方差分析幾個案例[蒼松資料]

1、方差分析方法    方差分析是統(tǒng)計分析方法中，最重要、最常用的方法之一。本文應(yīng)用多個實例來闡明方差分析的應(yīng)用。在實際操作中，可采用相應(yīng)的統(tǒng)計分析軟件來進行計算。  1. 方差分析的意義、用途及適用條件  1.1 方差分析的意義 方差分析又稱為變異數(shù)分析或F檢驗，其基本思想是把全部觀察值之間的變異（總變異），按設(shè)計和需要分為二個或多個組成部分，再作分析。即把全部資料的總的離均差平方和（SS）分為二個或多個組成部分，其自由度也分為相應(yīng)的部分，每部分表示一定的意義，其中至少有一個部分表示各組均數(shù)之間的變異情況，稱為組間變異（MS組間）；另一部分表示同一組內(nèi)個體

2、之間的變異，稱為組內(nèi)變異（MS組內(nèi)），也叫誤差。SS除以相應(yīng)的自由度（），得均方（MS）。如MS組間>MS組內(nèi)若干倍（此倍數(shù)即F值）以上，則表示各組的均數(shù)之間有顯著性差異。 方差分析在環(huán)境科學(xué)研究中，常用于分析試驗數(shù)據(jù)和監(jiān)測數(shù)據(jù)。在環(huán)境科學(xué)研究中，各種因素的改變都可能對試驗和監(jiān)測結(jié)果產(chǎn)生不同程度的影響，因此，可以通過方差分析來弄清與研究對象有關(guān)的各個因素對該對象是否存在影響及影響的程度和性質(zhì)。  1.2 方差分析的用途 1.2.1 兩個或多個樣本均數(shù)的比較。 1.2.2 分離各有關(guān)因素，分別估計其對變異的影響。 1.2.3 分析兩因素或多因素的交叉作用。 1.2.4 方差齊性檢

3、驗。  1.3 方差分析的適用條件 1.3.1 各組數(shù)據(jù)均應(yīng)服從正態(tài)分布，即均為來自正態(tài)總體的隨機樣本（小樣本）。 1.3.2 各抽樣總體的方差齊。 1.3.3 影響數(shù)據(jù)的各個因素的效應(yīng)是可以相加的。 1.3.4 對不符合上述條件的資料，可用秩和檢驗法、近似F值檢驗法，也可以經(jīng)過變量變換，使之基本符合后再按其變換值進行方差分析。一般屬Poisson分布的計數(shù)資料常用平方根變換法；屬于二項分布的百分數(shù)可用反正弦函數(shù)變換法；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)之間呈正比關(guān)系，用平方根變換法又不易校正時，也可用對數(shù)變換法。  2. 單因素方差分析（單因素多個樣本均數(shù)的比較） 根據(jù)某一試驗因素，將試驗對

4、象按完全隨機設(shè)計分為若干個處理組（各組的樣本含量可相等或不等），分別求出各組試驗結(jié)果的均數(shù)，即為單因素多個樣本均數(shù)。 用方差分析比較多個樣本均數(shù)的目的是推斷各種處理的效果有無顯著性差異，如各組方差齊，則用F檢驗；如方差不齊，用近似F值檢驗，或經(jīng)變量變換后達到方差齊，再用變換值作F檢驗。如經(jīng)F檢驗或近似F值檢驗，結(jié)論為各總體均數(shù)不等，則只能認為各總體均數(shù)之間總的來說有差異，但不能認為任何兩總體均數(shù)之間都有差異，或某兩總體均數(shù)之間有差異。必要時應(yīng)作均數(shù)之間的兩兩比較，以判斷究竟是哪幾對總體均數(shù)之間存在差異。 在環(huán)境科學(xué)研究中，常常要分析比較不同季節(jié)對江、河、湖水中某種污染物的含量有無顯著性影響；各

5、種氣象條件如風(fēng)向、風(fēng)速、溫度對大氣中某種污染物含量的影響等問題。我們把季節(jié)、風(fēng)向、風(fēng)速、溫度等稱為因素。僅按不同季節(jié)，或不同的風(fēng)向，或不同的溫度來分組，稱為單因素。 例1 某年度某湖不同季節(jié)湖水中氯化物含量（mg/L）測定結(jié)果如表6.1所示。試比較不同季節(jié)湖水中氯化物含量有無顯著性差異。  從表1的測定結(jié)果可見有三種變異： 1. 組內(nèi)變異：每個季節(jié)內(nèi)部的各次測定結(jié)果不盡相同，但顯然不是季節(jié)的影響，而只是由于誤差（如個體差異、隨機測量誤差等）所致。  2. 組間變異：各個季節(jié)的均數(shù)也不相同，說明季節(jié)對湖水中氯化物的含量可能有一定的影響，也包括誤差的作用。  3.總變

6、異：32次測定結(jié)果都不盡相同，既可能受季節(jié)的影響，也包括誤差的作用。 不同季節(jié)湖水中氯化物含量的均數(shù)之間的變異究竟是由于誤差所致，還是由于不同季節(jié)的影響，可以用方差分析來解決此問題。方差分析可表示： 從總變異中分出組間變異和組內(nèi)變異，并用數(shù)量表示變異的程度。 將組間變異和組內(nèi)變異進行比較，如二者相差甚微，說明季節(jié)影響不大；如二者相差較大，組間變異比組內(nèi)變異大得多，說明季節(jié)影響不容忽視。以下是三種變異的計算方法：  3.1 多個方差的齊性檢驗已知多個樣本（理論上均來自正態(tài)總體）方差，可以據(jù)此推斷它們所分別代表的總體方差是否相等，即多個方差的齊性檢驗。其常用于：  

7、說明多組變量值的變異度有無差異。 方差齊性檢驗。 以例1為例（各組樣本含量相等），如表4所示。   3.確定P值：根據(jù)=41=3，查附表12得P<0.005。 4.判斷結(jié)果：由于P<0.005，因此，四組方差不齊。  3.2 近似F值檢驗（F'檢驗）以例2為例，如表6所示。    公式26最常用，公式27適用于原數(shù)據(jù)中有小值和零時。K為常數(shù)，可以根據(jù)需要選用合適的數(shù)值。  對數(shù)變換的用途： 當(dāng)幾個樣本均數(shù)作比較時，如樣本方差不齊，尤其是當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)之比的比值接近時，必須經(jīng)對數(shù)變換以縮小各方差之間的差別，

8、達到方差齊后才能進行t檢驗或方差分析。 適用于呈對數(shù)正態(tài)分布的資料。 在曲線擬合中，對數(shù)變換常常是直線化的重要手段，如指數(shù)曲線、雙曲線、logistic曲線的直線化等。 例3 欲用t檢驗比較某河豐水期和枯水期的河水BOD5（mg/L）含量均數(shù)，資料如表7所示。此數(shù)據(jù)能否直接用t檢驗方法？如不能，試作變量變換。  二者比較接近，可以試用對數(shù)變換。  將X作“l(fā)gX +1”變換后，再作方差齊性檢驗，得F=1.72，P>0.05，兩組方差齊，可以用變換值作兩樣本均數(shù)比較的t檢驗。  2.平方根變換 以原數(shù)據(jù)的平方根作為統(tǒng)計分析的變量值，稱為平方根變換。 

9、 平方根變換的形式：   百分數(shù)的概率單位變換：主要用于S形或反S形曲線的直線化、正態(tài)性檢驗，尤其適用于劑量反應(yīng)曲線的直線化。 百分數(shù)的logit變換：主要用于S形或反S形曲線的直線化。 反雙曲正切變換：用于兩直線相關(guān)系數(shù)的比較與合并。  4. 兩因素方差分析（雙因素多個樣本均數(shù)的比較） 將試驗對象按性質(zhì)相同或相近者組成配伍組，每個配伍組有三個或三個以上試驗對象，然后隨機分配到各個處理組。這樣，分析數(shù)據(jù)時將同時考慮兩個因素的影響，試驗效率較高。  例5 某市為了研究一日中不同時點以及不同區(qū)域大氣中氮氧化物含量的變化情況，該市環(huán)保所于某年1月1519日，在

10、市區(qū)選擇了7個采樣點，對大氣中氮氧化物的含量進行測定。表9為各個采樣點每個時點五天的平均含量，試分析不同時點、不同區(qū)域氮氧化物含量之間有無顯著性差異。   5. 多因素方差分析（多因素多個樣本均數(shù)的比較） 在環(huán)境科學(xué)研究中，所研究的事物或現(xiàn)象往往是比較復(fù)雜的多因素問題，而各種因素本身尚有程度的差別，其間往往又存在交互作用。當(dāng)研究的因素在三個或三個以上時，可以用正交試驗法。 正交試驗是一種高效、快速的多因素試驗方法。正交試驗的設(shè)計與分析見另外章節(jié)。 “多因素多個樣本均數(shù)的比較”不僅可以用于正交試驗，也可以用于拉丁方試驗分析與析因試驗分析等。  6 多個樣本均數(shù)間的兩兩比較（多重比較） 經(jīng)方差分析后，如果各總體均數(shù)有顯著性差異時，常需進一步確定哪兩個總體均數(shù)間有顯著性差異，哪兩個之間無顯著性差異。因此，可以利用方差分析提供的信息作樣本均數(shù)間的兩兩比較。  以例5為例：（每組樣本含量相等）經(jīng)方差分析后，認為不同時點以及不同區(qū)域的氮氧