最新信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)一系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義一系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定定義為任何有界的輸入將引起有界的輸出，簡稱定義為任何有界的輸入將引起有界的輸出，簡稱bibo穩(wěn)定穩(wěn)定（bounded input bounded output）連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充要條件為系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充要條件為( )0,0h tt連續(xù)時(shí)間、連續(xù)時(shí)間、因果因果lti系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定的充要條件是沖激響應(yīng)絕對可積，即是沖激響應(yīng)絕對可積，即 tthd)(系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的特性系統(tǒng)本身的特性，與輸入信號(hào)無關(guān)。，與輸入信號(hào)無關(guān)。 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)穩(wěn)定性的問

2、題和系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題和系統(tǒng)因果性因果性是密切相關(guān)的，這里只是密切相關(guān)的，這里只考慮因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性?？紤]因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)（1）當(dāng)）當(dāng) h(s) 的所有的所有極點(diǎn)極點(diǎn)全部位于平面的全部位于平面的左半平面左半平面，不不在在虛軸上虛軸上，則系統(tǒng)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。（2）當(dāng)）當(dāng)h(s)在平面在平面虛軸虛軸上有上有一階極點(diǎn)一階極點(diǎn)，其余所有極點(diǎn)全部位于，其余所有極點(diǎn)全部位于平面的平面的左半平面左半平面，則系統(tǒng)是，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定的。的。（3）當(dāng)）當(dāng)h(s)含有含有右半平面的極點(diǎn)右半平面的極點(diǎn)或虛軸上有二階或二階以上或虛軸上有二階或二階以上的極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的

3、。的極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由系統(tǒng)函數(shù)的由系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布極點(diǎn)分布可以判斷連續(xù)時(shí)間、可以判斷連續(xù)時(shí)間、因果因果lti系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷h(s) 的假分式時(shí)，不穩(wěn)定。的假分式時(shí)，不穩(wěn)定。h(s) 的真分式，有可能穩(wěn)定。的真分式，有可能穩(wěn)定。由系統(tǒng)函數(shù)判斷連續(xù)時(shí)間、由系統(tǒng)函數(shù)判斷連續(xù)時(shí)間、因果因果lti系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷當(dāng)系統(tǒng)的當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)都是給定具體數(shù)值參數(shù)都是給定具體數(shù)值時(shí)，當(dāng)然可以應(yīng)用上面討論的方法，時(shí)，當(dāng)然可以應(yīng)用上面討論的方法，計(jì)算計(jì)算出系統(tǒng)函數(shù)的出系統(tǒng)函數(shù)的每一個(gè)極點(diǎn)每一個(gè)

4、極點(diǎn)，然后根據(jù)，然后根據(jù)極點(diǎn)位置極點(diǎn)位置來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 。但在系統(tǒng)有但在系統(tǒng)有參數(shù)是未定參數(shù)是未定，或需要判斷系統(tǒng)參數(shù)滿足什么條件下系統(tǒng)是否穩(wěn)，或需要判斷系統(tǒng)參數(shù)滿足什么條件下系統(tǒng)是否穩(wěn)定一類問題時(shí)，應(yīng)用上面的方法就很不方便了。定一類問題時(shí)，應(yīng)用上面的方法就很不方便了。 必須借助于其他穩(wěn)定性的判別方法必須借助于其他穩(wěn)定性的判別方法 勞斯（勞斯（rooth)判據(jù)判據(jù)霍爾維茨霍爾維茨(horwitz)判據(jù)判據(jù) 簡單詳細(xì)介紹這兩個(gè)判據(jù)，然后介紹由這兩個(gè)判據(jù)得到的適用簡單詳細(xì)介紹這兩個(gè)判據(jù)，然后介紹由這兩個(gè)判據(jù)得到的適用3階或階或3階階以下以下系統(tǒng)穩(wěn)定的簡化的判別方法。系統(tǒng)穩(wěn)定的

5、簡化的判別方法。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)霍爾維茨（霍爾維茨（hurwitz）判斷法）判斷法 設(shè)設(shè)n階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbb sh sa sa sbsa samn(0,1,2,3)ia in， ，(0 1,2,3)jbjm,， ，其中，其中，與與均為實(shí)常數(shù)。均為實(shí)常數(shù)。( )a siaia 的各項(xiàng)系數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)都不等于零，并且都不等于零，并且全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。 系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件必要條件是：是：霍爾維茨多項(xiàng)式：霍爾維茨多項(xiàng)式： 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)【例

6、【例5-7-55-7-5】已知系統(tǒng)函數(shù)】已知系統(tǒng)函數(shù)( )h s如下，試判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？如下，試判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？ 213221(1)( )432ssh ssss32231(2)( )29ssshss 233241(3)( )328sshssss； 解：（解：（1）32( )432a ssss分母多項(xiàng)式即有正系數(shù)有負(fù)系數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；分母多項(xiàng)式即有正系數(shù)有負(fù)系數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；3( )29a ss（2）分母多項(xiàng)式中缺項(xiàng)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；分母多項(xiàng)式中缺項(xiàng)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定； 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)（3 3）32( )328a ssss分母多項(xiàng)式滿足穩(wěn)定系統(tǒng)的必要條件，但是否穩(wěn)定還需進(jìn)一步

7、分解檢驗(yàn)。分母多項(xiàng)式滿足穩(wěn)定系統(tǒng)的必要條件，但是否穩(wěn)定還需進(jìn)一步分解檢驗(yàn)。 對對( )a s進(jìn)行因式分解，得進(jìn)行因式分解，得 322( )328(ss2)(3s4)1717(j)(j)(3s4)2222a ssssss 可見，可見，( )a s有一對有一對正實(shí)部正實(shí)部的共軛復(fù)根，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。的共軛復(fù)根，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)羅斯（羅斯（routh）判斷法）判斷法 設(shè)設(shè)n階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbb sh sa sa sbsa samn(0,1,2,3)ia in， ，(

8、0 1,2,3)jbjm,， ，其中，其中，與與均為實(shí)常數(shù)。均為實(shí)常數(shù)。 ( )h s1110( )nnnna sa sasa sa的分母多項(xiàng)式為的分母多項(xiàng)式為將各項(xiàng)系數(shù)排成羅斯表，即將各項(xiàng)系數(shù)排成羅斯表，即2411352135313541350100nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsaaasaaasxxxsyyyszzzsl羅斯陣列前兩行由羅斯陣列前兩行由( )a s多項(xiàng)式的系數(shù)構(gòu)成。多項(xiàng)式的系數(shù)構(gòu)成。 l第三行以后的系數(shù)由遞推式計(jì)算。第三行以后的系數(shù)由遞推式計(jì)算。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)2413131511131513131511131513131511131313111;11;11

9、;11;nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaxxaaaaaaaaaayyxxxxxxxxxxzzyyyyyyyyeezdzz 15151nnnnnyyzzn1n依此類推，將羅斯表列出。如果是依此類推，將羅斯表列出。如果是階系統(tǒng)，階系統(tǒng)，行。行。 羅斯表就有羅斯表就有信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)羅斯準(zhǔn)則為：羅斯準(zhǔn)則為：（1）陣列中首列元素同號(hào)時(shí)，其根全位于）陣列中首列元素同號(hào)時(shí)，其根全位于s左半平面，則系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；左半平面，則系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；右半平面根，右半平面根的個(gè)數(shù)右半平面根，右半平面根的個(gè)數(shù)（2）陣列中首列元素有變號(hào)時(shí)，則含有）陣列中首

10、列元素有變號(hào)時(shí)，則含有s為變號(hào)次數(shù)，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。為變號(hào)次數(shù)，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 通常聯(lián)合使用羅斯通常聯(lián)合使用羅斯霍爾維茨準(zhǔn)則：（簡化判別過程）霍爾維茨準(zhǔn)則：（簡化判別過程）(1)使用霍爾維茨準(zhǔn)則剔除不穩(wěn)定的系統(tǒng)。使用霍爾維茨準(zhǔn)則剔除不穩(wěn)定的系統(tǒng)。(2)滿足霍爾維茨準(zhǔn)則的，還不能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定的性?？梢粤_斯準(zhǔn)則最終確滿足霍爾維茨準(zhǔn)則的，還不能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定的性?？梢粤_斯準(zhǔn)則最終確 定其穩(wěn)定性。定其穩(wěn)定性。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)則有則有10k 即即 1k 羅斯陣列為羅斯陣列為321( )331h ssssk k【例【例5-7-6】已知某因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為】已知某因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 ，應(yīng)

11、該滿足什么條件？應(yīng)該滿足什么條件？為使系統(tǒng)穩(wěn)定，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，3210133113183 1331sskksksk要使系統(tǒng)穩(wěn)定，有要使系統(tǒng)穩(wěn)定，有的系數(shù)必須全部大于的系數(shù)必須全部大于32( )331a ssssk 0解：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則解：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則80310kk故故81k 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)，3210, , , aaaa323210( )a sa sa sa sa【例【例5-7-7】對于三階系統(tǒng)，分母多項(xiàng)式為】對于三階系統(tǒng)，分母多項(xiàng)式為應(yīng)該滿足什么條件？應(yīng)該滿足什么條件？為使系統(tǒng)穩(wěn)定，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，解：若解：若30a ，不難得出，不難得出 ，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為

12、 3312203111 23 02022001saasaaaaaaaasaaaasa210 0, 0, 0aaa列寫由羅斯陣列列寫由羅斯陣列使系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)羅斯判據(jù)使系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)羅斯判據(jù) 321230200000aaa aa aaa即即 3212300000aaa aa aa信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷（1）一階系統(tǒng)）一階系統(tǒng) ，顯然只要參數(shù)滿足，顯然只要參數(shù)滿足 即為穩(wěn)定。即為穩(wěn)定。 為臨界穩(wěn)定。為臨界穩(wěn)定。0( )a ssa00a00a（3）三階系統(tǒng)）三階系統(tǒng) 必須滿足條件必須滿足條件 且且 系統(tǒng)才是穩(wěn)定的系統(tǒng)才是穩(wěn)定的 32210( )a ssa sa sa

13、2100,0,0aaa120a aa（2）二階系統(tǒng)）二階系統(tǒng) 只要參數(shù)滿足只要參數(shù)滿足 即為穩(wěn)定。即為穩(wěn)定。 或或 屬于為臨界穩(wěn)定。屬于為臨界穩(wěn)定。210( )a ssa sa100,0aa10a 00a 假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式的假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式的最高項(xiàng)系數(shù)為最高項(xiàng)系數(shù)為11110( )nnna ssasa sa三階以下系統(tǒng)穩(wěn)定的判定的充要條件三階以下系統(tǒng)穩(wěn)定的判定的充要條件信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：例：設(shè)系統(tǒng)方框圖如圖所示，求設(shè)系統(tǒng)方框圖如圖所示，求（1）系統(tǒng)函數(shù)）系統(tǒng)函數(shù)h(s)（2）系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)）系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)k滿足的條件滿足的條件解：解： 由由

14、mason公式可以很容易求得系統(tǒng)函數(shù)為公式可以很容易求得系統(tǒng)函數(shù)為( )(1)(5)( )( )(1)(5)1(1)(5)kc sks ssh skr ss ssks ss信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷 由系統(tǒng)函數(shù)可知，系統(tǒng)屬于由系統(tǒng)函數(shù)可知，系統(tǒng)屬于 3 階，所以系統(tǒng)穩(wěn)定要滿足的條件為階，所以系統(tǒng)穩(wěn)定要滿足的條件為32( )( )( )65c skh sr ssssk0k并且并且k56即即300 k信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：例： 設(shè)運(yùn)放是理想的，求電路系統(tǒng)的：設(shè)運(yùn)放是理想的，求電路系統(tǒng)的：（1）系統(tǒng)函數(shù)）系統(tǒng)函數(shù)（2）為使電路系統(tǒng)穩(wěn)定，求）為使電路系統(tǒng)穩(wěn)定，求 k 值范圍值范圍（3）欲使電路臨界穩(wěn)定，求）欲使電路臨界穩(wěn)定，求 k 值以及此時(shí)電路的沖激響應(yīng)值以及此時(shí)電路的沖激響應(yīng)h ( t ) 21( )( )( )ush su s信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷二系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷解：解：（1）對節(jié)點(diǎn)）對節(jié)點(diǎn)u3列寫節(jié)點(diǎn)方程列寫節(jié)點(diǎn)方程2431( )( )( )11suskuskuss1)3()()()(212sksksusush同時(shí)有同時(shí)有由上述兩方程容易求得由上述兩方程容易求得 k 113( )us1( )u s11scs11scs2( )us4(