量子力學(xué)補(bǔ)充習(xí)題

1、量子力學(xué)補(bǔ)充習(xí)題集物理系理論物理教研室2010年3月第一章 量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)1-1 求證：1當(dāng)波長(zhǎng)較短(頻率較高)。溫度較低時(shí)，普朗克公式簡(jiǎn)化為維恩公式；2當(dāng)波長(zhǎng)較長(zhǎng)(頻率較低)，溫度較高時(shí)，普朗克公式簡(jiǎn)化為瑞利金斯公式。1-2 單位時(shí)間內(nèi)太陽(yáng)輻射到地球上每單位面積的能量為1324J.m-2.s-1，假設(shè)太陽(yáng)平均輻射波長(zhǎng)是5500，問(wèn)這相當(dāng)于多少光子？1-3 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)彈性系統(tǒng)，質(zhì)量m=1.0kg，彈性系數(shù)k=20N.m-1。這系統(tǒng)的振幅為0.01m。若此系統(tǒng)遵從普朗克量子化條件，問(wèn)量子數(shù)n為何？若n變?yōu)閚+1，則能量改變的百分比有多大？1-4 用波長(zhǎng)為2790和2450的光照射某金屬的表面，

2、遏止電勢(shì)差分別為0.66v與1.26v。設(shè)電子電荷及光速均已知，試確定普朗克常數(shù)的數(shù)值和此金屬的脫出功。1-5 從鋁中移出一個(gè)電子需要4.2ev能量，今有波長(zhǎng)為2000的光投射到鋁表面，試問(wèn)：（1）由此發(fā)射出來(lái)的光電子的最大動(dòng)能是多少？（2）鋁的紅限波長(zhǎng)是多少？1-6 康普頓實(shí)驗(yàn)得到，當(dāng)x光被氫元素中的電子散射后，其波長(zhǎng)要發(fā)生改變，令為x光原來(lái)的波長(zhǎng)，為散射后的波長(zhǎng)。試用光量子假說(shuō)推出其波長(zhǎng)改變量與散射角的關(guān)系為 其中m為電子質(zhì)量，為散射光子動(dòng)量與入射方向的夾角（散射角）1-7 根據(jù)相對(duì)論，能量守恒定律及動(dòng)量守恒定律，討論光子與電子之間的碰撞：（1）證明處于靜止的自由電子是不能吸收光子的；（2

3、）證明處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的自由電子也是不能吸收光子的。1-8 能量為15ev的光子被氫原子中處于第一玻爾軌道的電子吸收而形成一光電子。問(wèn)此光電子遠(yuǎn)離質(zhì)子時(shí)的速度為多大？它的德布羅意波長(zhǎng)是多少？1-9 兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩個(gè)光子的能量相等，問(wèn)要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化光子的波長(zhǎng)最大是多少？1-10 試證明在橢圓軌道情況下，德布羅意波長(zhǎng)在電子軌道上波長(zhǎng)的數(shù)目等于整數(shù)。1-11 討論受熱He原子束為簡(jiǎn)單立方晶格（Å）所衍射。在什么溫度下He原子的衍射才是明顯的。第二章 波函數(shù)和薛定諤方程2-1 設(shè)粒子的波函數(shù)為，求在（）范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。2-2 設(shè)在球坐標(biāo)系中粒子的波函數(shù)可表

4、為：。試表出在球殼（）中找到粒子的幾率。2-3 沿直線運(yùn)動(dòng)的粒子的波函數(shù)。（1）試將歸一化。（2）畫(huà)出幾率分布曲線。（3）在何處最易發(fā)現(xiàn)粒子，而該處的幾率密度為何？2-4 作一維運(yùn)動(dòng)的粒子處在的狀態(tài)中，其中0。（1）將此波函數(shù)歸一化，試說(shuō)明如其在t=0時(shí)刻歸一化了，那么在以后的任何時(shí)刻都是歸一化的。（2）粒子的幾率分布函數(shù)為何？2-5 判斷下列波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)是否定態(tài)？（1） （2）（3）。2-6 由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：（1） （2）從所得的結(jié)果說(shuō)明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)（向原點(diǎn)）傳播的球面波2-7如在勢(shì)能上加一常數(shù)，則其薛定諤方程的定態(tài)解將如何變化？試說(shuō)明此變化后為何不能

5、觀察到（選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處的U為零）。2-8 設(shè)體系的波函數(shù)為，式中，和為常數(shù)。為使此波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程，應(yīng)是怎樣的函數(shù)？2-9 設(shè)和是薛定諤方程的兩個(gè)解，證明與時(shí)間無(wú)關(guān)。第三章 簡(jiǎn)單體系定態(tài)薛定諤方程的解3-1 設(shè)粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)，能量的量子數(shù)為n，試求：（1）距勢(shì)阱的左壁1/4寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是多少？（2）n取何值在此處找到粒子的幾率最大？（3）當(dāng)時(shí)，這個(gè)幾率的極限是多少？這個(gè)結(jié)果說(shuō)明了什么問(wèn)題？3-2 設(shè)原子或分子中的電子可以粗略地看作是一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子，并設(shè)勢(shì)阱寬度為1Å，試求：（1）兩個(gè)最低能級(jí)間的間隔；（2）電子在這兩個(gè)能級(jí)間躍遷時(shí)發(fā)出的波長(zhǎng)。3-3 試將

6、一維自由粒子的定態(tài)波函數(shù)和組合成具有確定宇稱的波函數(shù)。3-4 對(duì)于任意勢(shì)壘，試證明粒子的反射系數(shù)R與透射系數(shù)T滿足R+T=1， （取EU0）3-5 一束粒子入射在一窄勢(shì)壘（）上，如其壘高U0為粒子動(dòng)能的二倍時(shí)，證明在此情況下粒子幾乎完全透射過(guò)勢(shì)壘。3-6 用以下一維勢(shì)場(chǎng)模型：來(lái)研究金屬電子的發(fā)射，求E>0時(shí)的透射系數(shù)D。3-7一勢(shì)壘的勢(shì)能為 式中U0，A，a均為正數(shù)。試估算A<E<U0+A的粒子穿過(guò)這個(gè)勢(shì)壘的幾率。3-8 對(duì)于諧振子的基態(tài)，計(jì)算粒子在經(jīng)典振幅以外出現(xiàn)的幾率。3-9 對(duì)于諧振子的第一激發(fā)態(tài)，（1）求振子出現(xiàn)幾率最大的位置；（2）求經(jīng)典振幅A；（3）計(jì)算振子在經(jīng)典

7、振幅以外出現(xiàn)的幾率。3-10 設(shè)質(zhì)點(diǎn)為m的粒子在下列勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和波函數(shù)。3-11 將一維諧振子置于額外的均勻力場(chǎng)中，勢(shì)能成為，求能級(jí)的變化。3-12 粒子在勢(shì)能為 的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)（U1U2），在U1，U2E下，求解粒子的能級(jí)和波函數(shù)。3-13 給定U(x)=U0(x)，求束縛態(tài)能級(jí)。第四章 態(tài)疊加原理及力學(xué)量的算符表示4-1 下列算符哪些是線性的？為什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4) 4-2 線性算符具有下列性質(zhì)： ，式中C是復(fù)數(shù)。下列算符哪些是線性的？ （1）（2） （3） （4） （5）（6）4-3 若都是厄米算符，但，試問(wèn)：（1）是否厄米算符？（2）是否厄米算符

8、？4-4 證明下列算符哪些是厄米算符：4-5 （1）證明 （2）4-6試判斷下述二算符的線性厄米性，（1）（2）4-7 試證明任意一個(gè)算符不可能有兩個(gè)以上的逆。又問(wèn)，算符的情況下，是什么樣的算符？4-8 對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)，求的本征函數(shù)和本征值。進(jìn)而求的本征值。4-9 若算符有屬于本征值為的本征函數(shù)，且有：和，證明和也是的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值分別是和。4-10 試求能使為算符的本征函數(shù)的值是什么？此本征函數(shù)的本征值是什么？4-11 如果為線性算符的一個(gè)本征值，那么為的一個(gè)本征值。一般情況下，設(shè)為的多項(xiàng)式，則便為的一個(gè)本征值。試證明之。4-12 試證明線性算符的有理函數(shù)也是線性算符。4-13 當(dāng)勢(shì)能

9、改變一個(gè)常數(shù)C時(shí)，即時(shí)，粒子的波函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)的那部分改變否？能量本征值改變否？4-14 一維諧振子的勢(shì)能，處于的狀態(tài)中，其中，問(wèn)：（1）它的能量有沒(méi)有確定值？若有，則確定值是多少？（2）它的動(dòng)量有沒(méi)有確定值？4-15 在時(shí)間時(shí)，一個(gè)線性諧振子處于用下列波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)： 式中是振子的第n個(gè)時(shí)間無(wú)關(guān)本征函數(shù)。（a）試求C3的數(shù)值。（b）寫(xiě)出在t時(shí)的波函數(shù)。（c）在時(shí)振子的能量平均值是什么？在秒時(shí)的呢？4-16 證明下列對(duì)易關(guān)系：， 4-17 證明下列對(duì)易關(guān)系：4-18 如果算符滿足下列對(duì)易規(guī)則：，求證：（n為正整數(shù)）。4-19 參考矢量情況下的斯密特正交化步驟，試闡述由屬于同一本征值而并一定

10、正交的本征函數(shù)構(gòu)成正交函數(shù)的方法。4-20 有兩個(gè)歸一化的但不是正交的波函數(shù)及，（實(shí)數(shù)），試將及進(jìn)行疊加組成兩個(gè)正交歸一化的函數(shù)及。4-21 證明一維諧振子不管處于哪一個(gè)定態(tài)，它的動(dòng)量都沒(méi)有確定值。4-22 電子在原子大小范圍（數(shù)量級(jí)為10-10m）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)電子的最小能量。4-23 質(zhì)量為m，速度為v，能量為E=1/2mv2的粒子沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，其位置測(cè)量的誤差為，設(shè)，試由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，導(dǎo)出能量和時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系4-24 求證力學(xué)量x與F( px)的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系4-25 設(shè)是x，p的多項(xiàng)式，證明 ，4-26 計(jì)算： 。4-27 設(shè)算符不可對(duì)易，但和及可對(duì)易，即，試計(jì)算： 。其中n

11、為正整數(shù)，為參變量，f為任何可以表示為正冪級(jí)數(shù)的函數(shù)。4-28 設(shè)算符不可對(duì)易，但和及可對(duì)易，即，試證Glauber公式： 。4-29 證明： （提示：考慮按展開(kāi)，然后令=1）4-30 設(shè)與對(duì)易，證明 ， 4-31 設(shè)與對(duì)易，證明 （提示：考慮 ，然后積分）4-32 證明下列幾個(gè)關(guān)于厄米算符的定理：（1）在任何定態(tài)下，厄米算符的平均值都是實(shí)數(shù)。（2）在任何態(tài)下。平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符。4-33 證明幾個(gè)關(guān)于一維定態(tài)薛定諤方程的定理：（1）對(duì)于一維定態(tài)薛定諤方程，如果和是屬于同一個(gè)本征值E的兩個(gè)獨(dú)立的解，則（常數(shù)）。(2)對(duì)于一維束縛態(tài)，所有能級(jí)都是非簡(jiǎn)并的。 (3)對(duì)于一維定態(tài)問(wèn)題，

12、如果U(x)為x的偶函數(shù)，則任何一個(gè)束縛態(tài)都有一定的宇稱性。4-34 用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)原子核中核子（質(zhì)子和中子）的動(dòng)能的數(shù)量級(jí)。曾經(jīng)設(shè)想電子也是原子核的構(gòu)成單元之一，試?yán)脺y(cè)不準(zhǔn)關(guān)系判斷這個(gè)設(shè)想是否正確。4-35 對(duì)于的任何一個(gè)本征束縛態(tài)，證明公式，其中為包含在中的任何一個(gè)常數(shù)（等等）。4-36 對(duì)于一維諧振子，證明4-37 質(zhì)量為m的粒子在中心勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，證明：（1）對(duì)所有的束縛態(tài)相同，并求出。 （2）任何兩個(gè)能級(jí)的間隔與質(zhì)量m無(wú)關(guān)。4-38 給定，下列力學(xué)量中哪些是守恒量？4-39 證明定理：設(shè)體系有兩個(gè)守恒量，但，則一般說(shuō)來(lái)，體系的能級(jí)是簡(jiǎn)并的。4-40 在一維無(wú)限深勢(shì)阱中，已知阱寬為a

13、，試用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算零點(diǎn)能。第五章 表象理論5-1 試證明算符（1）在x表象中的表示為： ， ，； （2）在P表象中的表示為： ， ，5-2 求線性諧振子哈密頓量在動(dòng)量表象中的矩陣元。5-3 求一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元。5-4 求連續(xù)性方程的矩陣表示。其中 ，5-5 設(shè)厄米算符滿足，且，求：（1）在A表象中，算符的矩陣表示。（2）在B表象中，算符的矩陣表示。（3）在A表象中，算符的本征值和本征函數(shù)。（4）在B表象中算符的本征值和本征函數(shù)。（5）由A表象到B表象的么正變換矩陣S 。5-6 已知二階矩陣A,B滿足下列關(guān)系：，試證明，并且在B表象中求矩陣A，B。5-7 證

14、明： ，由此說(shuō)明矩陣的det及Tr不因表象而異，或者說(shuō)矩陣的本征值之和以及本征值之積不因表象而異。5-8 設(shè)矩陣A的本征值為，令，其本征值為，證明，由此證明 。5-9 設(shè)任何一個(gè)厄米矩陣能用一個(gè)么正變換對(duì)角化。由此證明，兩個(gè)厄米矩陣能用同一個(gè)么正變換對(duì)角化的充要條件是它們彼此對(duì)易。5-10 證明若三個(gè)厄米矩陣A，B和C有如下對(duì)易關(guān)系，AB=BA，AC=CA，BCCB，則A的本征值必有簡(jiǎn)并。5-11 設(shè)，證明求和規(guī)則5-12 設(shè)為厄米算符，證明在能量表象中下式成立：5-13 對(duì)于線性諧振子，設(shè)態(tài)矢量滿足，試證明中態(tài)的成份為，其中5-14 設(shè)已知在及的共同表象中，算符和的矩陣分別為：，求它們的本征

15、值和歸一化的本征函數(shù)。最后將矩陣Lx及Ly對(duì)角化。5-15試證明：若算符和滿足，則算符的本征值為。并且，若記相應(yīng)的歸一化本征矢為，則，第六章 角動(dòng)量初步6-1 分別用球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)證明是厄米算符6-2 試證明：為和的共同本征函數(shù)，并求相應(yīng)的本征值。說(shuō)明當(dāng)體系處于此狀態(tài)時(shí)，有無(wú)確定值。6-3 設(shè)體系處在的狀態(tài)中，試：（1）將此波函數(shù)歸一化；（2）求力學(xué)量的測(cè)量值及相應(yīng)的幾率；（3）求力學(xué)量的可能值及相應(yīng)的幾率；（4）和的可能值及相應(yīng)的幾率。6-4 設(shè)在和的共同表象中，算符的矩陣表示為，求它的本征值和歸一化的本征函數(shù)，并將它表示成的線性疊加。6-5 求粒子處在態(tài)時(shí)，軌道角動(dòng)量的x分量和y分量的平

16、均值和，并證明6-6 設(shè)體系處于的本征態(tài)，求證軌道角動(dòng)量沿與z軸成角方向上的分量的平均值為了。6-7 設(shè)體系處于某一狀態(tài)，在該狀態(tài)中測(cè)量力學(xué)量L2 得到的值是，測(cè)量力學(xué)量得到的值為，求測(cè)量力學(xué)量和的可能值。6-8 求L2 ，的共同本征函數(shù)，限定。6-9 對(duì)于，求的取值及相應(yīng)的幾率。6-10 試證明：（1）（2）6-11 證明： （1） （2）6-12 證明：，進(jìn)而證明 6-13 對(duì)于（）的共同本征態(tài)，計(jì)算和的平均值，以及，驗(yàn)證測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。6-14 粒子處于狀態(tài)，C為歸一化常數(shù)。求（1）L2 的取值；（2）的平均值；（3）的幾率；（4）Lx 的可能值及相應(yīng)的幾率。6-15 將（）的共同本征態(tài)Yl

17、 m ，記為，證明6-16 運(yùn)用（）的共同本征矢作為基矢，寫(xiě)出表示軌道角動(dòng)量算符和的矩陣。指出從到的矩陣元。6-17 （1）在和是對(duì)角的，即以作為基矢的表象中，對(duì)的體系寫(xiě)出和矩陣。（2）對(duì)于（1）中的體系導(dǎo)出的矩陣。6-18 （1）已知的體系在和的表象中的矩陣(見(jiàn)上題)，試求通過(guò)變換使對(duì)角化的么正矩陣S （2）在是對(duì)角的表象中，寫(xiě)出和的矩陣。6-19 對(duì)于，的共同本征態(tài)，求的平方的平均值及的取值幾率分布。（）6-20 設(shè)代表兩個(gè)角動(dòng)量與之和,求證：（1），即對(duì)量子數(shù)m是對(duì)角化的。（提示：利用）（2） 。（提示：利用）6-21 證明（1）（2）6-22. 證明和的球坐標(biāo)表達(dá)式，第七章 中心力場(chǎng)7

18、-1 對(duì)于庫(kù)侖場(chǎng)證明，其中E是總能量。7-2 中心力場(chǎng)中的經(jīng)典粒子的哈密頓量為，其中，當(dāng)過(guò)渡到量子力學(xué)時(shí)，要換為，試問(wèn)是否厄米算符？是否厄米算符？7-3 設(shè)氫原子處于狀態(tài)，試求氫原子的能量，及的可能值及其幾率，并由此求出它們的平均值。7-4 某類(lèi)氫原子的波函數(shù)表示如下（r以a0為單位）：（1）通過(guò)對(duì)的考察，求量子數(shù)和的數(shù)值。（2）從產(chǎn)生具有相同值，但磁量子數(shù)等于的另一個(gè)本征函數(shù)。（3）當(dāng)時(shí)，求為所規(guī)定的狀態(tài)中某電子的最可幾r值。7-5 氫原子處于基態(tài)，試求（1）r的平均值；（2）最可幾半徑。7-6 試證明：處于1S，2P和3d 態(tài)的氫原子的電子在離原子核距離分別為a0 ,4a0 和9a0 的球

19、殼內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的幾率最大（a0 為第一玻爾軌道半徑）7-7 氫原子處于基態(tài)，（1）求距核二倍玻爾軌道半徑以外發(fā)現(xiàn)電子的幾率。（2）如果我們畫(huà)一個(gè)球面，使得在此球面內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的幾率為90% ，那么這個(gè)球面的半徑是多少？7-8 如坐標(biāo)軸繞z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，試問(wèn)氫原子波函數(shù)的角度部分將如何變化？此種變化是否觀察到？7-9 試求出在及態(tài)下，電子按角度的分布幾率取極大值和極小值的角。7-10 試證明：的氫原子中的電子在和1350方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。7-11 原子中的電子束縛態(tài)，作為的共同本征態(tài)，求相應(yīng)的電流密度和磁矩。7-12 求出氫原子基態(tài)波函數(shù)在動(dòng)量表象中的表示。7-13 由于發(fā)生原子核的衰變，原子核

20、的電荷突然由 。對(duì)于衰變前處于原子Z的K層（1S層）的電子，在原子核衰變后仍舊處于原子（Z+1）的K層的幾率等于多少？7-14 粒子在半徑為a，高度為h的圓筒中運(yùn)動(dòng)，在筒中粒子是自由的，在筒壁及筒外勢(shì)能為無(wú)限大，求粒子的能量本征值及本征函數(shù)。7-15 單價(jià)原子中的價(jià)電子（最外層電子）所受原子實(shí)（原子核及內(nèi)層電子）的作用可近似表示為，式中，為玻爾半徑，求價(jià)電子的能級(jí)，并與氫原子能級(jí)相比較。7-16 對(duì)于類(lèi)氫原子（核電荷Ze）的狀態(tài)，計(jì)算：（1）最可幾半徑rn （2）平均半徑（3）漲落，并將它和相比較。7-17 討論二維氫原子，其中的電子為庫(kù)侖力束縛于原子核，并限制在一個(gè)平面中運(yùn)動(dòng)。（1）試求此體

21、系的本征函數(shù)和能量本征值。（2）試解釋玻爾雖然假設(shè)一個(gè)平面軌道求解氫原子問(wèn)題，為什么還能夠得與實(shí)驗(yàn)一致的能量。7-18 三維各向同性諧振子勢(shì)U（r）如下： ，式中m為粒子質(zhì)量，是常數(shù)。試求該體系的能級(jí)和波函數(shù)，并討論能級(jí)的簡(jiǎn)并情況。7-19 一個(gè)電子被限制在一塊電介質(zhì)（無(wú)限大）平面的上方（x>0）運(yùn)動(dòng)。介質(zhì)的介電常數(shù)為 ，不可穿透。按電像法可求出靜電勢(shì)為，試求電子的能級(jí)（E<0）。第八章自旋8-1 設(shè)電子處于狀態(tài)，求與Z軸的夾角。8-2 證明8-3 和組成正交歸一完全系，試將的本征值分別為和的本征函數(shù)用它們展開(kāi)。8-4 試證明和是的本征函數(shù)，但不是的本征函數(shù)。8-5 試證明 。8-

22、6在“自旋”向下態(tài)中，求和的漲落，以及 。8-7 求的本征值和本征函數(shù)（取表象）。8-8 （1）在表象中求 的歸一化本征函數(shù)；（2）證明 ，并求相應(yīng)的本征函數(shù)；（3）在態(tài)內(nèi)，求的幾率。8-9 設(shè)電子自旋Z分量為 ，問(wèn)沿著與Z軸成角的軸方向上，自旋取及的幾率為多少？求此方向上自旋分量的平均值。8-10 證明不存在和的三個(gè)分量均反對(duì)易的非零二維矩陣。8-11 測(cè)得一電子自旋Z分量為 。再測(cè) ，可能得何值，各值的幾率為多少？平均值為何？8-12 設(shè)為常數(shù)，證明8-13 設(shè)為和對(duì)易的任何矢量算符，證明 8-14 化簡(jiǎn) ， ，為常數(shù)。8-15 證明 8-16 定域電子受到均勻磁場(chǎng)的作用，指向x軸方向，磁

23、作用勢(shì)為 ，設(shè)t=0時(shí)，電子自旋“向上”，即，求t>0時(shí)電子自旋的幾率和的平均值。8-17 對(duì)于兩個(gè)自旋為1/2 的粒子體系，以表示粒子1和2的泡利算符，試求的本征值和本征函數(shù)，并求的本征值。8-18 設(shè)體系有兩個(gè)自旋為1/2的非全同粒子組成，粒子1處于態(tài)，粒子2處于態(tài)，（1）寫(xiě)出粒子1和粒子2以及體系的波函數(shù)，（2）求總自旋的可能測(cè)得值及相應(yīng)的幾率。8-19 將兩個(gè)自旋為1/2的粒子組成的體系置于均勻磁場(chǎng)中，設(shè)磁場(chǎng)沿Z軸方向，體系哈密頓量與自旋有關(guān)部分為，試求體系能級(jí)。8-20 兩個(gè)自旋1/2的定域非全同粒子的哈密頓量為，t=0時(shí)粒子1自旋“向上”（），粒子2自旋“向下”（），求t&g

24、t;0時(shí)（1）粒子1自旋“向上”的幾率；（2）粒子1和2自旋均“向上”的幾率；（3）總自旋S=1和0的幾率；（4）和的平均值。8-21 設(shè)氫原子的狀態(tài)是（1）求和的平均值；（2）求總磁矩的Z分量平均值。8-22 若電子處于d態(tài)，試問(wèn)它的總角動(dòng)量可以取哪些值？這時(shí)軌道角動(dòng)量矢量和自旋角動(dòng)量矢量之間的夾角是多少？8-23 對(duì)于三電子體系，求總自旋量子數(shù)的取值。8-24 對(duì)于三個(gè)電子的自旋函數(shù)，求和的本征值。其中第一組構(gòu)成四重態(tài)，對(duì)電子1，2和3的任意交換都是對(duì)稱的，第三組對(duì)于電子2和3交換為反對(duì)稱的。8-25 討論三電子體系的自旋函數(shù)：（1）證明是和二者的本征函數(shù)，確定相應(yīng)的本征值。（2）運(yùn)用階梯

25、算符生成對(duì)于S=3/2的全部2S+1個(gè)本征函數(shù)。（3）確定S=1/2的三電子體系的本征函數(shù)。這樣的函數(shù)必定有多少組？第九章 多粒子系的量子力學(xué)9-1 兩個(gè)質(zhì)量為m的全同粒子，在彈性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，忽略粒子間的相互作用。（1）寫(xiě)出體系的總能量算符及單粒子狀態(tài)的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)（作為一維問(wèn)題）。（2）將用質(zhì)心坐標(biāo)X和相對(duì)坐標(biāo)x表示，討論質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的特征。（3）如一個(gè)粒子處于基態(tài)，一個(gè)粒子處于第一激發(fā)態(tài)，寫(xiě)出體系的對(duì)稱和反對(duì)稱的軌道波函數(shù)，并用質(zhì)心坐標(biāo)和相對(duì)坐標(biāo)表示。9-2 下列波函數(shù)中，哪些是完全對(duì)稱的？哪些是完全反對(duì)稱的？（1） ，（2）（3）（4） （5）9-3 設(shè)有一體系由兩個(gè)自旋量子數(shù)

26、為3/2的全同粒子組成。問(wèn)體系對(duì)稱的自旋波函數(shù)有幾個(gè)？反對(duì)稱的自旋波函數(shù)有幾個(gè)？9-4 設(shè)兩個(gè)電子在彈性輳力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，每個(gè)電子的勢(shì)能是。如果電子之間的庫(kù)侖能和U（r）相比可以忽略，求當(dāng)一個(gè)電子處在基態(tài)，另一個(gè)電子處于沿x方向運(yùn)動(dòng)的第一激發(fā)態(tài)時(shí)，兩電子組成體系的波函數(shù)。9-5 一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無(wú)相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)造？9-6 考慮由3個(gè)玻色子組成的全同粒子體系。限定單粒子狀態(tài)只能是，試寫(xiě)出體系的所有可能狀態(tài)波函數(shù)。9-7 考慮在無(wú)限深勢(shì)阱（0<x<a）中運(yùn)動(dòng)的兩電子體系，略去電子間的相

27、互作用以及一切與自旋有關(guān)的作用。求體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)。9-8 考慮一個(gè)由相同粒子組成的兩粒子體系，設(shè)可能的單粒子態(tài)為，試求體系的可能態(tài)數(shù)目。分三種情況討論：（1）粒子為玻色子（玻色統(tǒng)計(jì)），（2）粒子為費(fèi)米子（費(fèi)米子統(tǒng)計(jì)），（3）粒子為經(jīng)典粒子（玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)）第十章 微擾論與變分法10-1 假定類(lèi)氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為均勻帶電小球，試計(jì)算類(lèi)氫原子基態(tài)的能量一級(jí)修正。10-2 一維勢(shì)阱的寬度為a，其勢(shì)能函數(shù)為，其中k為常數(shù)，把此勢(shì)阱中的粒子看成是受到微擾的關(guān)在盒子中的粒子，求其能量和波函數(shù)的一級(jí)近似。10-3 一個(gè)電荷為e的線性諧振子，處于均勻的弱電場(chǎng)中，設(shè)沿x的正方向：（1）

28、求體系的能量的二級(jí)近似值；（2）求波函數(shù)的一級(jí)近似。10-4 設(shè)體系未受微擾作用時(shí)僅有兩個(gè)能級(jí)：，現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為a、b都是實(shí)數(shù)，用微擾公式求能量至二級(jí)修正值。10-5 一維非線性諧振子的勢(shì)能為，若把非諧振項(xiàng)看作微擾，試求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能量的一級(jí)修正。10-6 一剛性平面轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，電偶極矩為，處在均勻弱電場(chǎng)中，電場(chǎng)在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)平面上，試求能量到二級(jí)修正。10-7 把正常塞曼效應(yīng)中磁場(chǎng)引起的附加項(xiàng)看作微擾，試計(jì)算堿金屬原子能級(jí)En l 的一級(jí)修正。10-8 耦合諧振子的哈密頓算符為，其中為常數(shù)。試用微擾法求其第一激發(fā)態(tài)能量的一級(jí)修正。10-9 在類(lèi)氫原子中，電子與原子核

29、的庫(kù)侖作用能為，當(dāng)原子核的電荷增加e時(shí)，庫(kù)侖能增加，試用微擾法計(jì)算它引起的能量一級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。10-10 設(shè)電子受到晶格的一維周期勢(shì)U（x）作用，其中a為晶格常數(shù)，可將U（x）看作微擾，無(wú)微擾時(shí)，電子是自由的，波函數(shù)為，是間距為a的N個(gè)離子的晶格長(zhǎng)度。試求能量的一級(jí)修正。10-11 設(shè)有自由粒子在長(zhǎng)度L的一維區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)滿足周期性邊界條件，簡(jiǎn)并的波函數(shù)取為，設(shè)粒子還受一個(gè)“陷阱”的作用，試用簡(jiǎn)并微擾論計(jì)算能量一級(jí)修正。10-12 一個(gè)粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)， ，若加上微擾，求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)（是二重簡(jiǎn)并態(tài)）的能量修正。10-13 設(shè)在表象中，用微擾論求能量修正（到二級(jí)近似）

30、，并與嚴(yán)格求解比較。10-14 求氫原子n=3時(shí)的斯塔克分裂。10-15 一維諧振子受到微擾的作用，試求能級(jí)的一、二級(jí)微擾修正，并與精確解比較。10-16設(shè)粒子在球?qū)ΨQ諧振子勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，試寫(xiě)出能級(jí)和能量本征函數(shù)。它受到微擾的作用，（1）計(jì)算基態(tài)的能級(jí)移動(dòng)（準(zhǔn)確到），（2）用微擾后的基態(tài)（一級(jí)近似），計(jì)算。10-17 將由兩個(gè)自旋為1/2粒子組成的體系置于沿Z方向的均勻磁場(chǎng)中，與自旋有關(guān)的哈密頓量為，試就弱磁場(chǎng)和強(qiáng)磁場(chǎng)兩種情形，用微擾論計(jì)算體系的能級(jí)（二級(jí)近似），并與精確解比較。10-18 設(shè)在表象中，的矩陣表示為，試用微擾求能量的二級(jí)修正。10-19 試用變分法求諧振子的歸一化基態(tài)波函數(shù)和基態(tài)

31、能量，設(shè)試探波函數(shù)為，其中c為歸一化常數(shù)，為與x無(wú)關(guān)的變分參數(shù)。10-20 設(shè)一個(gè)非諧振子的哈密頓量為，設(shè)用簡(jiǎn)諧振子的波函數(shù)為試探波函數(shù)，為可調(diào)參數(shù)，求其基態(tài)的能量。10-21 設(shè)氫原子的基態(tài)試探波函數(shù)為，其中N為歸一化常數(shù)，為變分參數(shù)，求基態(tài)能量并與精確解比較。10-22 設(shè)在氘核中質(zhì)子與中子的作用勢(shì)可表示為，取質(zhì)子與中子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)試探波函數(shù)為，試用變分法求氘核的基態(tài)能量和基態(tài)半徑。10-23 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，電偶極矩為D的平面轉(zhuǎn)子，置于沿x方向的均勻電場(chǎng)中，哈密頓量為，為旋轉(zhuǎn)角（從x軸算起），設(shè)電場(chǎng)很強(qiáng)，求基態(tài)能量近似值。設(shè)試探波函數(shù)為。（提示：對(duì)積分時(shí)，用積分限代替）。10-24 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

32、為I，電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子受到沿Z軸方向的均勻電場(chǎng)作用，其哈密頓量為。（1）求的本征值和本征函數(shù)，能級(jí)簡(jiǎn)并度，（2）視為微擾，求基態(tài)能量（準(zhǔn)確到二級(jí)修正），（3）取試探波函數(shù)為，其中為的基態(tài)本征函數(shù)。試用變分法求基態(tài)能級(jí)近似值（準(zhǔn)確到量級(jí)），和微擾論結(jié)果比較。10-25 質(zhì)量為m的粒子在湯川勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，試估算形成束縛態(tài)所需臨界值，（1）用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算，（2）用變分法估算，取試探波函數(shù)為 。第十一章 量子躍遷11-1電荷為e的諧振子，在時(shí)間t=0時(shí)處于基態(tài)，t>0時(shí)，處于的電場(chǎng)中（為常數(shù)），求諧振子處于第一激發(fā)態(tài)的幾率。11-2 一粒子具有電荷為e，在寬度為a的無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，原來(lái)處于基態(tài)，在光波照耀下激發(fā)躍遷。求其躍遷幾率，和躍遷選擇定則。11-3 設(shè)在時(shí)刻t=0時(shí)，氫原子處于基態(tài)，以后受到單色光的照射而電離。設(shè)單色光的電場(chǎng)可以近似地表示為，與均為常數(shù)，電離后電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時(shí)刻t躍遷到電離態(tài)的幾率。11-4 求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。11-5 基態(tài)氫原子處于平行板電場(chǎng)中，若電場(chǎng)是均勻的且隨時(shí)間按指數(shù)下降，即，求經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。11-