初中數(shù)學(xué)競賽專題選講待定系數(shù)法(含答案)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載初中數(shù)學(xué)競賽專題選講（初三.7）待定系數(shù)法一、內(nèi)容提要1. 多項式恒等的定義： 設(shè) f(x) 和 g(x) 是含相同變量 x 的兩個多項式， f(x) g(x) 表示這兩個多項式恒等 .就是說 x 在取值范圍內(nèi) ，不論用什么實數(shù)值代入左右的兩邊，等式總是成立的 .符號“”讀作“恒等于”，也可以用等號表示恒等式.例如：222 1)(x 1),（ x+3）=x +6x+9,5x 6x+1=(5xx3 39x 70=(x+2)(x+5)(x 7).都是恒等式 .根據(jù)恒等式定義，可求恒等式中的待定系數(shù)的值.例如：已知：恒等式ax2 +bx+c=2(x+1)(x 2).求： a+b+c

2、；a b+c.解：以 x=1， 代入等式的左右兩邊，得a+b+c 4.以 x= 1，代入等式的左右兩邊，得a b+c0.2.恒等式的性質(zhì)：如果兩個多項式恒等，則左右兩邊同類項的系數(shù)相等.即 如果nn 1nn 1a0x +a1x + +an 1x+an=b0x +b 1x+ +bn 1x+b n那么 a0=b0 ， a1=b1， ，an 1=b n1 ，an=bn.22 2x 4.上例中又解： ax +bx+c=2x a=2,b= 2,c=4. a+b+c 4，ab+c 0.3.待定系數(shù)法： 就是先假設(shè)結(jié)論為一個含有待定系數(shù)的代數(shù)式，然后根據(jù)恒等式定義和性質(zhì)，確定待定系數(shù)的值.二、例題例 1.已

3、知：x2x 2ABCx(x 3)( x 2)xx 3 x 2求：A，B，C的值 .解：去分母，得x2 x+2=A(x 3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x 3).根據(jù)恒等式定義（選擇x 的適當值，可直接求出A， B， C 的值），學(xué)習(xí)必備歡迎下載當x=0時，2 6A.A 1.當x=3時，8 15B.B38.當 x= 2 時，8 10C.154 C.5本題也可以把等號右邊的代數(shù)式，整理成為關(guān)于x 的二次三項式， 然后用恒等式性質(zhì)：“左右兩邊同類項的系數(shù)相等”，列出方程組來解.（見下例） .例 2.把多項式 x3 x2+2x+2 表示為關(guān)于x 1 的降冪排列形式.解：用待定系數(shù)法：設(shè) x3 x

4、2+2x+2=a(x 1)3+b(x 1)2+c(x 1)+d把右邊展開，合并同類項（把同類項對齊），得3232ax x +2x+2=ax 3ax+3ax+bx2 2bx+b+cx c+d用恒等式的性質(zhì)，比較同類項系數(shù)，a 1a13ab1b2得2bc2解這個方程組，得33acabcd 2d4 x3 x2+2x+2=(x 1)3+2(x 1)2+3(x 1)+4.本題也可用換元法：設(shè) x1=y, 那么 x=y+1.把左邊關(guān)于x 的多項式化為關(guān)于y 的多項式，最后再把y 換成 x 1.例 3. 已知： 4x4+ax3+13x 2+bx+1 是完全平方式 .求： a 和 b 的值 .解：設(shè) 4x4+

5、ax3+13x 2+bx+1 （ 2x2+mx ± 1）2 （設(shè)待定的系數(shù)，要盡可能少.）右邊展開，合并同類項，得4x4+ax3+13x 2+bx+1 4x4+4mx 3+(m 2± 4)x2 ±2mx+1.比較左右兩邊同類項系數(shù)，得學(xué)習(xí)必備歡迎下載a4ma4m方程組m24 13；或 m2413 .b2mb2m解得 a12或 a12或 a4 17 或 a 4 17 .b6b6b217b 217例 4.推導(dǎo)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系.解：設(shè)方程32x1, x2, x3.ax +bx +cx+d=0(a 0)的三個根分別為原方程化為 x3+ b x 2c xd0 .a

6、aa x1,x2,x3 是方程的三個根 . x3+ b x 2c xd(x x1) (x x2) (x x3).aaa把右邊展開，合并同類項，得x3+ b x 2c x d =x 3 ( x1+x 2+x3)x2 +(x 1x2+x 1x3+x 2x3)x x1x2x3.aaa比較左右同類項的系數(shù)，得一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系是：x1+x 2+x3=b，x1x2+x 1x3+x 2x3c ，x1 x2x3d.aaa例 5.已知： x3+px+q能被（ x a）2整除 .求證： 4p3+27q 2=0.證明：設(shè)32（x+b ） .x +px+q （ x a）x3+px+q=x 3 +(b 2a)

7、x2+(a 2 2ab)x+a2b.b2a0a22ab pa2bq由得 b=2a，代入和得p3a 2q2a 3 4p32233 2×（66（證畢） .+27q 4（ 3a ）+27(2a ) =427a ） +27×（ 4a） =0.例 6.已知： f (x)=x 2 +bx+c 是 g (x)=x 4 +6x 2 25 的因式，也是q (x)=3x 4+4x 2+28x+5 的因式 .求： f (1) 的值 .解： g (x),q (x) 都能被 f (x) 整除 ,它們的和、差、倍也能被f (x) 整除 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載為了消去四次項，設(shè)g (x) q (x) kf

8、(x),(k 為正整數(shù) ).即 14x2 28x+70 k (x 2+bx+c)14（x2 2x+5 ） k (x 2+bx+c) k=14,b=2,c=5.即 f (x)=x 2 2x+5. f (1)=4 .例 7. 用待定系數(shù)法，求（ x+y ） 5 的展開式解：展開式是五次齊次對稱式，可設(shè)（ x+y ） 5 a(x5+y5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y2+x 2y3) (a,b, c 是待定系數(shù) .)當x=1,y=0 時，得 a=1；當x=1,y=1 時，得 2a+2b+2c=32 ，即 a+b+c=16當x= 1,y=2 時，得 31a 14b+4c=1.a1得方程組 a

9、b c1631a14b4c1a1解方程組，得b5c10（ x+y） 5 x5+5x 4y+10x 3y2+10x 2y3+5xy 4+y 5.三、練習(xí)511.已知2x3abb 的值 .26x8x 2x.求 a,x42.已知：4x 23x5ABC( x 1)2 ( x 2)x 1 (x 1) 2. 求：A，B，C 的值.x 23.已知：x46x3+13x2 12x+4 是完全平方式 .求：這個代數(shù)式的算術(shù)平方根 .4.已知： ax3+bx 2+cx+d能被 x2 +p 整除 .求證： ad=bc.3 25. 已知： x 9x +25x+13=a(x+1)(x 2)(x 3) =b(x 1)(x

10、2)(x 3) =c(x 1)(x+1)(x 3) =d(x 1)(x+1)(x 2).求： a+b+c+d 的值 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載6.試用待定系數(shù)法，證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（即韋達定理）.7.用 x 2 的各次冪表示 3x310x2+13.8.k 取什么值時， kx 2 2xy y2+3x 5y+2 能分解為兩個一次因式 .9. 分解因式： x2+3xy+2y 24x+5y+3 ； x4+1987x 2+1986x+1987.10. 求下列展開式： (x+y) 6； (a+b+c) 3.11. 多項式 x2y y2z+z2x x2z+y2x+z 2y 2xyz 因式分解的結(jié)果是 (

11、)(A) (x+y)(y z)(x z) .(B) (x+y)(y+z)(x z).(C) (x y)(y z)(x+z).(D) (x y)(y+z)(x+z).4432432 3.12. 已知 ( a+1) =a +4a +6a+4a+1,若 S=(x 1) +4(x1) +6(x 1) +4x則S等于()4(B)44. (D)4(A) (x 2) .(x1) .(C) x(x+1) .13 已知：ax 35x 2bxc 的值是恒為常數(shù)求：a,b, c 的值 .2x310x 23x4參考答案7 111. a= ,b= 2 22. A=1,B=2,C=33. ± (x2 3x+2)4.由 (x 2+p)(ax+ d )p5. 13 2)22)37. 3(x 2) +8(x 4(x8. 先整理為關(guān)于x 的二次三項式，并把常數(shù)項分解因式，