上海交通大學大學物理14穩(wěn)恒磁場

1、179習題1414-1如圖所示的弓形線框中通有電流，求圓心處的磁感應(yīng)強度。解：圓弧在O點的磁感應(yīng)強度：，方向：垂直紙面向外；直導線在O點的磁感應(yīng)強度：，方向：；總場強：，方向。14-2如圖所示，兩個半徑均為R的線圈平行共軸放置，其圓心O1、O2相距為a，在兩線圈中通以電流強度均為I的同方向電流。（1）以O(shè)1O2連線的中點O為原點，求軸線上坐標為x的任意點的磁感應(yīng)強度大小；（2）試證明：當時，O點處的磁場最為均勻。解：見書中載流圓線圈軸線上的磁場，有公式：。（1）左線圈在x處點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度：，右線圈在x處點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度：，和方向一致，均沿軸線水平向右，點磁感應(yīng)強度：；（2）因為隨變化，變

2、化率為，若此變化率在處的變化最緩慢，則O點處的磁場最為均勻，下面討論O點附近磁感應(yīng)強度隨變化情況，即對的各階導數(shù)進行討論。對求一階導數(shù)：當時，可見在O點，磁感應(yīng)強度有極值。對求二階導數(shù)：當時，可見，當時，O點的磁感應(yīng)強度有極小值，當時，O點的磁感應(yīng)強度有極大值，當時，說明磁感應(yīng)強度在O點附近的磁場是相當均勻的，可看成勻強磁場?！纠么私Y(jié)論，一般在實驗室中，用兩個同軸、平行放置的匝線圈，相對距離等于線圈半徑，通電后會在兩線圈之間產(chǎn)生一個近似均勻的磁場，比長直螺線管產(chǎn)生的磁場方便實驗，這樣的線圈叫亥姆霍茲線圈】14-3無限長細導線彎成如圖所示的形狀，其中部分是在平面內(nèi)半徑為的半圓，試求通以電流時點

3、的磁感應(yīng)強度。解：a段對O點的磁感應(yīng)強度可用求得，有：，b段的延長線過點，c段產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：，則：O點的總場強：，方向如圖。14-4如圖所示，半徑為R的木球上繞有密集的細導線，線圈平面彼此平行，且以單層線圈均勻覆蓋住半個球面。設(shè)線圈的總匝數(shù)為N，通過線圈的電流為I，求球心O的磁感強度。解：從O點引出一根半徑線，與水平方向呈角，則有水平投影：，圓環(huán)半徑：，取微元，有環(huán)形電流：，利用：，有：，。14-5無限長直圓柱形導體內(nèi)有一無限長直圓柱形空腔（如圖所示），空腔與導體的兩軸線平行，間距為，若導體內(nèi)通以均勻電流I，求腔內(nèi)軸線上O點的磁感應(yīng)強度。解：采用補償法，將空腔部分看成填滿了電流，電流密度

4、為完整的圓柱體在空腔中軸線上的磁場為： 方向沿或而空腔導體部分電流在軸線處的磁場：那么，腔內(nèi)軸線上O點的磁感應(yīng)強度為：， 大小為。14-6在半徑的無限長半圓柱形金屬片中，有電流自下而上通過，如圖所示。試求圓柱軸線上一點處的磁感應(yīng)強度的大小。解：將半圓柱形無限長載流薄板細分成寬為的長直電流，有：，利用。在P點處的磁感應(yīng)強度為：，而因為對稱性，那么，。14-7如圖所示，長直電纜由半徑為R1的導體圓柱與同軸的內(nèi)外半徑分別為R2、R3的導體圓筒構(gòu)成，電流沿軸線方向由一導體流入，從另一導體流出，設(shè)電流強度I都均勻地分布在橫截面上。求距軸線為r處的磁感應(yīng)強度大小（）。解：利用安培環(huán)路定理分段討論。（1）當

5、時，有：；（2）當時，有：，；（3）當時，有：，；（4）當時，有：，。則：14-8一橡皮傳輸帶以速度勻速向右運動，如圖所示，橡皮帶上均勻帶有電荷，電荷面密度為。（1）求像皮帶中部上方靠近表面一點處的磁感應(yīng)強度的大小；（2）證明對非相對論情形，運動電荷的速度及它所產(chǎn)生的磁場和電場之間滿足下述關(guān)系：（式中）。解：（1）如圖，垂直于電荷運動方向作一個閉合回路，考慮到橡皮帶上等效電流密度為：，橡皮帶上方的磁場方向水平向外，橡皮帶下方的磁場方向水平向里，根據(jù)安培環(huán)路定理有：，磁感應(yīng)強度的大小：；（2）非相對論情形下：勻速運動的點電荷產(chǎn)生的磁場為：，點電荷產(chǎn)生的電場為：，即為結(jié)論：（式中）。14-9一均勻

6、帶電長直圓柱體，電荷體密度為，半徑為。若圓柱繞其軸線勻速旋轉(zhuǎn)，角速度為，求：（1）圓柱體內(nèi)距軸線處的磁感應(yīng)強度的大?。唬?）兩端面中心的磁感應(yīng)強度的大小。解：（1）考察圓柱體內(nèi)距軸線處到半徑的圓環(huán)等效電流。，選環(huán)路如圖所示，由安培環(huán)路定理：，有：（2）由上述結(jié)論，帶電長直圓柱體旋轉(zhuǎn)相當于螺線管，端面的磁感應(yīng)強度是中間磁感應(yīng)強度的一半，所以端面中心處的磁感應(yīng)強度：。14-10如圖所示，兩無限長平行放置的柱形導體內(nèi)通過等值、反向電流，電流在兩個陰影所示的橫截面的面積皆為，兩圓柱軸線間的距離，試求兩導體中部真空部分的磁感應(yīng)強度。解：因為一個陰影的橫截面積為，那么面電流密度為：，利用補償法，將真空部分

7、看成通有電流，設(shè)其中一個陰影在真空部分某點處產(chǎn)生的磁場為，距離為，另一個為、，有：。利用安培環(huán)路定理可得：，則：，。即空腔處磁感應(yīng)強度大小為，方向向上。14-11無限長直線電流與直線電流共面，幾何位置如圖所示，試求直線電流受到電流磁場的作用力。解：在直線電流上任意取一個小電流元，此電流元到長直線的距離為，無限長直線電流在小電流元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：，再利用，考慮到，有：，。14-12在電視顯象管的電子束中，電子能量為，這個顯像管的取向使電子沿水平方向由南向北運動。該處地球磁場的垂直分量向下，大小為，問：（1）電子束將偏向什么方向？（2）電子的加速度是多少？（3）電子束在顯象管內(nèi)在南北方向上通

8、過時將偏轉(zhuǎn)多遠？解：（1）根據(jù)可判斷出電子束將偏向東。（2）利用，有：，而，（3）。14-13一半徑為的無限長半圓柱面導體，載有與軸線上的長直導線的電流等值反向的電流，如圖所示，試求軸線上長直導線單位長度所受的磁力。解：設(shè)半圓柱面導體的線電流分布為，將半圓柱面電流分割成無限多長直電流，如圖，由長直電流磁場公式，電流idl在軸線上各點處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：，由對稱性，x 方向分量相互抵消，可求得：；x又，故，有：，而，所以：。14-14如圖14-55所示，一個帶有電荷()的粒子，以速度平行于均勻帶電的長直導線運動，該導線的線電荷密度為（），并載有傳導電流。試問粒子要以多大的速度運動，才能使其保持

9、在一條與導線距離為的平行線上？解：由安培環(huán)路定律知：電流在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：，方向；運動電荷受到的洛侖茲力方向向左，大?。?，同時由于導線帶有線電荷密度為，在處產(chǎn)生的電場強度可用高斯定律求得為：，受到的靜電場力方向向右，大?。?；欲使粒子保持在一條與導線距離為的平行線，需，即：，可得。14-15截面積為、密度為的銅導線被彎成正方形的三邊，可以繞水平軸轉(zhuǎn)動，如圖14-53所示。導線放在方向豎直向上的勻強磁場中，當導線中的電流為時，導線離開原來的豎直位置偏轉(zhuǎn)一個角度而平衡，求磁感應(yīng)強度。解：設(shè)正方形的邊長為，質(zhì)量為，。平衡時重力矩等于磁力矩：由，磁力矩的大?。?；重力矩為：平衡時：，。14-16有一

10、個形導線，質(zhì)量為，兩端浸沒在水銀槽中，導線水平部分的長度為，處在磁感應(yīng)強度大小為的均勻磁場中，如圖所示。當接通電源時，導線就會從水銀槽中跳起來。假定電流脈沖的時間與導線上升時間相比可忽略，試由導線跳起所達到的高度計算電流脈沖的電荷量。解：接通電流時有，而，則：，積分有：；又由機械能守恒：，有：，。14-17如圖所示，在面電流密度為的均勻載流無限大平板附近，有一載流為I半徑為R的半圓形剛性線圈，線圈平面與載流大平板垂直，與平行線圈所受磁力矩大小為？受力大小為？ 解：無限大平板電流產(chǎn)生的磁場垂直于線圈平面，無限大平板電流產(chǎn)生的磁場是勻強磁場，所以閉合載流線圈受力為思考題14-1在圖（）和（）中各有

11、一半徑相同的圓形回路、，圓周內(nèi)有電流、，其分布相同，且均在真空中，但在（）圖中回路外有電流，、為兩圓形回路上的對應(yīng)點，則：；。答：的環(huán)流只與回路中所包圍的電流有關(guān)，與外面的電流無關(guān)，但是回路上的磁感應(yīng)強度卻是所有電流在那一點產(chǎn)生磁場的疊加。所以（C）對。14-2哪一幅圖線能確切描述載流圓線圈在其軸線上任意點所產(chǎn)生的隨的變化關(guān)系？（坐標軸垂直于圓線圈平面，原點在圓線圈中心）答：載流圓線圈在其軸線上任意點所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度時，（），。根據(jù)上述兩式可判斷（C）圖對。14-3取一閉合積分回路，使三根載流導線穿過它所圍成的面現(xiàn)改變?nèi)鶎Ь€之間的相互間隔，但不越出積分回路，則：(A)回路內(nèi)的不變，上各點的不變；(B)回路內(nèi)的不變，上各點的改變；(C)回路內(nèi)的改變，上各點的不變；(D)回路內(nèi)的 改變，上各點的改變.答：（B）對。14-4一載有電流的細導線分別均勻密繞在半徑為和的長直圓筒上形成兩個螺線管()，兩螺線管單位長度上的匝數(shù)相等兩螺線管中的磁感應(yīng)強度大小和應(yīng)滿足：；.答：對于長直螺線管：，由于兩螺線管單位長度上的匝數(shù)相等，所以兩螺線管磁感應(yīng)強度相等。（B）對。14-5均勻磁場的磁感應(yīng)強度垂直于半徑為的圓面。今以該圓周為邊線，作一半球面，則通過面的磁通量的大小為多少？答：。14-6如圖，勻強磁場中有一矩形通電線圈，它的平面與磁場平行，在磁場作