函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性(8)課件

1、10( )1f xxn 如如果果函函數(shù)數(shù)在在的的某某個個鄰鄰域域內內具具有有直直泰泰勒勒中中到到階階值值定定理理導導數(shù)數(shù)，則則內容回顧內容回顧2000001( )()()()()()2!f xf xfxxxfxxx ( )001()( )!nnnfxxxnR x (1)100( )( )()1()!nnnfxxRxxxn 在在與與 之之間間其中其中拉格朗日形式的余項拉格朗日形式的余項0( )() nnRxo xx 或或皮亞諾形式的余項皮亞諾形式的余項n 階泰勒公式階泰勒公式當當00 xn 階階麥克勞林公式麥克勞林公式 . .2 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式352112sin(

2、1)()3!5!(21)!nnnxxxxxo xn 246221cos1( 1)()2!4!6!(2 )!nnnxxxxxo xn 2311ln(1)( 1)()231nnnxxxxxo xn 2(1)(1)12!(1)(1)()!nnxxxnxo xn 21()2!nxnxxexo xn 31()nxfxxe 例例求求帶帶皮皮亞亞諾諾余余項項的的階階麥麥克克勞勞林林公公式式解解( )xxfxexe ( )xxxfxeexe ( )2xxxfxeexe 2xxexe3xxexe( )( )nxxfxnexe (0)0f ( )(0)nfn ()2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnff

3、f xffxxxO xn 012n()2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffxxxo xn 42( )()(1)!nnxf xxxO xn 解法解法221()2!nxnxxexo xn已已知知 ( )xf xxe 2111()2!(1)!nxnxxexo xn 32( )()2!(1)!nxnxxf xxexxo xn 5為為 的的冪冪的的多多項項式式. .(1)x 將將多多項項式式 表表示示23( )1352p xxxx 令令 則則 01,x ( 1)5,( 1)13,( 1)22,ppp ( )( 1)12,( 1)0(4),kppk 由由泰泰勒勒公公式式 得得, !

4、 ! ! !232212( )513(1)(1)(1)23p xxxx 23513(1)11(1)2(1) .xxx 三次多項式三次多項式例例2 2解解 ( )000()( )()!knknkfxP xxxk 62()2 xfxen 求求 帶帶皮皮亞亞諾諾余余項項的的 階階麥麥克克勞勞林林公公式式練習練習解解 2tx 令令 21()2!ntntteto tn 已已知知 2222221()2!nxnxxenxox 所所以以 42221()2!nnxxxo xn 7四、泰勒公式的應用四、泰勒公式的應用1. 在近似計算中的應用在近似計算中的應用 誤差誤差1( )(1)!nnMRxxn M 為為(1)

5、( )nfx 在包含在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界的某區(qū)間上的上界.可解問題的類型可解問題的類型:1) 已知已知 x 和誤差限和誤差限 , 要求確定項數(shù)要求確定項數(shù) n ;2) 已知項數(shù)已知項數(shù) n 和和 x , 計算近似值并估計誤差計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù)已知項數(shù) n 和誤差限和誤差限 , 確定公式中確定公式中 x 的適用范圍的適用范圍.()2(0)(0)()(0)(0)2!nnfff xffxxxn 8已知已知例例1. 計算無理數(shù)計算無理數(shù) e 的近似值的近似值 , 使誤差不超過使誤差不超過610 . 解解:xe令令 x = 1 , 得得e1111(01)2 !(1)!e

6、nn (01) 由于由于03,ee 欲使欲使(1)nR3(1)!n 610 由計算可知當由計算可知當 n = 9 時上式成立時上式成立 ,因此因此11112!9!e 2.718281 2112!(1)!nxxnxxeexxnn 的麥克勞林公式為的麥克勞林公式為9例例2. 用近似公式用近似公式2cos12!xx 計算計算 cos x 的近似值的近似值,使其精確到使其精確到 0.005 , 試確定試確定 x 的適用范圍的適用范圍.解解: 近似公式的誤差近似公式的誤差43( )cos()4!xRxx 424x 令令40.00524x 解得解得0.588x 即當即當0.588x 時時, 由給定的近似公

7、式計算的結果由給定的近似公式計算的結果能準確到能準確到 0.005 .102. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原原式式1111)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明證明211(0).28xxxx證證:121(1)xx12x211 1(1)2! 2 2x52311 11(1)

8、(2)(1)3! 2 22xx (01) 522311(1)2816xxxx 211(0)28xxxx12e) 10(! ) 1(!1!2111nen兩邊同乘兩邊同乘 n !en!= 整數(shù)整數(shù) +) 10(1ne假設假設 e 為有理數(shù)為有理數(shù)qp( p , q 為正整數(shù)為正整數(shù)) ,則當則當 時時,qn 等式左邊為整數(shù)等式左邊為整數(shù);矛盾矛盾 !例例5 5 證明證明 e 為無理數(shù)為無理數(shù) . . 證證:2n 時時,當當故故 e 為無理數(shù)為無理數(shù) .等式右邊不可能為整數(shù)等式右邊不可能為整數(shù).1360sin(1)xxexxx 例例 當當時時，的的階階是是多多少少? ?解解221()2xxexo x

9、 33sin()3!xxxo x2323sin1()()23!xxxexxo xxo x33453222223()()23!3!2 3!3!1()()2xxxxxxxxo xo xxxo xo x 3()o x3()o x3()o x3()o x3323()23!xxxxo x 333sin(1)()23!xxxexxxo x sin(1)3xexxx 是是 階階無無窮窮小小140, (cos )sin , .xxabxxa b設設 是是5 5階階無無窮窮小小，求求例例7 7解解利用麥克勞林公式利用麥克勞林公式(cos )sin sinsin22bxabxxxaxx 355sin()3!5!x

10、xxxo x 35522sin22( 2)3!5!xxxxoxsinsin22bxaxx 35355522()2( 2)3!5!23!5!xxxxbxa xo xxox 3554161()3!5!ababab xxxo x 10ab 40ab 160ab13b 43a 15泰勒公式的應用泰勒公式的應用(2) 近似計算近似計算(3) 其他應用其他應用求極限求極限 , 證明不等式證明不等式 等等.(1) 利用多項式逼近函數(shù)利用多項式逼近函數(shù) , 1( )(1)!nnMRxxn 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P140 P142 ),xeln(1),x sin,xcos,x(1)x

11、 ()2(0)(0)( )(0)(0)2!nnfff xffxxxn 16第三章第三章 微分中值定微分中值定理與導數(shù)的應用理與導數(shù)的應用第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調性與曲函數(shù)的單調性與曲線線 的凹凸性的凹凸性17函數(shù)的單調性函數(shù)的單調性1212,xxIxx當當時時( );f xI則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間是是單單調調增增加加上上的的12(1) ()(),f xf x 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI12(2) ()(),f xf x 恒恒有有( );f xI則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間是是單單調調減減少少上上的的)(xfy )(1xf)(2xfxyoI182121 ()()( )

12、() . f xf xfxx 拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的公公式式 xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA1212,xxIxx當當時時21( )0,()()Ifxf xf x 若若在在 內內，則則 21( )0,()()Ifxf xf x 若若在在 內內，則則 19一、單調性的判別法一、單調性的判別法定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上單單調調減減少少在在那那末末函函數(shù)數(shù)，內內如如果果在在上上單單調調增增加加；在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內內如如果果在在）（導導內內可可上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設設函函數(shù)數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbaba

13、baxfy 說明說明:1.:1.該定理的條件是充分條件而非必要條件該定理的條件是充分條件而非必要條件30(0)0,(,)yxxf 例例如如，在在處處 但但它它在在上上單單調調增增加加 ( ) , ( , ).( )00( )0( ) , yf xa ba bfxfxxyf xa b 設設在在上上連連續(xù)續(xù)，在在內內可可導導且且，又又的的點點 是是孤孤立立的的那那末末函函增增數(shù)數(shù)在在上上單單調調加加 減減少少 ；定理定理20Oxy0 xOxy0 x0( ),yf xxx 在在處處不不可可導導 但但它它在在相相應應區(qū)區(qū)間間上上有有單單調調性性2( )0 ( ) . fxf x 有有時時的的點點可可以

14、以作作為為函函數(shù)數(shù)單單調調性性的的分分界界點點20(0)0,(,0)(0,)yxxf 例例如如，在在處處 它它在在上上單單調調減減少少，上上單單調調增增加加，21Oxy0 x觀察下面的圖形觀察下面的圖形, 你能得出什么結論？你能得出什么結論？Oxy0 x ( ) . fx 使使得得函函數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)不不存存在在的的點點也也可可作作為為函函數(shù)數(shù)單單調調性性的的分分界界點點結結論論綜上所述綜上所述, 可知可知: ( ) ( )0 ( ) f xfxfx 使使得得函函數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)或或不不存存在在的的點點 . 可可以以作作為為函函數(shù)數(shù)單單調調性性的的分分界界點點22(1) 確定函數(shù)定義域確定函數(shù)

15、定義域; 判斷函數(shù)單調性的方法判斷函數(shù)單調性的方法總結總結: : 求求出出使使得得 和和， 并并以以這這些些點點為為分分界界點點導導數(shù)數(shù)不不，將將定定存存在在義義域域分分為為若若干干 子子區(qū)區(qū)間間；的的點點(2)( )0fx 符符號號, , 確確定定 在在各各個個子子區(qū)區(qū)間間內內的的從從而而判判定定出出 在在該該區(qū)區(qū)間間上上的的單單調調性性。( )( )(3)f xfx 23例例1 1解解.1的單調性的單調性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內內在在 , 0 y函數(shù)單調減少；函數(shù)單調減少；,), 0(內內在在, 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調調增增加加).,(: D又又00 xy 2

16、4二、單調區(qū)間求法二、單調區(qū)間求法問題問題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調的，如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調的，但在各個部分區(qū)間上單調但在各個部分區(qū)間上單調定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內是單調若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內是單調的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調區(qū)間單調區(qū)間.導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調區(qū)間導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調區(qū)間的分界點的分界點方法方法: :.,)()(0)(數(shù)數(shù)的的符符號號然然后后判判斷斷區(qū)區(qū)間間內內導導的的定定義義區(qū)區(qū)間間來來劃劃分分函函數(shù)數(shù)不不存存在在的的點點的的根根及及用用方方程程xfxfxf 25例例2 2解解

17、32( )29123.f xxxx 確確定定函函數(shù)數(shù)的的單單調調區(qū)區(qū)間間).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx時時，當當1 x, 0)( xf上單調增加；上單調增加；在在1 ,(時時，當當21 x, 0)( xf上上單單調調減減少少；在在2 , 1時，時，當當 x2, 0)( xf上上單單調調增增加加；在在), 2 單調增單調增區(qū)間為區(qū)間為，1 ,(1,2，)., 2單調減單調減區(qū)間為區(qū)間為268 2 . yxx 討討論論的的單單調調性性: (, 0)(0, ) 定定義義域域282yx 222(4)xx 0 , y 令令

18、得得122 , 2 ,xx xy y( , 2) 2 ( 2, 0) 02) , 0(2) , 2( 00例例3 3解解單調增單調增區(qū)間為區(qū)間為(, 2 ，( 2,0) ，)., 2單調減單調減區(qū)間為區(qū)間為(0,2)，2702x 時時, 成立不等式成立不等式sin2.xx 證證: 令令sin2( ),xf xx ( )(0,2f x 則則在在上上連連續(xù)續(xù)(0,)2 在在上上可可導導，2cossin( )xxxfxx 2cos(tan )xxxx1xtanx0 ( )(0,),2f x 因因此此在在內內單單調調遞遞減減從而從而sin2,(0 ,2xxx ( )()02f xf ( ),2f x

19、又又在在處處左左連連續(xù)續(xù)因此因此且且例例4 428* 證明證明tan0 xx令令( )tan,xxx 則則2( )1secxx 2tanx 0,(0,)2x ( )(0,),2x 在在上上遞遞減減從而從而( )(0)0 x 即即tan0,(0,)2xxx 29例例5 5證證明明：方方程程有有且且僅僅有有兩兩個個正正根根 ln1 . xxe令令 ( )ln1 ,xf xxe證證:(0,).D 11 ( )0fxxe xe 在在上上(0, )e11 ( )0fxxe 單單調調增增加加 ( )f x在在上上( ,)e ( )0fx 單單調調減減少少 ( )f x在在上上 曲曲線線與與軸軸至至多多有有

20、兩兩個個交交點點(0,+ ) , ( ) .yf xx 利用單調性判別方程根的情況利用單調性判別方程根的情況30)(0,(efx, ,在在上上連連續(xù)續(xù) ( )1f e 00 lim( )limln1xxxf xxe 由由零零點點定定理理 曲曲線線與與軸軸至至少少有有一一個個交交點點, ( ) .yf xx ( ,)xef 上上在在, ,連連續(xù)續(xù) ( )1f e lim( )limln1xxxf xxeln11limxxxxex 由由零零點點定定理理 曲曲線線與與軸軸至至少少有有一一個個交交點點, ( ) .yf xx 綜綜上上所所述述曲曲線線與與軸軸有有且且僅僅有有兩兩個個交交點點, ( )

21、, yf xx 即即 方方程程有有且且僅僅有有兩兩個個正正根根 ln1 . xxe 31利用單調性判別方程根的情況的一般步驟利用單調性判別方程根的情況的一般步驟:第一步第一步( ),1,( )0iif xa binf x 求求出出函函數(shù)數(shù)的的單單調調區(qū)區(qū)間間在在每每個個單單調調區(qū)區(qū)間間上上，方方程程 至至多多有有一一個個根根。第二步第二步,)iiiia ba b考考察察每每個個區(qū)區(qū)間間端端點點處處函函數(shù)數(shù)值值是是否否異異號號，利利用用零零點點定定理理判判定定在在( (內內是是否否有有根根。第三步第三步得得出出方方程程在在定定義義域域內內是是否否有有根根或或根根的的個個數(shù)數(shù)32 (3) .nnx

22、nn 證證明明：是是單單調調減減少少的的數(shù)數(shù)列列1 ( ), 3, ) ,xf xxx 令令121ln( )xxfxxx 3 ,x 當當時時( )0 ,fx ( )3, ),f x 故故在在上上單單調調減減少少: , (3) . nxn 由由此此可可得得利用函數(shù)利用函數(shù)處理數(shù)列處理數(shù)列例例6 6證證33觀察以下曲線觀察以下曲線各曲線有什么不同各曲線有什么不同?OxyAB.三、曲線的凹凸性三、曲線的凹凸性彎曲方向不同彎曲方向不同34曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC凸凹35凸xP :PQ弦弦線線的的方方程程211121()()()() f xf xyf xxxxx 弦弦 :x點點的的坐坐標標12(1) , (0, 1)xxx :曲曲線線位位于于弦弦線線上上方方( )f xy 弦弦1212(1)( )(1) () fxxf xf x 即即OxyabQ( )yf x 2x1x36凹xaPOxybQ( )yf x 1x2x :PQ弦弦線線的的方方程程211121()()()() f xf xyf xxxxx 弦弦