常用邏輯用語復習教案

1、2-1 第一章常用邏輯用語小結(jié)與復習（教案）【知識歸類】1 .命題：能夠判斷真假的陳述句.2 .四種命題的構(gòu)成：原命題：若p則q ；逆命題：若q則p ；否命題：若p則q ；逆否命題：若q則F .一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下關系 ：原命題為真，它的逆命題真假不一定.原命題為真，它的否命題 真假不一定.原命題為真,它的逆否命題真命題.逆命題為真,它的否命題真命題.原命題與逆否命題互為逆否命題,它們的真假性是同真同假.逆命題與否命題互為逆否命題，它們同真同假.3 .充分條件與必要條件：p n q : p是q充分條件；q是p必要條件；pu q: p是q的充分必要條件，簡稱充要條件4 .邏輯

2、聯(lián)接詞：“且”、“或”、“非”分別用符號“八” ” /'”表示， 意義為：或：兩個簡單命題至少一個成立；且：兩個簡單命題都成立；非：對一個 命題的否定.按要求寫出下面命題構(gòu)成的各復合命題， 并注明復合命題的“真”與“假”.p ：矩形有外接圓；q：矩形有內(nèi)切圓.p或q ：矩形有外接圓或內(nèi)切圓（真）p且q :矩形有外接圓且有內(nèi)切圓 （假）非p :矩形沒有外接圓 （假）5 .全稱量詞與全稱命題：常用的全稱量詞有：“所有的”、“任意的”、“每一個”、“一切”、“任給”等，并用符號“ V”表示.含有全稱量詞的命題叫全稱 命題.6 .存在量詞與特稱命題：常用的存在量詞有：“存在一個”、“至少有一個

3、”、 “有些”、“有的”、“某個”等，并用符號“才表示.含有存在量詞的命題叫特 稱命題.7 .對常用的正面敘述的詞語填上它們的否定詞語 ：止向詞語1等于二*r（）小于（）是都是任意的否定詞語不等于不大于<不小一于不是不都是某個正面詞 語所有 的任意兩 個至多有一 個至少有一個至多有n個否定詞 語某些某兩個至少有兩 個一個也沒有至少有n+1個8.反證法的邏輯基礎(1) P與P的真假相異,因此,欲證P為真,可證P為假,即將P作為條 件進行推理，如果導致矛盾，那么P必為假，從而p為真.(2) “若p,則q”與“若q則p”等價.欲證”若p,則q”為真，可由假設 “q ”來證明“p "，

4、即將“q ”作為條件進行推理,導致與已知條件p矛盾.(3)由“若p,則q”的真假表可知，“若p,則q”為假，當且僅當p真q假, 所以我們假設“ p真q假”，即從條件p和lq出發(fā)進行推理，如果導致與公理、 定理、定義矛盾，就說明這個假設是錯誤的，從而就證明了 “若p,則q”是真命題.后兩條的邏輯基礎，可以概括成一句話：“否定結(jié)論，推出矛盾”. 【題型歸類】題型一：四種命題之間的關系例1 命題“若a2+b2=0(a、bwR),則a=b=0 "的逆否命題是(D ).(A) 若 a ¥b#0(a,b w R),貝U a2+b2 =0(B) 若 a=b 豐 0 (a,b R R),則

5、 a2 +b2 # 0(C) 若 a #0且b#0(a,b wR),則 a2+b2#0(D)若 a #0或b#0(a,b wR),則a2 十b2#0【審題要津】命題結(jié)論中的a=b=0如何否定是關鍵.解：a=b=0是a=0且b=0,否定時“且”應變?yōu)椤盎?quot;，所以逆否命題為：若 a #0或b=0(a,b R), WJa2+b2 =0,故應選 D【方法總結(jié)】一個命題結(jié)論當條件，條件作結(jié)論得到的命題為原命題的逆否 命題.題型二：充分、必要條件題型例2 “ %P,¥成等差數(shù)列”是“等式sin( a + ¥戶sin2 P成立”的(A ).(A)充分而不必要條件(C)充要條件(

6、B)必要而不充分條件(D)既不充分有不必要的條【審題要津】a,民¥成等差數(shù)列，說明a +尸=2 P,問題的關鍵是由兩個角的正弦值相等是否一定有兩個角相等.解：由a,P,¥成等差數(shù)列，所以a+¥=2P，所以sin( a+丫戶sin2 P成立，充分;反之，由sin( a + -0=sin2 P成立，不見得有ot,P,¥成等差數(shù)列，故應選A.【方法總結(jié)】p= q: p是q充分條件；q是p必要條件，否則：p是q的不充分條件；q是P不必要條件.變式練習：“a =1”是“對任意的正數(shù)x,2x+a21”的(A ).x(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充

7、要條件(D)既不充分有不必要的條件x -1例 3 已知 p: 2 <1 -<2;q:x2 -2x + 1-m2 <0(m>0),若p 是q 的必 3要但不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.【審題要津】命題p, q可以化的更簡，由p和q的關系可以得到p與q的 關系，利用集合的理論方法將問題解決.解：由 x22x +1m2 £0得：1 -m < x <1 +m,(m > 0),.q : A = lx x 1 m或x ： 1 - m, m 0?.x tx 1,由-2 <1 W2 得2 Wx W10;.p： B=x x<2 或 x>1。

8、.3由p是q的必要但不充分條件知：p是q的充分但不必要條件，即B J A 于是：m 01 -m2一2解得0<mW3為所求.1 m&10【方法總結(jié)】利用集合作為邏輯演繹的一個方法，體現(xiàn)了集合的應用，能 把各種關系清楚地描繪出來.題型三：復合命題真假的判斷例4已知p:方程x2+mx+1 =0有兩個不等的負實數(shù)根；q：方程4x2+4(m-2 )x+1=0無實根，若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍.【審題要津】把兩個方程化簡，然后根據(jù)p或q及p且q列不等式組，方可求m 的取值范圍.2在萬=m - 40,右刀陽 八斛：p:斛得m>2;m 0p或q及p且q ,二p為真，q為假或p

9、為假，q為真，【方法總結(jié)】此題是方程與命題的綜合題，涉及到一元二次方程的判別式和 根與系數(shù)的關系，一元二次不等式及不等式組、集合的補集、p或q及p且q兩類復合命題的真假判斷.變式練習：設有兩個命題，p :不等式x+|x + 1 >a的解集為R, q :函數(shù)f(x)=-(7 -3a )”在R上是減函數(shù)，如果這兩個命題中有且只有一個真命題，則a的取值范圍是1 <a ：2.題型四：全稱命題、特稱命題例5設A, B為兩個集合，下列四個命題：(1)A三 Bu 人有乂正3(2)A遼 Bu AB=0(3) A 二 B = B 二 A(4)A 二 B = x A使得 xB其中真命題的序號為(4).

10、【審題要津】根據(jù)子集的概念，通過舉反例加以排除假命題.解：若人=12,3、 B=12,41，滿足 ASB,但 1WAM 住 B, A。B = 住,所以(1),(2)是假命題；若人=占2,4, B = 1,滿足A遼B但B= A,所以(3) 是假命題，只有(4)為真命題.【方法總結(jié)】全稱命題通過“舉反例”來否定 .變式練習：下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是(A ).(A) 有一個 a使si n(900-a )=sina(B)存在實數(shù)x,使sin x ="2(C) 對一切 口,sin(180 口)= sin 口(D) sin15 =sin60 cos45 _cos60 sin 45題

11、型五：綜合應用例6已知關于x的實系數(shù)二次方程x2 + ax + b = 0有兩個實數(shù)根a, B .證明:2 <2且|B|c2是21ct <4 + b且b <4的充要條件.【審題要津】充要條件的證明題都必須從充分和必要兩個方面加以證明，其中的充分性是由條件推出結(jié)論，從題目的敘述中可以看出，網(wǎng)<2且耳<2是條件，2口 <4十bM b <4是結(jié)論，由于二次方程的根由相應的二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點直觀的表示出來，因此可以其直觀性幫助解題。證明：(1)充分性：由韋達定理得 b=qLP|=|aU耳<2父2 = 4.設f(x)=x2+ax + b,則函數(shù)

12、f(x)的圖象是開口向上的拋物線，又 引 <2,網(wǎng) <2,f (+2) >0 .即有 4 + 2a + b >0, 4-2a + b>0聯(lián)立解得2 al <4+b .(2) 必要性：由2a <4 + b= f(±2) >0且f(x)的圖象是開口向上的拋物 線，方程f(x)=0的兩根£,P同在(-2,2)內(nèi)或無實根.；。邛是方程f (x)=0 的根，；& P同在(-2,2)內(nèi)，即川<2且|P| <2.【方法總結(jié)】從本題的要求看，需首先判定條件的充分性和必要性，判定的 一般步驟是(1)先分清條件與結(jié)論,(2)進

13、行互推,(3)根據(jù)定義下結(jié)論.【思想方法】1 .數(shù)學思想：本部分用到的數(shù)學思想有：劃歸思想，分類討論思想亦即否定 思想.2 .數(shù)學方法：本部分用到的數(shù)學主要是反證法，否定一個命題經(jīng)常通過“舉 反例”來說明.1 .對任意實數(shù)給出下列命題：(1) “a=b”是"ac = bc”的充要條件；(2) “a+5是無理數(shù)”是“ a是無理數(shù)”的充要條件；(3) “a>b”是“ a2 Ab2”的充分條件；(4) “a<5”是“ a <3”的必要條件其 中 真 命 題 的 個數(shù)是(B ).(A )1( B(D ) 42. “ x = y ”是“x = y ”的(A )充分不必要條件(

14、C )充要條件 必要條件1 一3.設a wR則a>1是一<1的a(A ).(A )充分不必要條件(C )充要條件 必要條件4 .“ x>5” 的一個(B ).(A ) x >6(C ) x ：615 .在 AABC 中，A>30 是 si rA>-2(A )充分不必要條件(C )充要條件 必要條件)2( C )3(B ).(B)必要不充分條件(D )既不充分也不(B)必要不充分條件(D )既不充分也不必要不充分條件是(B ) x 3(D ) x>100”的(B ).(B)必要不充分條件(D )既不充分也不6 .設M , N是兩個集合，則“ M U N

15、#0 ”是“ M門N #0 ”的(B ).(A )充分不必要條件(B)必要不充分條件(C )充要條件(D )既不充分也不必要條件7 .已知命題p：所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命 題 中 為 真 命 題 的 是 (D ).(A ) (p)vq ( B ) p Aq C )phq)( D )pWq)8 .已知命題：對任意的實數(shù)x,若x>2則x2A4 .寫出它的逆、否、逆否命 題，并判斷其真假.解：逆命題：VxeR,若x2>4則x>2 (假)否命題：Vxe R,若x<2則x2M4 (假)逆否命題：Vx- R,若x2<4則乂 <2 (假)9 .已知命題：矩形的對角線相等.(1)寫出這