對陳陣與反對陳陣的性質(zhì)及推廣

1、數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)論文論文題目：對陳陣與反對陳陣的性質(zhì)及推廣學(xué)生姓名：學(xué) 號：指導(dǎo)教師：專 業(yè)：班 級： 學(xué) 校：一、 選題意義 1、 理論意義： 對稱矩陣是二次型和合同概念的基礎(chǔ),是歐式空間的需要。只有在對稱矩陣的基礎(chǔ)上歐式空間才有意義.這就直接涉及到他的應(yīng)用了。理論上,實變函數(shù)和勒貝格積分都要與長度這個概念產(chǎn)生關(guān)系那里邊叫測度,就是與歐式空間有關(guān)系.泛函分析要研究泛函的賦范空間也要與長度產(chǎn)生關(guān)系.因此由于歐式空間的應(yīng)用廣泛,導(dǎo)致了對稱函數(shù)的研究的必要。2、 現(xiàn)實意義：實際應(yīng)用方面，對數(shù)值分析或是最優(yōu)化理論那種給方程尋找近似解或是對空間中的離散點進(jìn)行曲線擬合。都會導(dǎo)

2、致基底不是自然基底,所以要研究歐式空間在一般基底下的表示(就是二次型)所具有的性質(zhì),二次型建立在對稱矩陣的基礎(chǔ)之上的,所以對稱矩陣的性質(zhì)應(yīng)用是十分廣泛。反對稱矩陣,是對二次型的又一個推廣，最常用的性質(zhì)就是x'Ax=0。二、 論文綜述 1、 理論的淵源及演進(jìn)過程 元素以對角線為對稱軸對應(yīng)相等的矩陣。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來，克萊(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯(H.Taber)引入

3、矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。弗羅伯紐斯(G.Frobenius,1849- 1917) 的貢獻(xiàn)是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。 1854 年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題。 1892 年，梅茨勒 (H.Metzler) 引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是

4、適用方程發(fā)展的需要而開始的。矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨立的一門數(shù)學(xué)分支矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個領(lǐng)域。 2、 國外有關(guān)研究的綜述：自從后布克海姆等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)后，大量的國外數(shù)學(xué)家又完善了對稱陣與反對稱陣的性質(zhì)，并應(yīng)用它們的性質(zhì)解決了很多難題3、 國內(nèi)研究的綜述 ：近十年來，關(guān)于對陳陣與反對稱理解研究越來越多，目前國內(nèi)在對陳陣與反對稱的研究也比較多，有許多專家學(xué)者在這一領(lǐng)域做了大量工作。如我國學(xué)者趙永華在對稱矩陣三對角化的

5、有效并行塊算法方面就有很高的成就；劉曉冀老師在研究反對稱矩陣及其平方矩陣的偏序上對反對稱矩陣的發(fā)展作出了貢獻(xiàn)。4、 本人對以上綜述的評價：在高等代數(shù)中矩陣是研究問題的重要工具，對稱矩陣與反對稱矩陣作為特殊矩陣無論在理論方面，還是在實際應(yīng)用方面都有很重要的意義在研究矩陣及學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識時，經(jīng)常要討論這兩種特殊矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用任何一個矩陣都可以唯一地分解成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和對稱矩陣與反對稱矩陣既有類似的性質(zhì)，也有各自特有的性質(zhì)和應(yīng)用三、 論文提綱前言 （一）對稱矩陣1、對稱矩陣的定義2、對稱矩陣的性質(zhì)及證明（二）反對稱矩陣1、反對稱矩陣的定義2、反對稱矩陣的性質(zhì)及證明（三）對稱陣的

6、應(yīng)用1、對稱陣的對角化2、對稱陣的正定性（四）反對稱陣的應(yīng)用1、反對稱陣的秩2、反對稱陣的特征值(五) 對稱陣與反對稱陣的推廣對稱矩陣與反對稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)形結(jié)論 ：四、預(yù)期的結(jié)果對稱陣與反對稱陣是高等代數(shù)的重要內(nèi)容。從對稱陣與反對稱陣的定義出發(fā)，對對稱陣與反對稱陣的性質(zhì)進(jìn)行歸納與總結(jié)，并對對稱陣與反對稱陣的性質(zhì)進(jìn)行深入推廣，從而提高了對對稱陣與反對稱陣的整體認(rèn)識，加深對高等代數(shù)內(nèi)容的理解，進(jìn)而拓展了分析能力及思維能力。五、參考文獻(xiàn)1 白迷偉. 高等代數(shù)選講M. 哈爾濱:黑龍江教育出版社,2000. 2 劉玉森,蘇仲陽. 高等代數(shù)應(yīng)試訓(xùn)練M . 北京:地質(zhì)出版社,1995. 3 樊惲,錢吉林,

7、岑嘉評,等. 代數(shù)學(xué)辭典M . 武漢:華中師范大學(xué)出版社,1994. 4 張禾瑞,郝炳新. 高等代數(shù)M. 北京:高等教育出版社,1988. 5 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等代數(shù)M. 北京:高等教育出版社,1988. 6 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等代數(shù)M. 北京:高等教育出版社,20037戴立輝.線性代數(shù)M. 上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,20078張禾瑞, 郝鈵心. 高等代數(shù)M. 北京:高等教育出版社,20079蔣爾雄,對稱矩陣計算M. 上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 198410 陳公寧,矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用M. 北京:科學(xué)出版社,200711許以超,線性代數(shù)與矩陣論M. 北京:高等教育出版社, 2008六、論文寫作進(jìn)度安排 1,2012 年 11 月 5 日2012 年 11 月 9 日選定論文題目并與指導(dǎo)老師見面。 2,2012 年 11 月 9 日2012 年 12 月 22 日查閱文獻(xiàn)，資料，初步論證。 3,2012 年 12 月 23 日提交畢業(yè)論文開題報告 4,2012 年 12 月 24 日2013 年 2 月 15 日研究所查的文獻(xiàn)，資料 5,2013 年 2 月 16 日2013 年 3 月 30 日進(jìn)行調(diào)研，采集數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)分析處理，形成畢業(yè)論文初稿。 6,2013 年 4 月 1 日2013 年