復(fù)變函數(shù)積分方法總結(jié)

1、復(fù)變函數(shù)積分方法總結(jié)鍵入文檔副標(biāo)題acer選取日期 復(fù)變函數(shù)積分方法總結(jié) 數(shù)學(xué)本就靈活多變，各類函數(shù)的排列組合會(huì)衍生多式多樣的函數(shù)新形勢，同時(shí)也具有本來原函數(shù)的性質(zhì)，也會(huì)有多類型的可積函數(shù)類型，也就會(huì)有相應(yīng)的積分函數(shù)求解方法。就復(fù)變函數(shù)： z=x+iy i²=-1 ，x,y分別稱為z的實(shí)部和虛部，記作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z= 稱為主值 - ，Arg=argz+2k 。利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系式x=rcos ，y=rsin,故z= rcos+i rsin；利用歐拉公式ei=cos+isin。z=rei。1.定義法求積分： 定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi)，

2、C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為A=z0 ，z1，zk-1，zk，zn=B，在每個(gè)弧段zk-1 zk(k=1,2n)上任取一點(diǎn)xk并作和式Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)= k-1nf(xk)zk記zk= zk- zk-1，弧段zk-1 zk的長度 =max1knSk(k=1,2,n),當(dāng) 0時(shí)，不論對(duì)c的分發(fā)即xk的取法如何，Sn有唯一的極限，則稱該極限值為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分為： cf(z)dz=lim 0k-1nf(xk)zk設(shè)C負(fù)方向(即B到A的積分記作) c-f(z)dz.當(dāng)C為閉曲線時(shí)，f(z)的積分記作cf(z)

3、dz (C圓周正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向)例題：計(jì)算積分1)cdz 2) c2zdz,其中C表示a到b的任一曲線。（1） 解：當(dāng)C為閉合曲線時(shí)，cdz=0. f(z)=1 Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)=b-a limn 0 Sn=b-a,即1)cdz=b-a. (2)當(dāng)C為閉曲線時(shí)，cdz=0. f(z)=2z;沿C連續(xù)，則積分czdz存在，設(shè)xk=zk-1,則 1= k-1nZ（k-1）(zk-zk-1)有可設(shè)xk=zk，則 2= k-1nZ（k-1）(zk-zk-1)因?yàn)镾n的極限存在，且應(yīng)與1及2極限相等。所以 Sn= (1+2)= k-1nzk(zk2-zk-12)=b2-a2

4、c2zdz=b2-a21.2 定義衍生1：參數(shù)法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy帶入cf(z)dz得： cf(z)dz= cudx - vdy + icvdx + udy再設(shè)z(t)=x(t)+iy(t) (t) cf(z)dz=f(z(t)z(t)dt參數(shù)方程書寫：z=z0+(z1-z0)t（0t1）；z=z0+rei，(02)例題1： 03+iz2dz 積分路線是原點(diǎn)到3+i的直線段解：參數(shù)方程 z=（3+i）t 03+iz2dz=01(3+i)t2(3+i)t'dt =(3+i)301t2dt =6+263i例題2： 沿曲線y=x2計(jì)算01+i（x2+iy

5、）dz解： 參數(shù)方程 x=ty=t2 或z=t+it2 (0t1)01+ix2+iydz=01（t2+it2）(1+2it)dt =(1+i)01t2dtdt + 2i01t3dt =-16+56i1.3定義衍生2 重要積分結(jié)果：z=z0+ rei ，(02)由參數(shù)法可得：cdz(z-z0)n+1=02ireiei（n+1）rn+1d=irn01+ie-indcdz(z-z0)n+1=2i n=00 n0 例題1：z=1dzz-2 例題2：z=1dzz-12 解： =0 解 =2i 2.柯西積分定理法： 2.1 柯西-古薩特定理：若f(z)dz在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)B內(nèi)的任意一條封閉曲線有

6、： cf(z)dz=02.2定理2：當(dāng)f為單連通B內(nèi)的解析函數(shù)是積分與路線無關(guān)，僅由積分路線的起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1來確定。2.3閉路復(fù)合定理：設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C與C1是D內(nèi)兩條正向簡單閉曲線，C1在C的內(nèi)部，且以復(fù)合閉路=C+C1所圍成的多連通區(qū)域G全含于D則有：f(z)dz=cf(z)dz+c1f(z)dz=0即cf(z)dz=c1f(z)dz推論： cf(z)dz=k=1nckf(z)dz例題：c2z-1z2-zdz C為包含0和1的正向簡單曲線。解： 被積函數(shù)奇點(diǎn)z=0和z=1.在C內(nèi)互不相交，互不包含的正向曲線c1和c2。c2z-1z2-zdz=c12z-1z(1-z

7、)dz+c22z-1z(1-z)dz =c11z-1+1zdz+c21z-1+1zdz =c11z-1dz+c11zdz+c21z-1dz+c21zdz =0+2i+2i+0 =4i2.4原函數(shù)法(牛頓-萊布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函數(shù)在單連通域B內(nèi)沿簡單曲線C的積分只與起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1有關(guān)，即 cf(x)dx = z0z1f(x)dx 這里的z1和z0積分的上下限。當(dāng)下限z0固定，讓上限z1在B內(nèi)變動(dòng)，則積分z0z1f(x)dx在B內(nèi)確定了一個(gè)單值函數(shù)F(z),即F(z)= z0z1f(x)dx 所以有 若f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則函數(shù)F(z)必為B內(nèi)的解析函數(shù)，且F(z)

8、=f(z).根據(jù)定理2.2和2.4可得z0z1f(z)dz= F(z1) - F(z0).例題：求01zcoszdz解： 函數(shù)zcosz在全平面內(nèi)解析 01zcoszdz=zsinz|0i-01sinzdz = isin i+cosz|0i=isin i+cos i-1 =ie-1-12i+e-1+12i-1=e-1-1此方法計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分和計(jì)算微積分學(xué)中類似的方法，但是要注意復(fù)變適合此方法的條件。2.5柯西積分公式法：設(shè)B為以單連通區(qū)域，z0位B中一點(diǎn)，如f(z)在B內(nèi)解析，則函數(shù)f(z)z-z0在z0不解析，所以在B內(nèi)沿圍繞z0的閉曲線C的積分cf(z)z-z0dz一般不為零。 取z0

9、位中心，以>0為半徑的正向圓周z-z0=位積分曲線c，由于f(z)的連續(xù)性，所以cf(z)z-z0dz=cf(z)z-z0dz=2if(z0)2.5.1定理：若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任何一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，z0為C內(nèi)的任一點(diǎn)，有： f(z0)=12if(z)z-z0dz例題：1）z=2sin zzdz 2）z=2z(9-z2)(z+i)dz 解：=2 isin z|z=0=0 解： =z=2z9-z2z-(-i)dz =2iz9-z2|z=-i=52.6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)： 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為 f(n)(z0)=n!2if(z)(z-

10、z0)n+1dz(n=1,2)其中C為f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任一條正向簡單閉曲線，而它的內(nèi)部全含于D.例題：cezz5dz C:Z=1 解：由高階導(dǎo)數(shù)的柯西積分公式： 原式=2i14!(ez)(4)|z=2 =i123.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)： 定義：（1）調(diào)和函數(shù)：如果二元實(shí)函數(shù)(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)函數(shù)，且滿足拉普拉斯方程：2x2+2y2=0，則稱(x,y)為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。若f(z)=u+iv為解析函數(shù)，則u和v都是調(diào)和函數(shù)，反之不一定正確（2）共軛調(diào)和函數(shù):u(x，y)為區(qū)域內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)，我們把是 u+iv在D內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)v(x,y)稱為u(x,y)

11、的共軛調(diào)和函數(shù)。若v是u的共軛調(diào)和函數(shù)，則-u是v的共軛調(diào)和函數(shù)關(guān)系：任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，它的實(shí)部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)；且虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)。3.1求解方法：（1）偏積分法：若已知實(shí)部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏導(dǎo)數(shù)ux=vy，兩邊對(duì)y積分得v=uxdy+g(x).再由uy=-vx又得xvxdy+g(x)=- u y 從而g(x)=-uy-xuxdydx + C v=uxdy + -uy-xuxdydx + C同理可由v(x,y)求u(x,y).3.2不定積分法：因?yàn)閒(z)=Ux+i Vx= Ux-iUy= Vy+iVX所以f(z)=Uzdz+c f(z)=V

12、zdz+c3.3線積分法：若已知實(shí)部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=vxdx+vydy=-uydx+uxdy 故虛部為v=（x0，y0，）（x，y）-uydx+uxdy+C該積分與路徑無關(guān)，可自選路徑，同理已知v(x,y)也可求u(x,y). 例題：設(shè)u=x2-y2+xy為調(diào)和函數(shù)，試求其共軛函數(shù)v(x,y)級(jí)解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 解：利用C-R條件 ux=2x+y uy=-2y+x 2ux2=2 2uy2=-2所以滿足拉普拉斯方程，有vx=-uy=2y-x vy=ux=2x+y所以v=(2y-x)dx+(y)=2xy- x22 +(y)vy=2x+(y)

13、=2x+y(y)=y (y)=y22+cv(x,y)=2xy- x22+y22+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=12(2-i)z2+iC4.留數(shù)求積分：留數(shù)定義：設(shè)z0為函數(shù)f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，即f(z)在去心鄰域、0<z-z0< ,我們把f(z)在z0處的洛朗展開式中負(fù)一次冪項(xiàng)系數(shù)c-1稱為f(z)在z0處的留數(shù)，記為Resf(z),z0即Resf(z),z0=c-1或者Resf(z),z0=12icfzdz C為0<z-z0<4.1留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1z2zn, cfzdz =2ik=1nResfz,zk 其中zk表示

14、函數(shù)fz的孤立奇點(diǎn)4.2孤立奇點(diǎn)：定義：如果函數(shù)fz在z0不解析，但在z0某個(gè)去心鄰域0<z-z0<內(nèi)解析，則稱z0為fz的孤立奇點(diǎn)。 例如1z、e1z都是以z=0為孤立奇點(diǎn)函數(shù)1z+1（z+2）以z=-1、z=2為孤立奇點(diǎn).在孤立奇點(diǎn)z=z0的去心鄰域內(nèi)，函數(shù)fz可展開為洛朗級(jí)數(shù) fz=n=-cn（z-z0）n洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)是否存在，若存在是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng)，這對(duì)f(z)在z0處的奇異性將起著決定性的作用。討論孤立奇點(diǎn)z0的類型：4.2.1可去奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式中不含負(fù)冪項(xiàng)，即對(duì)一切n<0有cn=0，則稱z0是f(z)的可去奇點(diǎn) 因

15、為沒有負(fù)冪項(xiàng)，即c-n=0,(n=1,2.)故c-1=0。遇到函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)類型是可去奇點(diǎn) ，一般對(duì)函數(shù)fz求積分一般為零 cfzdz =2ik=1nResfz,zk=0。判斷可去奇點(diǎn)方法：函數(shù)fz在某個(gè)去心鄰域0<z-z0<內(nèi)解析，則z0是fz的可去奇點(diǎn)的充要條件是存在極限limzz0f（z）=c0，其中c0是一復(fù)常數(shù); 在的假設(shè)下，z0是f(z)可去奇點(diǎn)的充要條件是：存在r，使得f(z)在0<z-z0<r內(nèi)有界4.2.2極點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)展開式中只有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，即有正整數(shù)m，c-m0，而當(dāng)n<-m時(shí)c-n=0則稱z0是

16、f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。其洛朗展開式是：f(z)=c-m（z-z0）m+c-m+1（z-z0）m+1+c-1z-z0+c0+c1(z-z0)n+m+c0(z-z0)n +這里c-m0，于是在 0<z-z0<有f(z)=c-m（z-z0）m+c-m+1（z-z0）m+1+c-1z-z0+c0+c1(z-z0)n+m+c0(z-z0)n +=1z-z0m(z). * (z)一個(gè)在0<z-z0<解析，同時(shí)(z)0，則z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。判斷定理：（1）f(z)在z0的去心鄰域0<z-z0<解析，z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是可以表示成*的形式。（2）z0是

17、f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是limzz0f(z)=.4.2.3本性奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)展開式中只有無限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0是f(z)的本性奇點(diǎn)判斷方法：孤立奇點(diǎn)是本性奇點(diǎn)的充要條件是不存在有限或無窮的極限limzz0f(z)。4.3函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)：準(zhǔn)則一：若z0為一級(jí)極點(diǎn)，則Resf(z),z0= limzz0fz(z-z0)準(zhǔn)則二：做z0為m級(jí)極點(diǎn)，則Resf(z),z0=1(m-1)!limzz0dm-1dzm-1(z-z0)mf(z)準(zhǔn)則三：設(shè)f(z)=P(Z)Q(Z),P(z)以及Q(z)都在z0解析，如果P(z0)=0，Q(z0)0，則z0是f(z

18、)的一級(jí)極點(diǎn)，而且：Resf(z),z0=P(Z0)Q(Z0)4.4無窮遠(yuǎn)處的留數(shù)：定義：擴(kuò)充z平面上設(shè)z=為f(z)上的孤立奇點(diǎn)，即f(z)在R<z<+內(nèi)解析，C為圓環(huán)繞原點(diǎn)z=0的任一條正向簡單閉曲線，則積分值12ic-1fzdz稱為f(z)在z=處的留數(shù)，記作 Resf(z), =12ic-1fzdz如果f(z),在R<z<+內(nèi)的洛朗展開式為 f(z),=n=-cnzn 則有Resf(z), =-c-14.4.1如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)（包括無窮遠(yuǎn)處在內(nèi)）設(shè)為z1，z2，zn，則f(z)在各奇點(diǎn)的留數(shù)總和為零,即 k=1nResf(z)dz+R

19、esf(z), =0;4.4.2 Resf(z), =-Resf(1z) 1z2,0例題：求下列Resf(z), 的值（1）f(z)=ezz2-1 (2)f(z)=1zz+14(z-4)解：（1）在擴(kuò)充復(fù)平面上有奇點(diǎn)：±1， ，而±1為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)且Resf(z),1=limz1(z-1)f(z)=limz1ezz+1=12e Resf(z),-1= limz-1(z-1)f(z)=limz1ezz-1=-12e-1Resf(z), + Resf(z),1 + Resf(z),-1=0得Resf(z), =- Resf(z),1+ Resf(z),-1= 12(e-1+e)=-sh1(2) 由公式Resf(z), =-Resf(1z) 1z2,0，而1z2f(1