)過(guò)行初等變換化為B，分別記為：12(,.,)nA 12,.,nB 第6頁(yè)/共20頁(yè)7之間有完全相同的線性關(guān)系，即則A的列向量組與B的列向量組1122.0nnxxx當(dāng)且僅當(dāng)1122.nnxxx0證 因?yàn)榫仃嘇經(jīng)過(guò)行初等變換化為B，A的列向量組與B的列向量組等價(jià)，也就是說(shuō)齊次線性方程組AX=0 與BX=0同解，即第7

3、頁(yè)/共20頁(yè)8有相同的線性相關(guān)性。于是知列向量組 12,.,n 與12,.,n 1122.nnxxx0同解1122.nnxxx0與第8頁(yè)/共20頁(yè)9定理5 矩陣的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。證 設(shè)矩陣 ijm naA()rrAB是與之對(duì)應(yīng)的B-型陣設(shè)A的r階非零子式 0rD下證A的列向量組的秩為rrD所在的r列構(gòu)成的 mr矩陣為 第9頁(yè)/共20頁(yè)1012,.,rB 顯然( )rrB即B的r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，而A的任意r+1 列所構(gòu)成的矩陣的秩小于等于 ()rrA所以A的任意r+1列向量線性相關(guān)，因此，B的r個(gè)列向量為矩陣A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。所以 A的列秩等于r。第10頁(yè)/共20頁(yè)11

4、故： A的秩=A的行秩=A的列秩()()TrrAA的列向量組，又TA因?yàn)锳的行向量組就是例1 設(shè)向量組121, 2,5, 3,4, 1, 2,3,TT 35,4, 19,15,T410, 1,16, 15T 第11頁(yè)/共20頁(yè)12求該向量組的極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量由極大無(wú)關(guān)組線性表示。 解： 以1234, 為列構(gòu)造矩陣A，并利用初等行變換把A化成行簡(jiǎn)化型階梯矩陣B第12頁(yè)/共20頁(yè)131451007142102244660153045213141253145102141521916331515rrrrrr A第13頁(yè)/共20頁(yè)14231711,221514510071421022446601

5、53045rrr 14510012301230123第14頁(yè)/共20頁(yè)15324214510012300000000rrrr 1241032012300000000rr 第15頁(yè)/共20頁(yè)161032012300000000B所以()( )2rrAB故列向量組的 秩為2，即列向量組的極大無(wú)關(guān)組含有2個(gè)向量，顯然， 第16頁(yè)/共20頁(yè)17121,0,0,0,0,1,0,0TT為矩陣B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組則121, 2,5, 3,4, 1, 2,3TT 是向量組1234, 的極大無(wú)關(guān)組，且顯然有 ：31241232,23 第17頁(yè)/共20頁(yè)18對(duì)于這道題我們可以直接用數(shù)學(xué)軟件MATLAB來(lái)計(jì)算向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量由極大無(wú)關(guān)組線性表示 %求向量組的秩、極大無(wú)關(guān)組A=1 4 5 -10;-2 -1 4 -1;5 -2 -19 16;-3 3 15 -15;rref(A)% * * * * * * * * * * * *運(yùn)行結(jié)果 * * * * * * * * * * * *ans = 1 0 -3 2 0 1 2 -3