極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限(9)課件

1、1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限xAynznxn準(zhǔn)則準(zhǔn)則1:,滿滿足足下下列列條條件件若若數(shù)數(shù)列列nnnzyx; )1(nnnzxy ;limlim )2(Azynnnn .lim Axnn 則則);(0Nn ,1 AyNnn恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),max021NNNN 取取, AyAn,2 AzNnn恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), AzAn,成立成立即即 Axn.limAxnn 數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則1可以推廣到函數(shù)情形可以推廣到函數(shù)情形:,恒有恒有時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn nnnzxy A, A證證,AzAynn,

2、 0, 0, 021 NN 使得使得準(zhǔn)則準(zhǔn)則 1和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則準(zhǔn)則1:)(),(),(的的局局部部滿滿足足下下列列條條件件在在若若axhxgxf);()()( )1(xhxfxg ;)(lim)(lim )2(Axhxgaxax .)(lim Axfax 則則 0 x 0 x0 x)(xhy )(xgy )(xfy Ay Ay Ay例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,122 nnxnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼準(zhǔn)則得：由夾逼準(zhǔn)則得： 原式原式=1.x1x2x3x1

3、nxnx2. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:M準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.A（1）單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限；）單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限；（2）單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限）單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限.函數(shù)也有類似的單調(diào)有界準(zhǔn)則函數(shù)也有類似的單調(diào)有界準(zhǔn)則.例例2 2.,)(333并并求求出出此此極極限限的的極極限限存存在在重重根根式式證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 證證,1nnxx 顯顯然然 ;是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的即數(shù)列即數(shù)列

4、nx, 331 x又又, 3 kx假設(shè)假設(shè)kkxx 31則則, 3 ,是有上界的是有上界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去)，.2131lim nnx(1)1sinlim0 xxx,作一單位圓作一單位圓,OAC ，得得作作單單位位圓圓的的切切線線的面積的面積OAB 二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限 xsin21 即即,tansin xxx oAxB)20(, xxAOB圓圓心心角角C;AB連結(jié)連結(jié)的面積的面積扇形扇形OAB的的面面積積OAC x21,tan21x xxxta

5、nsin , 1sincos xxx.02顯然也成立顯然也成立左式對于左式對于 x ,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxcos10 2sin22x 2)2(2x 22x , 0, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx1sinlim0 例例3 3.21cos1lim20 xxx 求求解解220212sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlimxxx 20)22sin(limxxx . 1 .3sin2tanlim ,tanlim 00 xxbxxaxx 求求例例4 4解解xxxxxxxbx323sin322sin2cos1lim0

6、 .32321111 1sinlim , 0lim axax則則若若xxxaxcos1sinlim0 , 1 (2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(limknkknnnnCnx1)11(0 21! 2)1(1! 11nnnnn),11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 為什么可以定義為什么可以定義, e是什么是什么?knkknnkP1!0 ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯顯然然 ;加加單調(diào)增單調(diào)增nx!1! 2111

7、nxn )1(123112111 nnn13 , 3 ;有有上上界界數(shù)數(shù)列列nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim記為記為).71828. 2( e類似地類似地).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnnxn ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx :)11(lim exxx 可以證明可以證明,xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limtttt

8、)1(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lime )11(lim1:)11(lim的的證證明明exxx 例例5 5.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例6 6.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e e )11(lim1湊湊 法法直觀上理解并會使用兩個(gè)準(zhǔn)則證明簡單極限問題：直觀上理解并會使用兩個(gè)準(zhǔn)則證明簡單極限問題：掌握并會使用兩個(gè)重要極限掌握并會使用兩個(gè)重要極限（常與換元法合用）（常與換元法合用）：(