函數(shù)、極限、連續(xù)(10)課件

1、0 x于零，即于零，即 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 及其附近有定義及其附近有定義)(xfy0 x若自變量若自變量 在在 的改變量的改變量 趨近于零時趨近于零時0 xxx相對應(yīng)的函數(shù)相對應(yīng)的函數(shù) 的改變量的改變量 也趨近也趨近y)(xfy0lim0yx0)()(lim000 xfxxfx或或為函數(shù)的連續(xù)點為函數(shù)的連續(xù)點.則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在在 點是連續(xù)的，點是連續(xù)的， 稱稱)(xfy0 x0 x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 及其附近有定義及其附近有定義)(xfy0 x且等于且等于 在在 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 ，即，即 0 x)(0 xf)(xf并滿足當(dāng)并滿足當(dāng) 時，函數(shù)時，函數(shù) 的極限存在，的極限存在，

2、0 xx)(xf)()(lim00 xfxfxx為函數(shù)的連續(xù)點為函數(shù)的連續(xù)點.則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在在 點是連續(xù)的，點是連續(xù)的， 稱稱)(xfy0 x0 x 在點在點 連續(xù)，必須要求連續(xù)，必須要求 在在 )(xf0 x)(xf0 x 點有定義，這是與極限定義不同的點有定義，這是與極限定義不同的. 函數(shù)函數(shù) 在在)(xfy處連續(xù)處連續(xù)0 x1、 在在 點有定義；點有定義；)(xf0 x2、 存在；存在；)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx3、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 及其附近有定義及其附近有定義)(xfy0 x數(shù)數(shù) 在點在點 左左(右右)連續(xù)連續(xù).)(xfy0 x并且有并且有 或

3、或)()(lim00 xfxfxx),()(lim00 xfxfxx則稱函則稱函條件條件結(jié)論結(jié)論0lim0yx)()(lim00 xfxfxx或或)(xfy在點在點 連續(xù)連續(xù)0 x在在 每一點連續(xù)每一點連續(xù)),( ba)(xfy在在 連續(xù)連續(xù)),( ba)(xfy)()(lim),()(limafxfbfxfaxbx在在 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)),( ba)(xfy在在 連續(xù)連續(xù), ba)(xfy初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù). . 01arctan01011)(2xxxxxxxf討論函數(shù)在指定點處的連續(xù)性討論函數(shù)在指定點處的連續(xù)性01arctan01011)(2xxxxxxx

4、f函數(shù)函數(shù) 在在 處有定義，且處有定義，且)(xf0 x ) 00( fxxx11lim20) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx) 11(1)1 (lim220 xxxx) 11(lim220 xxxx1) 0(f01arctan01011)(2xxxxxxxf) 11(lim220 xxxx11lim20 xxx0 ) 00( fxx1arctanlim02) 00() 00(ff)(lim0 xfx不存在不存在因此，函數(shù)因此，函數(shù) 在在 處不連續(xù)處不連續(xù).)(xf0 x )(xf11)(xxaxexfx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 試確定常數(shù)試確定常數(shù)a的值，使的值，使 在在 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連

5、續(xù).),( 當(dāng)當(dāng) 或或 時，無論時，無論 取何值，取何值，1x1xa)(xf均連續(xù)，均連續(xù)， 若在若在 處連續(xù)，則處連續(xù)，則1x) 1 () 01 () 01 (fff ) 01 ( f)(lim1xax1 ae1ea討論討論、 是否存在是否存在;1、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)01010)(xexxxxfx、 在在 處是否連續(xù)處是否連續(xù))(lim0 xfx)(xf0 x的值，使的值，使 在在 處連續(xù)處連續(xù).2、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 試確定常數(shù)試確定常數(shù))(xf121)(2xxaxxfa1xxx0lim01、)(lim0 xfx) 1(lim0 xxe0)(lim0 xfx、01010)(xexxxxfx0)(lim

6、0 xfx、0)(lim0 xfx1)0(f) 0()(lim0fxfx故故 在在 處不連續(xù)處不連續(xù).)(xf0 x2、121)(2xxaxxf在在 處連續(xù)處連續(xù))(xf1x) 1 ()(lim1fxfx)(lim1xfx又又)(lim21axxa12) 1 (f21a即即1a在在 點處發(fā)生間斷，使點處發(fā)生間斷，使 發(fā)生間發(fā)生間0 x)(xf)(xf)(xf 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 處不連續(xù)，則稱處不連續(xù)，則稱 0 x斷的點斷的點 稱為稱為 的間斷點的間斷點.)(xf0 x 有下列三種情況之一時，有下列三種情況之一時， 在點在點 )(xf0 xx處不連續(xù)，點處不連續(xù)，點 為函數(shù)為函數(shù) 的間斷點

7、的間斷點.0 x)(xf (1)、點、點 處處 無定義，即函數(shù)值無定義，即函數(shù)值)(xf0 x)(0 xf不存在不存在.(3)、 (即使即使 在點在點 )()(lim00 xfxfxx)(xf0 x)(xf 處有定義而且當(dāng)處有定義而且當(dāng) 時時 極限極限 0 xx存在存在).處有定義處有定義). (2)、 不存在不存在(即使即使 在點在點)(lim0 xfxx)(xf0 x)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx與與都存在都存在(1)、特點、特點(2)、分類、分類可去間斷點可去間斷點)(lim)(lim00 xfxfxxxx跳躍間斷點跳躍間斷點)(lim)(lim00 xfxfxxxx已知：

8、函數(shù)已知：函數(shù) 000sin)(xxxxxf討論函數(shù)在討論函數(shù)在 的連續(xù)性的連續(xù)性0 x 的定義域為的定義域為 )(xf)0(f且且 ,R0)(lim0 xfxxxxsinlim01又又1)(lim0 xfx) 0 ( f在在 處不連續(xù)處不連續(xù))(xfy0 xx=0為函數(shù)為函數(shù)的可去間斷的可去間斷點點xy0已知：函數(shù)已知：函數(shù) 討論函數(shù)在討論函數(shù)在 的連續(xù)性的連續(xù)性0 x010001)(xxxxxxf 的定義域為的定義域為 )(xf)0(f且且 0)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1又又)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 x

9、fx不存在不存在.在在 處不連續(xù)處不連續(xù).)(xf0 x即即,R11)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx與與至少有一個不存在至少有一個不存在(1)、特點、特點(2)、分類、分類無窮間斷點無窮間斷點)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx與與至少有至少有一個為一個為震蕩間斷點震蕩間斷點)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx與與震蕩不震蕩不存在存在已知：函數(shù)已知：函數(shù) 討論函數(shù)在討論函數(shù)在 的間斷類型的間斷類型2xxxftan)(x02232yxtan在在 無定義無定義2x2x是間斷點是間斷點,tanlim2xx又又2x是無窮型間斷點是無窮型間斷點已知：函數(shù)已知：函數(shù) 討論函數(shù)在

10、討論函數(shù)在 的間斷類型的間斷類型0 xxxf1sin)(xsin1在在 無定義無定義0 x0 x是間斷點是間斷點又當(dāng)又當(dāng) 時，時，0 x0 x是震蕩型間斷點是震蕩型間斷點y在在-1與與1之間之間變動無限多次，變動無限多次， 在在 處連續(xù)的充要條件是處連續(xù)的充要條件是:0 x)(xf函數(shù)函數(shù) 在在 點既左連續(xù)又右連續(xù)，即點既左連續(xù)又右連續(xù)，即)(xf0 x)()(lim00 xfxfxx)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx已知：函數(shù)已知：函數(shù) 在其定義域內(nèi)連續(xù)，求在其定義域內(nèi)連續(xù)，求k011sin00sin1)(xxxxkxxxxf)(lim0 xfxxxxsin1lim01)(

11、lim0 xfx) 11sin(lim0 xxx1又又 在在 處連續(xù)，則處連續(xù)，則)(xf0 x) 0 ()(lim)(lim00fxfxfxxxx即即1k已知：函數(shù)已知：函數(shù) 在其定義域內(nèi)連續(xù)，求在其定義域內(nèi)連續(xù)，求a11)(xxaxexfx1e1、求函數(shù)無意義的點即為函數(shù)、求函數(shù)無意義的點即為函數(shù)的間斷點的間斷點2、分別對函數(shù)的間斷點求極限、分別對函數(shù)的間斷點求極限判斷類型判斷類型可去間斷點可去間斷點)(lim)(lim00 xfxfxxxx跳躍間斷點跳躍間斷點)(lim)(lim00 xfxfxxxx)(lim)(lim00 xfxfxxxx或無窮間斷點無窮間斷點)(lim0 xfxx)

12、(lim0 xfxx與與震蕩不震蕩不存在存在振蕩間斷點振蕩間斷點934)(22xxxxf求函數(shù)求函數(shù)并說明它屬于哪一類并說明它屬于哪一類的間斷點，的間斷點，, 092x令令3x解得解得當(dāng)當(dāng) 時，時，3x934lim223xxxx31lim3xxx313x是可去間斷點是可去間斷點934lim223xxxx當(dāng)當(dāng) 時，時，3x3x是無窮間斷點是無窮間斷點934)(22xxxxf求函數(shù)求函數(shù)并說明它屬于哪一類并說明它屬于哪一類的間斷點，的間斷點， 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，)(xfy, ba小值小值.則它在這個區(qū)間上一定有最大值和最則它在這個區(qū)間上一定有最大值和最 若函數(shù)若函數(shù)

13、在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，)(xfy, ba 和和 分別為分別為 在在 上的最小值和最上的最小值和最 mM)(xf, ba大值，則對介于大值，則對介于 與與 之間的任意實數(shù)之間的任意實數(shù) mM,C至少存在一點至少存在一點 ，使得，使得 ),( baCf)(mMuabxy)( xfy o 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，)(xfy, ba且且 ，則至少存在一點，則至少存在一點 0)()(bfaf),( ba0)(f使得使得 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，)(xfy, ba 則函數(shù)則函數(shù) 在在 上有界上有界)(xfy, ba 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間

14、 上連續(xù)，上連續(xù)，)(xfy, ba且且 ，則至少存在一點，則至少存在一點 0)()(bfaf),( ba0)(f使得使得 證明三次方程證明三次方程 在在 內(nèi)至內(nèi)至少有一個實根少有一個實根033xx) 1 , 2(則則 的定義域是的定義域是)(xf),(3)(3xxxf設(shè)設(shè) 是初等函數(shù)是初等函數(shù))(xf又又 ) 2( f33) 2() 2(3) 1 ( f31133在在 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)),( 1 , 2)(xf3) 3() 1 () 2(ff90由存根定理可知，由存根定理可知，在在 內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點 ，使得，使得 ) 1 , 2(0)( f即方程即方程 在在 內(nèi)至少有一個內(nèi)至少有一個03

15、3xx) 1 , 2(實根。實根。一、填空題：一、填空題：1、已知、已知 在在 處連續(xù)處連續(xù),023002sin)(xxxkxxxxf則則_k0 x 2、函數(shù)函數(shù) 在在 連續(xù)的連續(xù)的)(xf0 x)()(lim00 xfxfxx3、函數(shù)、函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間是的連續(xù)區(qū)間是)ln(arcsin)(xxf4、函數(shù)、函數(shù) 的間斷點是的間斷點是xxxftan)(_x是第一類間斷點，是第一類間斷點，_x是第二類間斷點是第二類間斷點5、函數(shù)、函數(shù) 的間斷點是的間斷點是34)(xxxf二、選擇題：二、選擇題：1、函數(shù)、函數(shù) 在點在點 處有定義，是處有定義，是)(xf0 x)(xfAxfxfxxxx)(lim)(

16、lim00在點在點 處連續(xù)的：處連續(xù)的：0 xA. 必要不充分條件必要不充分條件B. 充分不必要條件充分不必要條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分又非必要條件既非充分又非必要條件2、函數(shù)、函數(shù) 在點在點 處有處有)(xf0 x則它是函數(shù)則它是函數(shù) 在點在點 處連續(xù)的處連續(xù)的)(xf0 xA. 充分不必要條件充分不必要條件B. 必要不充分條件必要不充分條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分又非必要條件既非充分又非必要條件3、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù) 003sin)(xaxxxxf在在 連續(xù)，則連續(xù)，則_a0 xA.B.11C.2D.34、 是函數(shù)是函數(shù) 的的 xxxf1sin)(0

17、xA. 振蕩間斷點振蕩間斷點B. 無窮間斷點無窮間斷點C. 可去間斷點可去間斷點D. 跳躍間斷點跳躍間斷點5、 _)1ln() 1tan(2lim11xxxxA.B.C.2lnD.2ln12ln226、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù) ,1211)(xxxxxf在在 處間斷是由于處間斷是由于1xA.)(lim1xfx不存在不存在B.)(lim1xfx不存在不存在C.)(xf在在 處無定義處無定義1xD.)(lim)(lim11xfxfxx7、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù) xxxxxf111111)(則則 的可去間斷點個數(shù)是的可去間斷點個數(shù)是A.B.01C.2D.38、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù) ,cos1)(22xxxf當(dāng)當(dāng)0 x),(

18、)(xfxF若若 在在)(xF0 x)(xf時，時，處連續(xù)，則處連續(xù)，則_) 0 (FA.B.10C.1D.2三、計算、證明題：三、計算、證明題：1、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù) 223202043)(2xxxxxxxf(1)、指出函數(shù)、指出函數(shù) 的定義域的定義域)(xf(2)、指出函數(shù)、指出函數(shù) 的間斷點及類型的間斷點及類型)(xf 2、證明方程、證明方程 在在 內(nèi)至少有內(nèi)至少有 133 xx) 2 , 1 ( 3、驗明方程、驗明方程 至少有一個至少有一個2sin xx一個實根。一個實根。實根在實根在2與與3之間。之間。一、填空題：一、填空題：1、22、充要條件充要條件 1 , 0(3、4、), 2, 1

19、, 0(2, 0kkx, 0 x), 2, 1, 0(2kkx5、4二、選擇題：二、選擇題：題號題號1 12 23 34 45 56 67 78 8答案答案ABDCBD CC7、xxxxxf111111)(1, 0, 1xxx為函數(shù)的間斷點為函數(shù)的間斷點當(dāng)當(dāng) 時時,1xxxxxx111111lim1) 1(1)1 (1xxxxxxxxxf111111)() 1() 1()1 ()1 (xxxxxxxxxx11xxx11lim11x為無窮間斷點為無窮間斷點當(dāng)當(dāng) 時時,0 xxxxxx111111lim0 xxx11lim011x為可去間斷點為可去間斷點當(dāng)當(dāng) 時時,0 xxxxxx111111lim1xxx11lim101x為