方向?qū)?shù)和梯度(4)課件

1、實(shí)例實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問(wèn)題的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 討論函

2、數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)P沿某一方向沿某一方向的變化率問(wèn)題的變化率問(wèn)題),(yxfz 方方 向?qū)?shù)的定義向?qū)?shù)的定義x引射線引射線內(nèi)有定義，自點(diǎn)內(nèi)有定義，自點(diǎn)的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一點(diǎn)且上的另一點(diǎn)且為為并設(shè)并設(shè)為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設(shè)設(shè) oylP xyP |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf , z 考慮考慮是否存在？是否存在？.),(),(lim0 yxfyyxxflf

3、 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)P沿沿著著x軸軸正正向向0 , 11 e、y軸軸正正向向1 , 02 e的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,；沿著沿著x軸負(fù)向、軸負(fù)向、y軸負(fù)向的方向?qū)?shù)是軸負(fù)向的方向?qū)?shù)是 yxff ,.22(,)( , )()()f xx yyf x yPPxyPlPPl 定定義義函函數(shù)數(shù)的的增增量量與與兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離之之比比值值，當(dāng)當(dāng)沿沿著著 趨趨于于時(shí)時(shí)，如如果果此此比比值值的的極極限限存存在在，則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿方方向向 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)記為記為證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為

4、)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 1(P處處沿沿從從點(diǎn)點(diǎn))0 , 1(P 到到點(diǎn)點(diǎn))1, 2( Q的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù). 解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù))4sin(2)4cos( lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,例例 2

5、2 求求函函數(shù)數(shù)22),(yxyxyxf 在在點(diǎn)點(diǎn)（1，1）沿沿與與x軸軸方方向向夾夾角角為為 的的方方向向射射線線l的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).并并問(wèn)問(wèn)在在怎怎樣樣的的方方向向上上此此方方向向?qū)?dǎo) 數(shù)數(shù)有有 （1）最最大大值值； （2）最最小小值值； （3）等等于于零零？解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)當(dāng)4 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最小小

6、值值2 ;（3）當(dāng)當(dāng)43 和和47 時(shí)時(shí)，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)),(zyxP沿著方向沿著方向 L的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ）.coscoscos zfyfxflf 設(shè)設(shè)方方向向 L 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z例例 3 3 設(shè)設(shè)n是是曲曲面面632222 zyx 在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(P處處的的指指向向外外側(cè)側(cè)的的

7、法法向向量量，求求函函數(shù)數(shù)2122)86(1yxzu 在在此此處處沿沿方方向向n的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在平平面面區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連

8、續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，都都可可定定出出一一個(gè)個(gè)向向量量jyfixf ，這這向向量量稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP的的梯梯度度，記記為為 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問(wèn)題問(wèn)題P sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其其中中),(,eyxgradf 當(dāng)當(dāng)1),(cos( eyxgradf時(shí)時(shí)，lf 有最大值有最大值.設(shè)設(shè)jie sincos 是是方方向向 l上

9、上的的單單位位向向量量，由由方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)公公式式知知 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結(jié)論結(jié)論當(dāng)當(dāng)xf 不不為為零零時(shí)時(shí)，x軸軸到到梯梯度度的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角的的正正切切為為xfyf tangradfgradf P),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影

10、如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P等高線的畫法等高線的畫法播放播放圖圖形形及及其其等等高高線線圖圖形形函函數(shù)數(shù)xyzsin 例如例如,梯度與等高線的關(guān)系：梯度與等高線的關(guān)系：向?qū)?shù)向?qū)?shù)的方的方于函數(shù)在這個(gè)法線方向于函數(shù)在這個(gè)法線方向模等模等高的等高線，而梯度的高的等高線，而梯度的值較值較值較低的等高線指向數(shù)值較低的等高線指向數(shù)從數(shù)從數(shù)線的一個(gè)方向相同，且線的一個(gè)方向相同，且在這點(diǎn)的法在這點(diǎn)的法高線高線的等的等的梯度的方向與點(diǎn)的梯度的方向與點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)cyxfPyxPyxfz ),(),(

11、),( 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)GzyxP ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 類似地類似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)的等量面，此函

12、數(shù)在點(diǎn)),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) P的等量面的等量面czyxf ),(在這點(diǎn)的法線的一在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點(diǎn)點(diǎn) )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問(wèn)問(wèn)在在 哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu