函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(8)課件

1、10( )1f xxn 如如果果函函數(shù)數(shù)在在的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)具具有有直直泰泰勒勒中中到到階階值值定定理理導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧2000001( )()()()()()2!f xf xfxxxfxxx ( )001()( )!nnnfxxxnR x (1)100( )( )()1()!nnnfxxRxxxn 在在與與 之之間間其中其中拉格朗日形式的余項(xiàng)拉格朗日形式的余項(xiàng)0( )() nnRxo xx 或或皮亞諾形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)n 階泰勒公式階泰勒公式當(dāng)當(dāng)00 xn 階階麥克勞林公式麥克勞林公式 . .2 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式352112sin(

2、1)()3!5!(21)!nnnxxxxxo xn 246221cos1( 1)()2!4!6!(2 )!nnnxxxxxo xn 2311ln(1)( 1)()231nnnxxxxxo xn 2(1)(1)12!(1)(1)()!nnxxxnxo xn 21()2!nxnxxexo xn 31()nxfxxe 例例求求帶帶皮皮亞亞諾諾余余項(xiàng)項(xiàng)的的階階麥麥克克勞勞林林公公式式解解( )xxfxexe ( )xxxfxeexe ( )2xxxfxeexe 2xxexe3xxexe( )( )nxxfxnexe (0)0f ( )(0)nfn ()2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnff

3、f xffxxxO xn 012n()2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffxxxo xn 42( )()(1)!nnxf xxxO xn 解法解法221()2!nxnxxexo xn已已知知 ( )xf xxe 2111()2!(1)!nxnxxexo xn 32( )()2!(1)!nxnxxf xxexxo xn 5為為 的的冪冪的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式. .(1)x 將將多多項(xiàng)項(xiàng)式式 表表示示23( )1352p xxxx 令令 則則 01,x ( 1)5,( 1)13,( 1)22,ppp ( )( 1)12,( 1)0(4),kppk 由由泰泰勒勒公公式式 得得, !

4、 ! ! !232212( )513(1)(1)(1)23p xxxx 23513(1)11(1)2(1) .xxx 三次多項(xiàng)式三次多項(xiàng)式例例2 2解解 ( )000()( )()!knknkfxP xxxk 62()2 xfxen 求求 帶帶皮皮亞亞諾諾余余項(xiàng)項(xiàng)的的 階階麥麥克克勞勞林林公公式式練習(xí)練習(xí)解解 2tx 令令 21()2!ntntteto tn 已已知知 2222221()2!nxnxxenxox 所所以以 42221()2!nnxxxo xn 7四、泰勒公式的應(yīng)用四、泰勒公式的應(yīng)用1. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用在近似計(jì)算中的應(yīng)用 誤差誤差1( )(1)!nnMRxxn M 為為(1)

5、( )nfx 在包含在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界的某區(qū)間上的上界.可解問(wèn)題的類型可解問(wèn)題的類型:1) 已知已知 x 和誤差限和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù)要求確定項(xiàng)數(shù) n ;2) 已知項(xiàng)數(shù)已知項(xiàng)數(shù) n 和和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù)已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限和誤差限 , 確定公式中確定公式中 x 的適用范圍的適用范圍.()2(0)(0)()(0)(0)2!nnfff xffxxxn 8已知已知例例1. 計(jì)算無(wú)理數(shù)計(jì)算無(wú)理數(shù) e 的近似值的近似值 , 使誤差不超過(guò)使誤差不超過(guò)610 . 解解:xe令令 x = 1 , 得得e1111(01)2 !(1)!e

6、nn (01) 由于由于03,ee 欲使欲使(1)nR3(1)!n 610 由計(jì)算可知當(dāng)由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立時(shí)上式成立 ,因此因此11112!9!e 2.718281 2112!(1)!nxxnxxeexxnn 的麥克勞林公式為的麥克勞林公式為9例例2. 用近似公式用近似公式2cos12!xx 計(jì)算計(jì)算 cos x 的近似值的近似值,使其精確到使其精確到 0.005 , 試確定試確定 x 的適用范圍的適用范圍.解解: 近似公式的誤差近似公式的誤差43( )cos()4!xRxx 424x 令令40.00524x 解得解得0.588x 即當(dāng)即當(dāng)0.588x 時(shí)時(shí), 由給定的近似公

7、式計(jì)算的結(jié)果由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到能準(zhǔn)確到 0.005 .102. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原原式式1111)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明證明211(0).28xxxx證證:121(1)xx12x211 1(1)2! 2 2x52311 11(1)

8、(2)(1)3! 2 22xx (01) 522311(1)2816xxxx 211(0)28xxxx12e) 10(! ) 1(!1!2111nen兩邊同乘兩邊同乘 n !en!= 整數(shù)整數(shù) +) 10(1ne假設(shè)假設(shè) e 為有理數(shù)為有理數(shù)qp( p , q 為正整數(shù)為正整數(shù)) ,則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí),qn 等式左邊為整數(shù)等式左邊為整數(shù);矛盾矛盾 !例例5 5 證明證明 e 為無(wú)理數(shù)為無(wú)理數(shù) . . 證證:2n 時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng)故故 e 為無(wú)理數(shù)為無(wú)理數(shù) .等式右邊不可能為整數(shù)等式右邊不可能為整數(shù).1360sin(1)xxexxx 例例 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，的的階階是是多多少少? ?解解221()2xxexo x

9、 33sin()3!xxxo x2323sin1()()23!xxxexxo xxo x33453222223()()23!3!2 3!3!1()()2xxxxxxxxo xo xxxo xo x 3()o x3()o x3()o x3()o x3323()23!xxxxo x 333sin(1)()23!xxxexxxo x sin(1)3xexxx 是是 階階無(wú)無(wú)窮窮小小140, (cos )sin , .xxabxxa b設(shè)設(shè) 是是5 5階階無(wú)無(wú)窮窮小小，求求例例7 7解解利用麥克勞林公式利用麥克勞林公式(cos )sin sinsin22bxabxxxaxx 355sin()3!5!x

10、xxxo x 35522sin22( 2)3!5!xxxxoxsinsin22bxaxx 35355522()2( 2)3!5!23!5!xxxxbxa xo xxox 3554161()3!5!ababab xxxo x 10ab 40ab 160ab13b 43a 15泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(2) 近似計(jì)算近似計(jì)算(3) 其他應(yīng)用其他應(yīng)用求極限求極限 , 證明不等式證明不等式 等等.(1) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù) , 1( )(1)!nnMRxxn 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P140 P142 ),xeln(1),x sin,xcos,x(1)x

11、 ()2(0)(0)( )(0)(0)2!nnfff xffxxxn 16第三章第三章 微分中值定微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲函數(shù)的單調(diào)性與曲線線 的凹凸性的凹凸性17函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性1212,xxIxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)( );f xI則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間是是單單調(diào)調(diào)增增加加上上的的12(1) ()(),f xf x 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI12(2) ()(),f xf x 恒恒有有( );f xI則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間是是單單調(diào)調(diào)減減少少上上的的)(xfy )(1xf)(2xfxyoI182121 ()()( )

12、() . f xf xfxx 拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的公公式式 xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA1212,xxIxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)21( )0,()()Ifxf xf x 若若在在 內(nèi)內(nèi)，則則 21( )0,()()Ifxf xf x 若若在在 內(nèi)內(nèi)，則則 19一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在那那末末函函數(shù)數(shù)，內(nèi)內(nèi)如如果果在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在）（導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)可可上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbaba

13、baxfy 說(shuō)明說(shuō)明:1.:1.該定理的條件是充分條件而非必要條件該定理的條件是充分條件而非必要條件30(0)0,(,)yxxf 例例如如，在在處處 但但它它在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加 ( ) , ( , ).( )00( )0( ) , yf xa ba bfxfxxyf xa b 設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)，在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)且且，又又的的點(diǎn)點(diǎn) 是是孤孤立立的的那那末末函函增增數(shù)數(shù)在在上上單單調(diào)調(diào)加加 減減少少 ；定理定理20Oxy0 xOxy0 x0( ),yf xxx 在在處處不不可可導(dǎo)導(dǎo) 但但它它在在相相應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間上上有有單單調(diào)調(diào)性性2( )0 ( ) . fxf x 有有時(shí)時(shí)的的點(diǎn)點(diǎn)可可以

14、以作作為為函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)性性的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)20(0)0,(,0)(0,)yxxf 例例如如，在在處處 它它在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少，上上單單調(diào)調(diào)增增加加，21Oxy0 x觀察下面的圖形觀察下面的圖形, 你能得出什么結(jié)論？你能得出什么結(jié)論？Oxy0 x ( ) . fx 使使得得函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)也也可可作作為為函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)性性的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)結(jié)結(jié)論論綜上所述綜上所述, 可知可知: ( ) ( )0 ( ) f xfxfx 使使得得函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或或不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn) . 可可以以作作為為函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)性性的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)22(1) 確定函數(shù)定義域確定函數(shù)

15、定義域; 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法判斷函數(shù)單調(diào)性的方法總結(jié)總結(jié): : 求求出出使使得得 和和， 并并以以這這些些點(diǎn)點(diǎn)為為分分界界點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不，將將定定存存在在義義域域分分為為若若干干 子子區(qū)區(qū)間間；的的點(diǎn)點(diǎn)(2)( )0fx 符符號(hào)號(hào), , 確確定定 在在各各個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的從從而而判判定定出出 在在該該區(qū)區(qū)間間上上的的單單調(diào)調(diào)性性。( )( )(3)f xfx 23例例1 1解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加).,(: D又又00 xy 2

16、4二、單調(diào)區(qū)間求法二、單調(diào)區(qū)間求法問(wèn)題問(wèn)題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)的分界點(diǎn)方法方法: :.,)()(0)(數(shù)數(shù)的的符符號(hào)號(hào)然然后后判判斷斷區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)導(dǎo)導(dǎo)的的定定義義區(qū)區(qū)間間來(lái)來(lái)劃劃分分函函數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)的的根根及及用用方方程程xfxfxf 25例例2 2解解

17、32( )29123.f xxxx 確確定定函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在1 ,(時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在2 , 1時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 2 單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為，1 ,(1,2，)., 2單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為268 2 . yxx 討討論論的的單單調(diào)調(diào)性性: (, 0)(0, ) 定定義義域域282yx 222(4)xx 0 , y 令令

18、得得122 , 2 ,xx xy y( , 2) 2 ( 2, 0) 02) , 0(2) , 2( 00例例3 3解解單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為(, 2 ，( 2,0) ，)., 2單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為(0,2)，2702x 時(shí)時(shí), 成立不等式成立不等式sin2.xx 證證: 令令sin2( ),xf xx ( )(0,2f x 則則在在上上連連續(xù)續(xù)(0,)2 在在上上可可導(dǎo)導(dǎo)，2cossin( )xxxfxx 2cos(tan )xxxx1xtanx0 ( )(0,),2f x 因因此此在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞減減從而從而sin2,(0 ,2xxx ( )()02f xf ( ),2f x

19、又又在在處處左左連連續(xù)續(xù)因此因此且且例例4 428* 證明證明tan0 xx令令( )tan,xxx 則則2( )1secxx 2tanx 0,(0,)2x ( )(0,),2x 在在上上遞遞減減從而從而( )(0)0 x 即即tan0,(0,)2xxx 29例例5 5證證明明：方方程程有有且且僅僅有有兩兩個(gè)個(gè)正正根根 ln1 . xxe令令 ( )ln1 ,xf xxe證證:(0,).D 11 ( )0fxxe xe 在在上上(0, )e11 ( )0fxxe 單單調(diào)調(diào)增增加加 ( )f x在在上上( ,)e ( )0fx 單單調(diào)調(diào)減減少少 ( )f x在在上上 曲曲線線與與軸軸至至多多有有

20、兩兩個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)(0,+ ) , ( ) .yf xx 利用單調(diào)性判別方程根的情況利用單調(diào)性判別方程根的情況30)(0,(efx, ,在在上上連連續(xù)續(xù) ( )1f e 00 lim( )limln1xxxf xxe 由由零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理 曲曲線線與與軸軸至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn), ( ) .yf xx ( ,)xef 上上在在, ,連連續(xù)續(xù) ( )1f e lim( )limln1xxxf xxeln11limxxxxex 由由零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理 曲曲線線與與軸軸至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn), ( ) .yf xx 綜綜上上所所述述曲曲線線與與軸軸有有且且僅僅有有兩兩個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn), ( )

21、, yf xx 即即 方方程程有有且且僅僅有有兩兩個(gè)個(gè)正正根根 ln1 . xxe 31利用單調(diào)性判別方程根的情況的一般步驟利用單調(diào)性判別方程根的情況的一般步驟:第一步第一步( ),1,( )0iif xa binf x 求求出出函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間在在每每個(gè)個(gè)單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間上上，方方程程 至至多多有有一一個(gè)個(gè)根根。第二步第二步,)iiiia ba b考考察察每每個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間端端點(diǎn)點(diǎn)處處函函數(shù)數(shù)值值是是否否異異號(hào)號(hào)，利利用用零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理判判定定在在( (內(nèi)內(nèi)是是否否有有根根。第三步第三步得得出出方方程程在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)是是否否有有根根或或根根的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)32 (3) .nnx

22、nn 證證明明：是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的數(shù)數(shù)列列1 ( ), 3, ) ,xf xxx 令令121ln( )xxfxxx 3 ,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)( )0 ,fx ( )3, ),f x 故故在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少: , (3) . nxn 由由此此可可得得利用函數(shù)利用函數(shù)處理數(shù)列處理數(shù)列例例6 6證證33觀察以下曲線觀察以下曲線各曲線有什么不同各曲線有什么不同?OxyAB.三、曲線的凹凸性三、曲線的凹凸性彎曲方向不同彎曲方向不同34曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義問(wèn)題問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC凸凹35凸xP :PQ弦弦線線的的方方程程211121()()()() f xf xyf xxxxx 弦弦 :x點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)12(1) , (0, 1)xxx :曲曲線線位位于于弦弦線線上上方方( )f xy 弦弦1212(1)( )(1) () fxxf xf x 即即OxyabQ( )yf x 2x1x36凹xaPOxybQ( )yf x 1x2x :PQ弦弦線線的的方方程程211121()()()() f xf xyf xxxxx 弦弦