千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(三)：第65煉 直線的方程與性質(zhì)

1、第九章 第65煉 直線的方程與性質(zhì) 解析幾何第65煉 直線的方程與性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）直線的要素與方程：1、傾斜角：若直線與軸相交，則以軸正方向?yàn)槭歼?，繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱(chēng)為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍 2、斜率：設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱(chēng)為直線的斜率，記為 （1）當(dāng)時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫(huà)直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）斜率的求法：已知直線上任意兩點(diǎn)

2、，則，即直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān)。3、截距：若直線與坐標(biāo)軸分別交于，則稱(chēng)分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡(jiǎn)記形式，其取值可正，可負(fù)，可0（不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過(guò)原點(diǎn)的非水平非豎直直線4、直線方程的五種形式：首先在直角坐標(biāo)系中確定一條直線有兩種方法：一種是已知直線上一點(diǎn)與直線的方向（即斜率），另一種是已知兩點(diǎn)（兩點(diǎn)確定一條直線），直線方程的形式與這兩種方法有關(guān)（1）一點(diǎn)一方向： 點(diǎn)斜式：已知直線的斜率，直線上一點(diǎn)，則直線的方程為：證明：設(shè)直線上任意一點(diǎn)，根據(jù)斜率計(jì)算公式可得：，所以直線上的每一點(diǎn)都應(yīng)滿足：，即為直線

3、方程 斜截式：已知直線的斜率，縱截距，則直線的方程為： 證明：由縱截距為可得直線與軸交點(diǎn)為，從而利用點(diǎn)斜式得： 化簡(jiǎn)可得： （2）兩點(diǎn)確定一條直線： 兩點(diǎn)式：已知直線上的兩點(diǎn)，則直線的方程為： 截距式：若直線的橫縱截距分別為，則直線的方程為：證明：從已知截距可得：直線上兩點(diǎn)，所以 一般式：由前幾類(lèi)直線方程可知：直線方程通常由的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成，所以可將直線的通式寫(xiě)為：（不同時(shí)為0），此形式稱(chēng)為直線的一般式一般式方程的作用：可作為直線方程的最終結(jié)果 可用于判定直線的平行垂直關(guān)系 點(diǎn)到直線距離公式與平行線間距離公式需要用直線的一般式5、五種直線形式所不能表示的直線：（1）點(diǎn)斜式，斜截式：與斜率相

4、關(guān)，所以無(wú)法表示斜率不存在的直線（即豎直線）（2）截距式： 截距不全的直線：水平線，豎直線 截距為0的直線：過(guò)原點(diǎn)的直線6、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類(lèi)型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫(xiě)出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）（二）直線位置關(guān)系：1、在解析幾何中直線的位置關(guān)系有三種：平行，相交（包含垂直），重合如果題目中提到“兩條直線”，則不存在重合的情

5、況，如果只是，則要考慮重合的情況。2、直線平行的條件（1）斜截式方程：設(shè)直線 若直線的斜率存在，則（2）一般式方程：設(shè)，則 當(dāng)時(shí)， ，且和中至少一個(gè)成立，則（此條件適用于所有直線）3、直線垂直的條件：（1）斜截式方程：設(shè)直線，則（2）一般式方程：設(shè)，則：4、一般式方程平行與垂直判定的規(guī)律： 可選擇與一般式方程對(duì)應(yīng)的向量：，即有：，從而的關(guān)系即可代表的關(guān)系，例如：（注意驗(yàn)證是否會(huì)出現(xiàn)重合的情況）（三）距離問(wèn)題：1、兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)，則2、點(diǎn)到直線距離公式：設(shè)則點(diǎn)到直線的距離3、平行線間的距離：則的距離為（四）對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1、中心對(duì)稱(chēng)：（1）幾何特點(diǎn)：若關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則為線段的中點(diǎn)（2）解析特征：

6、設(shè)，則與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)滿足：2、軸對(duì)稱(chēng)（1）幾何特點(diǎn)：若若關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)，則為線段的中垂線，即，且的中點(diǎn)在上（2）解析特征：設(shè)，則與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)滿足： ，解出即可（3）求軸對(duì)稱(chēng)的直線：設(shè)對(duì)稱(chēng)軸為直線，直線關(guān)于的對(duì)稱(chēng)直線為 若，則，且到對(duì)稱(chēng)軸的距離與到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等 若與相交于 ，則取上一點(diǎn)，求出關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則即為對(duì)稱(chēng)直線（五）直線系方程：滿足某種特征的一類(lèi)直線組成的集合稱(chēng)為直線系，直線系的方程通常含有參數(shù)（以參數(shù)的不同取值確定直線）1、平行線系：集合中的直線呈兩兩平行關(guān)系參數(shù)不會(huì)影響斜率的取值（1）與直線平行的直線系方程為：（為參數(shù)，且）（2）與直線垂直的直線系方程為：（為參數(shù)）

7、2、過(guò)定點(diǎn)的直線：（1）若參數(shù)的取值影響直線的斜率，則可尋找該直線是否圍繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：即把含參數(shù)的項(xiàng)劃為一組并提取參數(shù)，只需讓參數(shù)所乘的因式為0即可（2）已知（與不重合），則過(guò)交點(diǎn)的直線系方程為：（該直線無(wú)法表示）3、直線系方程的用途：主要是在求直線方程時(shí)可充分利用平行，垂直或過(guò)定點(diǎn)的條件，將直線設(shè)為只含一個(gè)參數(shù)的方程，從而在思路上就可圍繞如何求參數(shù)配置資源，尋找條件解出參數(shù)，即可得到所求直線方程二、典型例題：例1：直線的傾斜角的取值范圍是（ ）A B C D思路：要求傾斜角（設(shè)為），可將直線轉(zhuǎn)化為斜截式得：，所以，即，結(jié)合正切的定義以及傾斜角的范圍可得： 答案：B小煉有話說(shuō)：一是要注意由正

8、切值求角時(shí)，通過(guò)圖像判斷更為穩(wěn)妥，切忌只求邊界角，然后直接根據(jù)角大小寫(xiě)區(qū)間。二是要注意傾斜角的取值范圍：，所以當(dāng)時(shí)，傾斜角為（而不是）例2：經(jīng)過(guò)作直線，若直線與連接的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為 思路：直線可視為繞進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在坐標(biāo)系中作出線段，即可由圖判斷出若直線與線段有公共點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一條直線與最后一條直線分別為直線，則，由圖像可得： 答案：小煉有話說(shuō)：本題如果沒(méi)有圖像輔助，極易將結(jié)果寫(xiě)成，通過(guò)觀察可得旋轉(zhuǎn)的過(guò)程當(dāng)中，傾斜角不斷變大，由銳角變?yōu)殁g角。從而斜率的值應(yīng)為正負(fù)值之外，而非正負(fù)值之間。所以處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)：一定作圖，作圖，作圖！例3：若的圖象是兩條平行直線，則 的值是

9、（ ）A或 B C D的值不存在思路：由平行線可得：可解得：或，檢驗(yàn)是否存在重合情況，將代入直線可得：，符合題意，將代入直線可得：，則重合，不符題意，所以舍去。綜上可得：答案：B小煉有話說(shuō)：在已知平行關(guān)系求參數(shù)取值時(shí)，盡管在求解時(shí)可僅用系數(shù)關(guān)系，但解出參數(shù)后要進(jìn)行驗(yàn)證，看是否會(huì)導(dǎo)致直線重合。例4：已知直線互相垂直，則實(shí)數(shù)等于（ ） A或 B或 C或 D或思路：由兩直線相互垂直可得：，即，解得或 答案：A例5：已知直線通過(guò)點(diǎn)，被直線：反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)， 則反射光線所在直線的方程是 思路：本題與物理知識(shí)相結(jié)合，可知反射光線過(guò)已知點(diǎn)在鏡面中的虛像（即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)），所以考慮求出的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用確定反射

10、光線即可。解：設(shè)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則有，且的中點(diǎn)在上 即 答案：例6：直線 （ 且不同時(shí)為0）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)_思路：直線過(guò)定點(diǎn)，則意味著定點(diǎn)坐標(biāo)使得參數(shù)“失去作用”即無(wú)論參數(shù)取何值，不會(huì)影響表達(dá)式的值，能夠達(dá)到此功效的只有讓參數(shù)與“0”相乘，所以考慮將已知直線進(jìn)行變形，將含的項(xiàng)與含的項(xiàng)分別歸為一組，可得：，若要讓“失去作用”，則，解得，即定點(diǎn)為 答案：小煉有話說(shuō)：含參數(shù)的直線方程要么是一組平行線（斜率為常數(shù)），要么考慮過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)的求解可參照例6的求法。尋找定點(diǎn)是一種意識(shí)，即遇到含參數(shù)的直線時(shí)，便可考慮能否找到定點(diǎn)，從而抓住此類(lèi)直線的特征（繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），有助于解題。例7：已知直線上存在點(diǎn)滿足與兩點(diǎn)連線的斜

11、率與之積為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_思路：設(shè)直線上的點(diǎn)，則需同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是符合直線方程，二是保證斜率乘積為3.對(duì)于條件一，即，對(duì)于條件二，按照斜率計(jì)算公式可得，所以即。所以存在滿足條件的，等價(jià)于方程組有解，所以判別式，可解得 答案：例8：若不全為零的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，點(diǎn)在動(dòng)直線上的射影為，點(diǎn)在直線上，則線段長(zhǎng)度的最小值是_思路：從成等差數(shù)列可得：，所以，方程含參進(jìn)而考慮尋找定點(diǎn)。，所以有，解得定點(diǎn)為，即為繞旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線，對(duì)于任意點(diǎn)，的最小值為點(diǎn)到的距離，而的所有位置中，只有過(guò)點(diǎn)時(shí)，最短，即答案： 小煉有話說(shuō)：（1）本題的突破口在于對(duì)含參直線的分析，首先對(duì)于含參直線要分析出屬于平行線系（斜率為

12、定值），還是過(guò)定點(diǎn)系（斜率因參數(shù)變化而變化），其次對(duì)于多參數(shù)方程也能夠找到定點(diǎn)。（2）本題的均為動(dòng)點(diǎn)，雙動(dòng)點(diǎn)求最值時(shí)，通常固定一個(gè)點(diǎn)，分析此點(diǎn)固定時(shí)，達(dá)到最值時(shí)另一個(gè)點(diǎn)位置的特征（例如本題中固定，分析出到的距離為最?。?，然后再讓該點(diǎn)動(dòng)起來(lái)，在動(dòng)的過(guò)程中找到“最值”中的最值。例9：已知的兩條高所在直線方程為，若，求直線的方程思路：本題并沒(méi)有說(shuō)明高線是否過(guò)，但可以將帶入方程進(jìn)行驗(yàn)證，可得兩條高線均不過(guò)，從而尋找確定直線的要素，可連接，由三角形“三條高線交于一點(diǎn)”的性質(zhì)可得，且點(diǎn)可由兩條高線解得，從而得到，只需再求得一點(diǎn)即可，觀察到為三條直線的公共點(diǎn)，已知，而可求。進(jìn)而解得的坐標(biāo)，然后通過(guò)和求出的方程解：設(shè) ，所以 由“三條高線交于一點(diǎn)”可得： 設(shè)，代入解得： 整理后可得： 答案：例10：已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，線段的中點(diǎn)為，且滿足，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 思路：觀察發(fā)現(xiàn)所給直線為兩條平