格林公式及其應(yīng)用(8)課件

1、1 第十一章第十一章 曲線積分曲線積分 與曲面積分與曲面積分234( , ),( , )P x y Q x yD在在 上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有()d dddLDQPx yP xQ yxy 其其中中L是是D的的取取正正向向的的邊邊界界曲曲線線. . d dddxyLDx yP xQ yPQ 512( )( ):xyxDaxb 12( )( ):yxyDcyd yxo)(1xy )(2xy d dDPx yy 21( )( )ddbxaxPyxy 21 ,( ) ,( )dbaP xxP xxx ( , )dLP x yx ( , )dABCP x yx ( , )dCE

2、AP x yx 1 ,( )dbaP xxx 2 ,( )dabP xxx 6( , )dLP x yx 1 ,( )dbaP xxx 2 ,( )dabP xxx 12 ,( ) ,( )dbaP xxP xxx d dDPx yy ( , )dLP x yx d d( , )dLDQx yQ x yyx ()d dddLDQPx yP xQ yxy 7yxo3D1D2D()d dDQPx yxy 1()d dDQPx yxy 2()d dDQPx yxy 3()d dDQPx yxy ddMCBAMP xQ y ddABPAP xQ y ddBCNBP xQ y dd .LP xQ y 8

3、()d dddLDQPx yP xQ yxy 9()d dddLDQPx yP xQ yxy 1dd2LAx yyx ,Py Qx 在在上上式式取取，得得cos:, 02sinxaLyb 1dd2LAxyyx 22201(cossin)d2abab .ab 10yxoAB2d d(0,0),(1, 1),yDex yDOA 計(jì)計(jì)算算其其中中 是是以以(1, 1).B 為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域20,yPQxe 取取，QPxy 2ye 2d dyDex y 2dyOA AB BDxey 2dyOAxey 210dxxey 11(1).2e :1,:10,AByx :0,:10.BO

4、 xy :,:01,OA yx x112(22 )d(4 )dLxyyxxxyL 計(jì)計(jì)算算其其中中 是是229.xy 正正向向圓圓周周yxo22Pxyy令令，24Qxx，QPxy 24)(22)xx （2 2(22 )d(4 )dLxyyxxxy ( 2)d dDx y 2 9 18 . 1222(3 )d()dLxyxyxyL 計(jì)計(jì)算算其其中中 為為上上半半圓圓24(0,0)(4,0).yxxOA 正正向向圓圓周周從從到到y(tǒng)xoA22(3 )d()dAOLxyxyxy 22(3 )d()dAOxyxyxy 4d dDx y 024dxx :0,: 40.AOyx 648.3 13yxo22(

5、 2)d()dxxLxyexemxyL 計(jì)計(jì)算算其其中中 為為由由點(diǎn)點(diǎn)2(0,0)2(1,1).OyxxB 沿沿曲曲線線到到點(diǎn)點(diǎn)BA AOBLAAO 011()demy 1.4mem Ld dDm x y :1,:10,BA xy :0,:10,AO yx 010dx 14yxoyxo1522dd,Lx yy xLxy 計(jì)計(jì)算算其其中中 為為一一條條無無重重點(diǎn)點(diǎn)、分分段段光光滑滑.且且不不經(jīng)經(jīng)過過原原點(diǎn)點(diǎn)的的連連續(xù)續(xù)閉閉曲曲線線， 的的方方向向?yàn)闉槟婺鏁r時針針方方向向22,yPxy 令令22.xQxy 220,xy則則當(dāng)當(dāng)時時22222()Qyxxxy Py (0,0),D 當(dāng)當(dāng)時時22dd0

6、.Lx yy xxy D162222220cossindrrr 2 . (0,0),D 當(dāng)當(dāng)時時222:,lxyr 1D1D22ddLx yy xxy 22ddlx yy xxy 22ddL lx yy xxy 10dd0.Dxy 2222ddddLlx yy xx yy xxyxy cos:sinxrlyr :02 L1Dl17LG 設(shè)設(shè) 是是 內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條閉閉曲曲線線，2ddLP xQ y 1ddLP xQ y 2LddLP xQ y 則則稱稱曲曲線線積積分分dd0.LP xQ y 都都有有1L12dddd0LLP xQ yP xQ y 12dd0LLP xQ y 18( , ),

7、( , )GP x yQ x yG設(shè)設(shè) 是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域，在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，ddLP xQ yG 則則曲曲線線積積分分在在 內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是PQyx G在在 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立. .LG設(shè)設(shè) 是是 內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條閉閉曲曲線線，充充分分性性由由格格林林公公式式有有 dd()dLDQPP xQ yxy 0 . .19必必要要性性0 GM設(shè)設(shè)在在 內(nèi)內(nèi)存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)，使使00.PQPxy 不不妨妨設(shè)設(shè)為為（）0 0MQPxy （），0MK由由連連續(xù)續(xù)性性知知必必存存在在的的閉閉鄰鄰域域 ，使使在在該該鄰鄰域域上上2QPxy

8、r設(shè)設(shè)該該鄰鄰域域的的正正向向邊邊界界為為 ，則則ddrP xQ y ()dKQPxy 02 K 為為鄰鄰域域 的的面面積積20例例3 3中中三三個個起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)相相同同而而路路徑徑不不同同的的曲曲線線22ddLx y xxy 積積分分值值相相同同，不不是是偶偶然然的的，因因?yàn)闉檫@這里里2PQxxoyyx（在在整整個個面面恒恒成成立立）. .: 1)2)(2)PQGGyx 定定理理?xiàng)l條件件單單連連通通；、在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)缺缺一一不不可可. .,PQyx dddd .BABAP xQ yP xQ y 21yxo423(23)d(4)dLxyyxxxyyxoy 證證明明在在坐坐標(biāo)標(biāo)并并計(jì)計(jì)

9、算算證證明明面面內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，2,14231.0(23)d(4)dxyyxxxyy （）（）. .423234.PxyyQxxy ，324Pxyy :0,:12AByx:2,:01BCxy 213dx 原原式式230(48)dyy 5. 曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，,ABBC取取折折線線路路徑徑、,Qx 223222(2cos )d(12 sin3)dLxyyxxyxx yy 計(jì)計(jì)算算22(0,0)(,1).2Lxy 其其中中 為為拋拋物物線線上上由由點(diǎn)點(diǎn)到到的的一一段段弧弧32222cos12 sin3.PxyyxQyxx y ，262 cosPxyyxy 曲曲線線積積

10、分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，,OAAB取取折折線線路路徑徑、,Qx yxo22xy (,0)2A (,1)2B :0,:02OA yx :,:012AB xy 200dx 原原式式2.4 2120(123)d4yyy 23( , ), u x y給給定定d ( , ) d d .uuu x yxyxy dd ,P xQ y 給給定定( , ) u x y求求d ( , )ddu x yP xQ y使使得得(1)( , )( , )ddP x yQ x yP xQ y 滿滿足足什什么么條條件件、才才是是某某( , )u x y二二元元函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分？(2)( , )u x y如如何何求求

11、這這樣樣的的？24( , ),( , )GP x yQ x yG設(shè)設(shè) 是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域，在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，( , )d( , )dP x yxQ x yyG 則則在在 內(nèi)內(nèi)為為某某一一PQyx G在在 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立. .必必要要性性( , )u x y函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分的的充充分分必必要要條條件件是是d ( , )( , )d( , )du x yP x yxQ x yy ( , ),( ,)uuP x yQ x yxy 25由全微分定義有由全微分定義有( , ),( ,)uuP x yQ x yxy 22,PuQuyx yxy x P, Q 在

12、在 G 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),22uux yy x 所所以以從而在從而在G內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有.PQyx 充充分分性性00(,),GM xy在在取取定定起起點(diǎn)點(diǎn)和終點(diǎn)和終點(diǎn)M( x, y ),因曲線積分與路徑無關(guān)因曲線積分與路徑無關(guān), 有函數(shù)有函數(shù) 00( ,)(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy 2600( ,)(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy (, )( , )xuu xx yu x y 則則(,).P xy 0limxxuuxx 0lim(,)xP xx y (,)(

13、, )ddxx yx yPxQ y (,)( , )dxx yx yPx (,)P xx yx 同理可證同理可證因此有因此有ddd .uPxQy(,),uQ xyy (,)C xx y ( ,)M x y00(,)M xyyxoG27推論推論( , ),( , )GP x yQ x yG設(shè)設(shè) 是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域，在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，ddLP xQ yG 則則曲曲線線積積分分在在 內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是：( , )Gu x y在在 內(nèi)內(nèi)存存在在函函數(shù)數(shù)，使使d ( , )( , )d( , )d .u x yP x yxQ x yy 說

14、明說明(1)dd:P xQ y 定定理理3 3給給出出了了是是某某函函數(shù)數(shù)全全微微分分的的條條件件(2)推推論論給給出出了了全全微微分分求求積積的的方方法法，即即.PQyx 28(2)推推論論給給出出了了全全微微分分求求積積的的方方法法，即即ddduP xQ yG 可可用用積積分分法法求求在在 內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù)00(,)M xy取取定定起起點(diǎn)點(diǎn)00(,)(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy 00( ,)dxxP x yx 00( , )(, )dyyu x yQ xyy 0( , )dyyQ x yy ，0( , )d .xxP x yx yx0y0 x( , ),M x y及及動動點(diǎn)點(diǎn)2922ddxyxx y y 驗(yàn)驗(yàn)證證是是某某個個函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分，并并22,PxyQx y設(shè)設(shè)2PQxyyx 則則，22ddduxyxx y y ( , )22