高中數學 第二章 空間向量與立體幾何 2.5 夾角的計算課時作業(yè) 北師大版選修21

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 52.52.5 夾角的計算夾角的計算基礎達標1.如果平面的一條斜線和它在平面上的射影的方向向量分別是a a(0，2，1)，b b( 2，5， 5)，那么這條斜線與平面的夾角是()a90b60c45d30解析：選 d.cosa a，b ba ab b|a a|b b|3 55 1232，a a，b b30.2.平面的一個法向量為n n1 1(4，3，0)，平面的一個法向量為n n2 2(0，3，4)，則平面與平面夾角的余弦值為()a9

3、25b925c.725d以上都不對解析：選 b.cosn n1 1，n n2 2n n1 1n n2 2|n n1 1|n n2 2|925，平面與平面夾角的余弦值為925.3.如圖，在空間直角坐標系中有正三棱柱abca1b1c1，已知ab1，點d在bb1上，且bd1，則ad與側面aa1c1c所成角的余弦值是()a.12b32c.64d104解析：選 d.a點坐標為(12，32，0)，d點坐標為(1，0，1)，ad(12，32，1)易知平面acc1a1的法向量n ncb12ca(1，0，0)12(12，32，0)(34，34，0)cosn n，adn nad|n n|ad|64，6 e d b

4、 c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4

5、 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5所求角的余弦值為1（64）2104.4.在正四棱錐pabcd中，pa2，直線pa與平面abcd所成角為 60，e為pc的中點，則異面直線pa與be所成角為()a90b60c45d30解析：選 c.建立如圖所示的空間直角坐標系，則pao60，op 3，oa1，ab 2，p(0，0， 3)，a(22，22，0)，b(22，22，0)，c(22，22，0)，e(24，24，32)，ap(22，22， 3)，be(3 24，24，32)，cosap，b

6、e22 222，ap，be45，即異面直線pa與be所成角為 45.5.如圖所示，已知點p為菱形abcd外一點，且pa平面abcd，paadac，點f為pc中點，則平面cbf與平面bfd夾角的正切值為()a.36b34c.33d233解析：選 d.連接bd，設acbdo，連接of，以o為原點，ob，oc，of所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設paadac1，則bd 3，b(32，0，0)，f(0，0，12)，c(0，12，0)，d(32，0，0)oc(0，12，0)，且oc為平面bdf的一個法向量6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f

7、 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2

8、 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5由bc(32，12，0)，fb(32，0，12)可得平面bcf的一個法向量n n(1， 3， 3)cosn n，oc217，sinn n，oc2 77.tann n，oc2 33.6.在空間中，已知二面角l的大小為23，n n1 1，n n2 2分別是平面，的法向量，則n n1 1，n n2 2的大小為_解析： 半平面(及其法向量n n1 1)繞l旋轉使與重合， 若n n1與n n2同向時 n n1 1，n n2 2 23，若n n1 1與n n2 2反向時n n1 1，n n2 23.答案：3或237.如圖，

9、在正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別是cd，cc1的中點，則異面直線a1m與dn所成的角的大小是_解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，令|ab|2，則d(0，0，0)，c(0，2，0)，m(0，1，0)，a1(2，0，2)，c1(0，2，2)，n(0，2，1)，a1m(2，1，2)，dn(0，2，1)，a1mdn0，a1mdn，即異面直線a1m與dn所成的角為2.答案：28.如圖所示，在三棱錐pabc中，pa平面abc，acbc，paab2ac2a，則ab與平面pbc所成角的正弦值為_6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4

10、4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d

11、d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則ab2a(a0)，o(0，0，0)，b(0，2a，0)，c(32a，a2，0)，p(0，0，2a)ab(0，2a，0)，設平面pbc的法向量n n(x，y，z)，則n nbc0n npb0，即32ax3ay202ay2az0，x 3yyz，令yz1，則x 3，n n( 3，1，1)，cosn n，ab55.答案：559.在三棱柱abca1b1c1中，a1a底面abc，acb90，aa1acbc2，d為ab中點(1)求證：bc1平面a1cd；(2)求直線aa1與平面a1cd所成角的正弦值解：(

12、1)證明：連接ac1交a1c于o點，則do為abc1的中位線，故dobc1，又do平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)以ca，cb，cc1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則a(2，0，0)，a1(2，0，2)，d(1，1，0)，設平面a1dc的法向量為n n(x，y，z)，由n ncd0n na1d0得xy0 xy2z0，令x1 得n n(1，1，1)設直線aa1與平面a1cd所成角為，則 sin|cosaa1，n n|22 3|33.10.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f

13、 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5

14、 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5如圖，pc平面abc，dapc，bca90，acbc1，pc2，ad1.(1)求證：pd平面bcd；(2)設q為pb的中點，求二面角qcdb的余弦值解：(1)證明：因為pc平面abc，所以pcbc.又bcac，因為pc平面pdac，ac平面pdac，acpcc，所以bc平面pdac，又pd平面pdac，所以bcpd.因為acbcad1，pc2，daac，所以pdcd.因為cd平面bcd，bc平面bcd，cdbcc，所以pd平面bcd.(2)由pc平面abc，bcac所以ca，cb，cp兩兩垂直以c為坐標原點，分別以ca，cb，cp所在直線為x

15、，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系則a(1，0，0)，b(0，1，0)，c(0，0，0)，p(0，0，2)，q(0，12，1)，d(1，0，1)所以cd(1，0，1)，cq(0，12，1)設平面cdq的法向量n n1 1(x1，y1，z1)則cdn n1x1z10cqn n112y1z10，取x11.解得y12z11，所以n n1 1(1，2，1)設平面cdb的法向量n n2(x2，y2，z2)，則cdn n2x2z20cbn n2y20，取x21.解得y20z21，所以n n2 2(1，0，1)設二面角qcdb為，所以 cosn n1 1n n2 2|n n1 1|n n2|26 23

16、3.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f

17、3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5所以二面角qcdb的余弦值為33.能力提升1.在正四面體abcd中，e為棱ad的中點， 則ce與平面bcd的夾角的正弦值為()a.32b23c.12d33解析：選 b.如圖，以bcd的中心o為原點，oc，oa所在直線分別為x軸，z軸，平面bcd內垂直oc于點o的直線為y軸建立空間直角坐標系，設正四面體的棱長為 1，則c(33，0，0)，a(0，0，63)，d(36，12，0)，所以e(312，14，66)，所以ce(5 312

18、，14，66)，因為平面bcd的一個法向量為n n(0，0，1)，所以 cosce，n n66（5 312）2（14）2（66）223，設夾角為，sin|cosce，n n|23.2.二面角的棱上有a，b兩點，直線ac，bd分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于ab，已知ab4，ac6，bd8，cd2 17，則該二面角的大小為_解析：取基底ac，ab，bd，則二面角大小為ac，bd ，且cdacabbd，cd2ac2ab2bd22acab2acbd2abbd，即 417624282268cosac，bdcosac，bd12，即二面角的大小為 60.答案：603.如圖， 已知四棱錐pabcd

19、中， 底面abcd為菱形， 且paacabbc2，pa平面abcd，e，f分別是bc，pc的中點6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3

20、7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5(1)證明：aepd；(2)求二面角eafc的余弦值解：(1)證明：由acabbc，可得abc為正三角形因為e為bc的中點，所以aebc.又bcad，因此aead.因為pa平面abcd，ae平面abcd，所以paae.而pa平面pad，ad平面pad且paada，所以ae平面pad.又pd平面pad，所以aepd.(2)由(1)知ae，

21、ad，ap兩兩垂直，以a為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又e，f分別為bc，pc的中點，所以a(0，0，0)，b( 3，1，0)，c( 3，1，0)，d(0，2，0)，p(0，0，2)，e( 3，0，0)，f32，12，1，所以ae( 3，0，0)，af32，12，1.設平面aef的一個法向量為m m(x1，y1，z1)，則m mae0，m maf0，因此3x10，32x112y1z10.取z11，則m m(0，2，1)，因為bdac，bdpa，paaca，所以bd平面afc，故bd為平面afc的一法向量又bd( 3，3，0)，所以 cosm m，bdm mbd|m m|bd|65

22、12155.因為二面角eafc為銳角，所以所求二面角的余弦值為155.4.在如圖所示的四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形，側棱pd底面abcd，pddc，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1

23、d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5點e是pc的中點，作efpb交pb于點f.(1)求證：pa平面edb；(2)求證：pb平面efd；(3)求二面角cpbd的大小解：如圖所示建立空間直角坐標系，點d為坐標原點，設dc1.(1)證明：連接ac，ac交bd于點g，連接eg.依題意得a(1，0，0)，p(0，0，1)，e0，12，12 .因為底面abcd是正方形，所以點g是此正方形的中心，故點g的坐標為12，12，0，且pa(1，0，1)，eg12，0，12 .