統(tǒng)計(jì)學(xué)：從數(shù)據(jù)到結(jié)論人大吳喜之老師課件03數(shù)據(jù)的描述

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)從數(shù)據(jù)到結(jié)論第三章數(shù)據(jù)的描述 在對數(shù)據(jù)進(jìn)行深入加工之前，在對數(shù)據(jù)進(jìn)行深入加工之前，總應(yīng)該對數(shù)據(jù)有所印象?？倯?yīng)該對數(shù)據(jù)有所印象。 可以借助于圖形和簡單的運(yùn)算，可以借助于圖形和簡單的運(yùn)算，來了解數(shù)據(jù)的一些特征。來了解數(shù)據(jù)的一些特征。 由于數(shù)據(jù)是從總體中產(chǎn)生的，由于數(shù)據(jù)是從總體中產(chǎn)生的，其特征也反映了總體的特征。其特征也反映了總體的特征。對數(shù)據(jù)的描述也是對其總體的對數(shù)據(jù)的描述也是對其總體的一個(gè)近似的描述。一個(gè)近似的描述。3.1 如何用圖來表示數(shù)據(jù)？如何用圖來表示數(shù)據(jù)？3.1.1 定量變量的圖表示定量變量的圖表示:1.直方圖直方圖對于一個(gè)定量變量，比如某個(gè)地區(qū)對于一個(gè)定量變量，比如某個(gè)地區(qū)（地區(qū)

2、（地區(qū)1）測量了）測量了163個(gè)高三男生的身個(gè)高三男生的身高高（s3height1.txt）。用圖形來表示這個(gè)數(shù)據(jù)，使人們能夠用圖形來表示這個(gè)數(shù)據(jù)，使人們能夠看出這個(gè)數(shù)據(jù)的大體分布或看出這個(gè)數(shù)據(jù)的大體分布或“形狀形狀”的一個(gè)辦法是畫的一個(gè)辦法是畫直方圖直方圖(histogram)。圖圖3.1就是利用這個(gè)數(shù)據(jù)由就是利用這個(gè)數(shù)據(jù)由spss軟件軟件所畫的直方圖。所畫的直方圖。圖3.1 地區(qū)1高三男生身高的直方圖200.0195.0190.0185.0180.0175.0170.0165.0160.0155.0150.0std. dev（標(biāo)準(zhǔn)差）=10.91，mean（均值）=170.9，n（人數(shù)）=

3、163403020100該圖的橫坐標(biāo)是身高區(qū)間，這里每一格代表該圖的橫坐標(biāo)是身高區(qū)間，這里每一格代表5cm的身高范圍（格子的身高范圍（格子寬度因不同的數(shù)據(jù)性質(zhì)或要求而定，這里的格子寬度為寬度因不同的數(shù)據(jù)性質(zhì)或要求而定，這里的格子寬度為5cm），而），而縱坐標(biāo)為各種身高區(qū)間的身高的頻數(shù)。縱坐標(biāo)為各種身高區(qū)間的身高的頻數(shù)。 直方圖直方圖3.1.1 定量變量的圖表示定量變量的圖表示:2.盒型圖盒型圖簡單一些的是簡單一些的是盒形圖盒形圖(boxplot，又稱，又稱箱圖、箱線圖、盒子圖箱圖、箱線圖、盒子圖)。圖圖3.2的左邊一個(gè)是根據(jù)地區(qū)的左邊一個(gè)是根據(jù)地區(qū)1高三男高三男生的身高數(shù)據(jù)所繪的盒形圖；其右邊

4、生的身高數(shù)據(jù)所繪的盒形圖；其右邊的圖代表另一個(gè)地區(qū)（地區(qū)的圖代表另一個(gè)地區(qū)（地區(qū)2）的高）的高三學(xué)生的身高三學(xué)生的身高（height.txt，height.sav，第三章例，第三章例.xls）。175163n =地區(qū)地區(qū)2地區(qū)1高三男生身高210200190180170160150140323259250248596158盒型圖盒型圖盒子的中間橫線是數(shù)據(jù)的中位數(shù)盒子的中間橫線是數(shù)據(jù)的中位數(shù)(median)，封閉盒子的上下兩橫線，封閉盒子的上下兩橫線（邊）為上下四分位數(shù)（點(diǎn)）；按照（邊）為上下四分位數(shù)（點(diǎn)）；按照spss的默認(rèn)選項(xiàng)，如果所有的默認(rèn)選項(xiàng)，如果所有樣本中的數(shù)目都在離四分位點(diǎn)樣本中的數(shù)

5、目都在離四分位點(diǎn)1.5倍盒子長度之內(nèi)，則線的端點(diǎn)為倍盒子長度之內(nèi)，則線的端點(diǎn)為最大和最小值，否則線長就是最大和最小值，否則線長就是1.5倍的盒子長度（盒子長度稱為四倍的盒子長度（盒子長度稱為四分位間距），在其外面的度量單獨(dú)點(diǎn)出分位間距），在其外面的度量單獨(dú)點(diǎn)出3.1.1 定量變量的圖表示定量變量的圖表示:3.莖葉圖莖葉圖 在直方圖和盒形圖中，很難恢復(fù)數(shù)據(jù)在直方圖和盒形圖中，很難恢復(fù)數(shù)據(jù)的原貌。而另一種圖：的原貌。而另一種圖：莖葉圖莖葉圖(stem-and-leaf plots)可以恢復(fù)數(shù)據(jù)可以恢復(fù)數(shù)據(jù)以地區(qū)以地區(qū)1高三男生身高為例（圖高三男生身高為例（圖3.3），），莖葉圖既展示了分布形狀又有

6、原始數(shù)莖葉圖既展示了分布形狀又有原始數(shù)據(jù)。它象一片帶有莖的葉子。莖為較據(jù)。它象一片帶有莖的葉子。莖為較大位數(shù)的數(shù)字，葉為較小位數(shù)的數(shù)字。大位數(shù)的數(shù)字，葉為較小位數(shù)的數(shù)字。莖葉圖莖葉圖其中莖葉圖中莖的單位為其中莖葉圖中莖的單位為10cm，而葉子單位為，而葉子單位為1cm。比如，由于。比如，由于第一行莖為第一行莖為150cm，因此葉子中的九個(gè)數(shù)字，因此葉子中的九個(gè)數(shù)字001223344代表九個(gè)數(shù)代表九個(gè)數(shù)目目150、150、151、152、152、153、153、154、154cm等。每等。每行左邊有一個(gè)頻數(shù)（比如第一行有行左邊有一個(gè)頻數(shù)（比如第一行有9個(gè)數(shù)目，第二行有個(gè)數(shù)目，第二行有17個(gè)等等）

7、；個(gè)等等）；可以看出最長的一行為從可以看出最長的一行為從165cm到到169cm的一段（有的一段（有35個(gè)數(shù)）。個(gè)數(shù)）。3.1.1 定量變量的圖表示定量變量的圖表示:4.散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖 數(shù)據(jù)會(huì)有兩個(gè)變量，如美國男士和女?dāng)?shù)據(jù)會(huì)有兩個(gè)變量，如美國男士和女士初婚年限數(shù)據(jù)（士初婚年限數(shù)據(jù)（marriage.txt）。）。該數(shù)據(jù)描述了自該數(shù)據(jù)描述了自1900年到年到1998年男年男女第一次婚姻延續(xù)的時(shí)間。女第一次婚姻延續(xù)的時(shí)間。這里年份是一個(gè)變量，婚姻延續(xù)時(shí)間這里年份是一個(gè)變量，婚姻延續(xù)時(shí)間是第二個(gè)變量。由于不可能將所有人是第二個(gè)變量。由于不可能將所有人的婚姻年限都給出來，所以每年就取的婚姻年限都給出來，

8、所以每年就取了一個(gè)中間的值了一個(gè)中間的值(中位數(shù)中位數(shù))作為代表。作為代表。200019801960194019201900282726252423222120女男散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖3.1.2 定性變量的圖表示：餅圖定性變量的圖表示：餅圖 定性變量（或?qū)傩宰兞?，分類變定性變量（或?qū)傩宰兞浚诸愖兞浚┎荒茳c(diǎn)出直方圖、散點(diǎn)圖或量）不能點(diǎn)出直方圖、散點(diǎn)圖或莖葉圖，但可以描繪出它們各類莖葉圖，但可以描繪出它們各類的比例。的比例。 下面用下面用spss繪的圖繪的圖3.5（餅圖，（餅圖，pie chart）表示了說世界各種主表示了說世界各種主要語言人數(shù)的比例要語言人數(shù)的比例(language.txt).餅圖餅圖

9、3.1.2 定性變量的圖表示：條形圖定性變量的圖表示：條形圖 而用同樣數(shù)據(jù)畫的圖而用同樣數(shù)據(jù)畫的圖3.6稱為稱為條條形圖（形圖（bar chart）。 從每一條可以看出講各種語言從每一條可以看出講各種語言的實(shí)際人數(shù)，而且分別給出了的實(shí)際人數(shù)，而且分別給出了每個(gè)語種中母語和日常使用的每個(gè)語種中母語和日常使用的人數(shù)（在圖中并排放置）。條人數(shù)（在圖中并排放置）。條形圖顯示比例不如餅圖直觀。形圖顯示比例不如餅圖直觀。條形圖條形圖3.2 如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？ 大量的數(shù)字既繁瑣又不直觀；需大量的數(shù)字既繁瑣又不直觀；需要對數(shù)據(jù)做人們時(shí)間和耐心所允要對數(shù)據(jù)做人們時(shí)間和耐心所允許

10、的簡化許的簡化 我們可以用我們可以用 “平均平均”，“差距差距”或百分比等來概括大量數(shù)字?；虬俜直鹊葋砀爬ù罅繑?shù)字。 由于定性變量主要是計(jì)數(shù)，比較由于定性變量主要是計(jì)數(shù)，比較簡單，常用的概括就是比例或百簡單，常用的概括就是比例或百分比。下面主要介紹關(guān)于定量變分比。下面主要介紹關(guān)于定量變量的數(shù)字描述。量的數(shù)字描述。3.2 如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？ 可用少量所謂匯總統(tǒng)計(jì)量或可用少量所謂匯總統(tǒng)計(jì)量或概括概括統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量(summary statistic)來描來描述定量變量的數(shù)據(jù)。述定量變量的數(shù)據(jù)。 這些數(shù)字是從樣本數(shù)據(jù)得來的，這些數(shù)字是從樣本數(shù)據(jù)得來的，因而也是樣本的函

11、數(shù)，因而也是樣本的函數(shù)， 任何樣本的函數(shù)，只要不包含總?cè)魏螛颖镜暮瘮?shù)，只要不包含總體的未知參數(shù)，都稱為體的未知參數(shù)，都稱為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量(statistic)。 樣本的隨機(jī)性決定統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)樣本的隨機(jī)性決定統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)性（統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量）性（統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量）3.2 如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？ 概括統(tǒng)計(jì)量經(jīng)常對應(yīng)于總體概括統(tǒng)計(jì)量經(jīng)常對應(yīng)于總體的無法觀測到的某些參數(shù)。的無法觀測到的某些參數(shù)。 這時(shí)，統(tǒng)計(jì)量可作為這些參這時(shí)，統(tǒng)計(jì)量可作為這些參數(shù)的估計(jì)。一些統(tǒng)計(jì)量還可數(shù)的估計(jì)。一些統(tǒng)計(jì)量還可以用來檢驗(yàn)樣本和假設(shè)的總以用來檢驗(yàn)樣本和假設(shè)的總體是否一致。體是否一致。3.2

12、如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？ 注：注：一些統(tǒng)計(jì)量前面有時(shí)加一些統(tǒng)計(jì)量前面有時(shí)加上上“樣本樣本”二字，以區(qū)別于二字，以區(qū)別于總體的同名參數(shù)。如總體的同名參數(shù)。如“樣本樣本均值均值”和和“樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差”，以區(qū)別于總體均值和總體標(biāo)以區(qū)別于總體均值和總體標(biāo)準(zhǔn)差；但在不會(huì)混淆時(shí)可以準(zhǔn)差；但在不會(huì)混淆時(shí)可以只說只說“均值均值”和和“標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差”。3.2.1 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“位置位置”數(shù)據(jù)有位置嗎？數(shù)據(jù)有位置嗎？這里三個(gè)數(shù)據(jù)的位置一樣嗎？這里三個(gè)數(shù)據(jù)的位置一樣嗎？3.2.1 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“位置位置” “位置位置”一般是關(guān)于數(shù)據(jù)中某變量一般是關(guān)于數(shù)據(jù)中某變量觀測值的觀測值的“中

13、心位置中心位置”或者數(shù)據(jù)或者數(shù)據(jù)分布的中心（分布的中心（center或或center tendency）。）。 和這種和這種“位置位置”有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量就有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量就稱為稱為位置統(tǒng)計(jì)量位置統(tǒng)計(jì)量(location statistic)。 位置統(tǒng)計(jì)量當(dāng)然不一定都是描述位置統(tǒng)計(jì)量當(dāng)然不一定都是描述“中心中心”了，比如后面要講的了，比如后面要講的k百百分位數(shù)（或分位數(shù)（或k分位數(shù)）。分位數(shù)）。3.2.1 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“位置位置”最常用的位置統(tǒng)計(jì)量就是小學(xué)時(shí)所學(xué)最常用的位置統(tǒng)計(jì)量就是小學(xué)時(shí)所學(xué)到的算術(shù)平均數(shù)，它在統(tǒng)計(jì)中叫做均到的算術(shù)平均數(shù)，它在統(tǒng)計(jì)中叫做均值值(mean)；嚴(yán)格地說叫做樣本均值；嚴(yán)格地說

14、叫做樣本均值(sample mean)，以區(qū)別于總體均值。，以區(qū)別于總體均值。如果記樣本中的觀測值為如果記樣本中的觀測值為x1,xn，則，則樣本均值定義為樣本均值定義為(樣本樣本)中位數(shù)中位數(shù)(median) 是數(shù)據(jù)按照大小排列之是數(shù)據(jù)按照大小排列之后位于中間的那個(gè)數(shù)后位于中間的那個(gè)數(shù)(如如果樣本量為奇數(shù)果樣本量為奇數(shù))，或者，或者中間兩個(gè)數(shù)目的平均中間兩個(gè)數(shù)目的平均(如如果樣本量為偶數(shù)果樣本量為偶數(shù))。由于中位數(shù)不易被極端由于中位數(shù)不易被極端值影響，所以中位數(shù)比值影響，所以中位數(shù)比均值穩(wěn)健均值穩(wěn)健(robust)。3.2.1 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“位置位置”上下四分位數(shù)（或分別稱為第一四分位數(shù)和第三

15、四分位數(shù)，first quantile, third quantile）則分別位于（按大小排列的）數(shù)據(jù)的上下四分之一的地方。3.2.1 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“位置位置”3.2.1 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“位置位置”一般地還稱上四分位數(shù)為一般地還稱上四分位數(shù)為75百分位數(shù)百分位數(shù)（75 pecentile，有，有75的觀測值小于的觀測值小于它），下四分位數(shù)為它），下四分位數(shù)為25百分位數(shù)百分位數(shù)（有（有25的觀測值小于它）。的觀測值小于它）。一般地，一般地，k百分位數(shù)百分位數(shù)（k-pecentile）意）意味著有味著有k的觀測值小于它。的觀測值小于它。如果令如果令a a=k%，則則k百分位數(shù)也稱為百分位數(shù)也稱為a

16、 a分位數(shù)分位數(shù)(a a-quantile)。樣本中出現(xiàn)最多的數(shù)目，稱為樣本中出現(xiàn)最多的數(shù)目，稱為眾數(shù)眾數(shù)(mode)3.2.2 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“尺度尺度” 這兩個(gè)數(shù)據(jù)“胖瘦”一樣嗎？3.2.2 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“尺度尺度” 數(shù)據(jù)中數(shù)目的分散程度由尺度統(tǒng)計(jì)量（scale statistic）來描述。 尺度統(tǒng)計(jì)量是描述數(shù)據(jù)散布，即描述集中與分散程度或變化（spread或variability）的度量。3.2.2 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“尺度尺度”從前面兩個(gè)高三男生身高數(shù)據(jù)的盒從前面兩個(gè)高三男生身高數(shù)據(jù)的盒形圖。左邊的數(shù)據(jù)平均要高些，但形圖。左邊的數(shù)據(jù)平均要高些，但右邊的數(shù)據(jù)散布范圍要小得多。右邊的數(shù)據(jù)散布范圍要

17、小得多。175163n =地區(qū)地區(qū)2地區(qū)1高三男生身高210200190180170160150140323259250248596158統(tǒng)計(jì)中有許多尺度統(tǒng)計(jì)量。一般來說，數(shù)據(jù)越分散，尺度統(tǒng)計(jì)量的值越大。3.2.2 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“尺度尺度”極差極差(range)；就是極大值和極小值；就是極大值和極小值之間的差。之間的差。前面兩個(gè)高三男生身高數(shù)據(jù)的極差分前面兩個(gè)高三男生身高數(shù)據(jù)的極差分別為別為50cm和和32cm。盒形圖盒子的長度為兩個(gè)四分位數(shù)之盒形圖盒子的長度為兩個(gè)四分位數(shù)之差，稱為差，稱為四分位數(shù)極差或四分位間距四分位數(shù)極差或四分位間距(interquantile range)；它描述了中；

18、它描述了中間半數(shù)觀測值的散布情況。極差和四間半數(shù)觀測值的散布情況。極差和四分位極差實(shí)際上各自只依賴于兩個(gè)值，分位極差實(shí)際上各自只依賴于兩個(gè)值，信息量太少。信息量太少。3.2.2 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“尺度尺度”另一個(gè)常用的尺度統(tǒng)計(jì)量為（樣本）另一個(gè)常用的尺度統(tǒng)計(jì)量為（樣本）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)。度量樣。度量樣本中各數(shù)值到均值距離的一種平均。本中各數(shù)值到均值距離的一種平均。標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)際上是方差方差(variance)的平方的平方根。如果記樣本中的觀測值為根。如果記樣本中的觀測值為x1,xn，則樣本方差為則樣本方差為3.2.2 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“尺度尺度”兩個(gè)均值一

19、樣，但右邊的要兩個(gè)均值一樣，但右邊的要“胖胖”些，方差為左邊的一些，方差為左邊的一倍倍3.2.3 數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得分?jǐn)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得分 假定兩個(gè)水平類似的班級（一假定兩個(gè)水平類似的班級（一班和二班）上同一門課，班和二班）上同一門課， 但是由于兩個(gè)任課老師的評分但是由于兩個(gè)任課老師的評分標(biāo)準(zhǔn)不同，使得兩個(gè)班成績的標(biāo)準(zhǔn)不同，使得兩個(gè)班成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都不一樣均值和標(biāo)準(zhǔn)差都不一樣(數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)：grade.txt)。3.2.3 數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得分?jǐn)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得分 一班分?jǐn)?shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別一班分?jǐn)?shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為為78.53和和9.43，而二班的均值，而二班的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為和標(biāo)準(zhǔn)差分別為70.19和和7.00。 那么得到那么得到90分的一班的張穎是分的一班的張穎是不是比得到不是比得到82分的二班的劉疏分的二班的劉疏成績更好呢？怎么比較才能合成績更好呢？怎么比較才能合理呢？理呢？3.2.3 數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得分?jǐn)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得分雖然這種均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同的數(shù)據(jù)不雖然這種均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同的數(shù)據(jù)不能夠直接比較，但是可以把它們進(jìn)行能夠直接比較，但是可以把它們進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，再比較標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)。標(biāo)準(zhǔn)化，再比較標(biāo)