三線合一性質的逆定理

1、For pers onal use only in study and research; not for commercial use一、等腰三角形的“三線合一”性質的逆定理“三線合一”性質：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的咼互相重合。逆定理： 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么 這個三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個 三角形是等腰三角形。簡言之：三角形中任意兩線合一，必能推導出它是一個等腰三角形。證明：已知："ABC中，AD是/

2、BAC的角平分線， AD是BC邊上的中線，求證："ABC是等腰三角形。分析：要證等腰三角形就是要證AB=AC，直接通過證明這兩條線所在的三角形全等不行， 那就換種思路，在有中點的幾何證明題中常用的添輔助|> II線的方法是“延長加倍”，即延長AD到E點，使AD=ED， 由此問題就解決了。證明：延長 AD到E點，使AD=ED，連接CE在"ABD和"ECD中AD=DE丄 ADB= / EDCBD=CD" ABD 6 ECD AB=CE, / BAD= / CED AD是/ BAC的角平分線/ BAD= / CAD/ CED= / CAD AC=CE A

3、B=AC" ABC是等腰三角形。三個逆定理中以逆定理在幾何證明的應用中尤為突出。證明：已知："ABC中，AD是/ BAC的角平分線，AD是 BC邊上的高，求證："ABC是等腰三角形。分析：通過（ASA ）的方法來證明"ABD和"ACD的全等，由 此推出AB=AC得出"ABC是等腰三角形證明：已知："ABC中，AD是BC邊上的中線，又是 BC邊 上的高，求證："ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，用（SAS ）的方法來'證明"ABD和"ACD的全等，由此推出 AB=AC

4、 得出"ABC是等腰三角形。（即垂直平分線的定理）二、“三線合一”的逆定理在輔助線教學中的應用(1) 逆定理的簡單應用例題1已知：如圖，在"ABC中，AD平分/ BAC , CD丄AD,D 為垂足，AB>AC。求證：/ 2=7 1 + / B分析：由“ AD平分/ BAC , CD丄AD”推出AD所在的 三角形是等腰三角形，所以延長CD交AB于點E,由逆定理得出"AEC是等腰三角形由此就可得出7 2= 7 AEC，又/ AEC= 7 1 + 7 B ,所以結論得證。(2) 逆定理與中位線綜合應用 例題1 已知： 如圖，在"ABC中，AD平分7 BA

5、C，交BC于點D，過點C作AD的垂線，交 AD 的延長線于點E, F為BC的中點，連結EF。求證：EF / AB ,EF=(AC-AB)分析：由已知可知，線段 AE既是7 BAC的角平分 線又是EC邊上的高，就想到把 AE所在的等腰三角形構造 出來，因而就可添輔助線"分別延長CE、AB交于點G”。簡單證明：由逆定理得出" AGC是等腰三角形，點E是GC的中點 EF是"BGC的中位線得證。例題2如圖，已知：在" ABC中，BD、CE分別平分7 ABC,7 ACB,AG 丄 BD 于 G, AF 丄 CE 于 F, AB=14cm,AC=9cm,BC=18c

6、m. 求： FG的長。分析：通過已知條件可以知道線段CF和BG滿足逆定理的條件，因此就想到了分別延長AG、AF來構造等腰三角形。簡單證明：分別延長 AG、AF交BC于點K、H由逆定理得出"ABK是等腰三角形點G是AK的中點同理可得點F是AH的中點 FG是"AHK的中位線由此就可解出FG的長。(3) 逆定理與直角三角形的綜合應用 例題1已知，如圖，AD為Rt"ABC斜邊BC上的高，7 ABD的平分線交 AD于M，交AC于P, 7 CAD的平分線交 BP于Q。求證："QAD是等腰三角形。DM分析：由直角三角形的性質可知道7 AQM=90由此線段BQ滿足了逆定

7、理2的條件，所以 想到延長AQ交BC于點N。簡單證明：由添輔助線得出"ABN是等腰三角形 Q點是AN的中點在Rt" AND中，Q是中點0 QA=DQ, 得證。例題2如圖，在等腰"ABC中，/ C=90°，如果點B到/ A的平分線AD的距離為5cm,求AD的 長。分析：已知條件滿足了逆定理2,所以延長 BE和AC,交于點F。簡單證明：由所添輔助線可知"ABF是等腰三角形 E點是BF的中點 BF=2BE=10再由"ADC和"BFC的全等 得出AD=BF結論求出。對已知條件的合理剖析，找出關鍵語 句，滿足定理條件，添加適當的輔助

8、線來構造等腰三角形，以達到解決問 題的目的。（4）逆定理的簡單應用 （即垂直平 分線的應用）例題1（2006年寶山區(qū)中考模擬題） 如圖，已知二次函數 y=ax2+bx的圖像 開口向下，與x軸的一個交點為 B，頂點A在直線y=x上，O為坐標原點。證明："AOB是等腰直角三角形分析：由拋物線的對稱性可添輔助線-過點A作AD丄x軸，垂足為D及直線y=x的性質, 可以知道"AOB是等腰直角三角形。例題2如圖，以"ABC的邊AB , AC為邊分別向形外作正方形ABDE和ACFG ,求證：若 DF / BC,貝U AB=AC分析：從已知條件出發(fā)想到了正方形的性質：邊，角以及對

9、角線：邊的相等，角的 相等并都等于90度，現要證明等腰三 角形，能與其最密切的想到是否也能構 造直角呢？于是就想到了添輔線AH 簡單證明：分別過點 A、D、F作AH丄BC , DI丄BC,FJ丄BC,分別交BC于點H , CB的延長線于I, BC的延長線于J由 DF / BC , DI=FJ又 "AHC 也"CJF (AAS ) , " ABH 也"BDI(AAS) HC=FJ,BH=DI BH=HC,得證。抓住已知條件和結論的聯系，(例題1中拋物線的對稱性和等腰三角形的垂直平分線之間的內在聯系，例題2中正方形中直角的信息獲得與等腰三角形的垂線間的間接聯

10、系，)通過獲取的信息以及對等腰三角形“三線合一”性質的逆定理的熟練把握，再進行對題目的重新整 合，就能快速做出解題的策略，添加相應的輔助線，對于解題有很大的幫助。(5) 逆定理在作圖中的應用已知：線段 m,/ a及/ 3,求作"ABC，使/ ABC= Z a, Z ACB= / 且 AB+BC+CA=m分析：對于作圖題，一般先在草稿紙上畫出要求作圖形的草圖，再把相應的已知條件在圖上標出，通過對草圖的解剖與分析再把圖用尺規(guī)規(guī)范的做出。通過草圖的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三邊的和為 m以及外角的性質我們可以找到一頂點 A，再由垂直平分線與邊的交 點找到另兩個頂點B和Co作法：1

11、、畫射線OP，在0P上截取線段 OQ=m,2、畫射線 0M，使Z MOP=1/2 / a3、畫射線 QN，使Z NQO=1/2 Z 3交射線0M于點A4、分別作AO、AQ的垂直平分線，交 OQ于B, C兩點，"ABC就是所求三角形。等腰三角形“三線合一”性質的逆命題在輔助線教學中的 應用不但可以強化 學生解題的能力，而且加強了相關知識點和不同知識領域的聯系，為學生開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數學思想，它是解決問題的本質，在教學中教師要及時融入沒、，這樣才有助于學生拓寬思路， 豐富聯想，從而達到融會貫通的目的。僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途

12、For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to員bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 員 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 貝 ex.以下無正文僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r StudiencFong, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.P