可降階的高階微分方程(4)課件

1、),(yxfy 可降階高階微分方程 第五節(jié))()(xfyn),(yyfy 第七章第七章 一、)()(xfyn型的微分方程型的微分方程 例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC解法：逐次積分解法：逐次積分),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè)設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程原方程化為一階方程),(pxfp 二、二、特點(diǎn)：特點(diǎn)：解法：解法：右端不顯含未知函數(shù)右端不顯含未知函數(shù) y例例2. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解:

2、 ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為.0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解),()4(xPy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54

3、233251dxdxdxdxdy 例例 3三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 ),(ypy xyypddddyppdd故原方程化為故原方程化為),(ddpyfypp設(shè)設(shè)特點(diǎn)：特點(diǎn)：解法：解法：右端不顯含自變量右端不顯含自變量 xddddypyxx 則則.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,dydPpy 則則),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解為原方程通解為,1yCdxdy 例例 4解法二解法二,12y兩端同乘不為零因子兩端同乘不為零因子, 0)

4、(22 yydxdyyyy,1yCy 故故從而通解為從而通解為.12xCeCy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解將方程寫成將方程寫成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即積分后得通解積分后得通解.212CxCy 又如：又如：例例5. 解初值問題解初值問題解解: 令0e2 yy,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yppyded2積分得1221221eCpy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)ypxyedd積分得,e2Cxy, 00 xy再由12C得故所求特解為xye1得為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與 x 軸圍成的三角

5、形面例例6.)0()(xxy設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo), 且, 0)( xy)(xyy 過曲線上任一點(diǎn) P(x, y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線,1S區(qū)間 0, x 上以,2S記為)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因?yàn)? 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 設(shè)曲線在點(diǎn) P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 ., 1)0(y積記為ttySxd)(02Pxy1S1yxO再利用 y (0) = 1 得利用,1221SS得xttyyy021d)(兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得2)( yyy 初始條件為)0(, 1)0(yy),(ypy 令方

6、程化為,ddyppy 則yyppdd,1yCp 解得由初始條件得,11C, yy 再解得,e2xCy , 12C故所求曲線方程為xye2ddpyppy12SPxy1S1yxOyyS221ttySxd)(02內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 試求試求xy 的經(jīng)過點(diǎn)的經(jīng)過點(diǎn))1,0(M且在此點(diǎn)與直線且在此點(diǎn)與直線12 xy相切的積分曲線相切的積分曲線 . .練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、21)cos(lnCCxy ；