阿基米德和他的窮竭法指數(shù)和對數(shù)

1、數(shù)學(xué)名題欣賞學(xué)習(xí)要求1. 用U盤復(fù)制電子講稿.2. 課后認(rèn)真閱讀講稿.3. 適當(dāng)安排若干次課堂獨(dú)立作業(yè). 做課堂作業(yè)時(shí), 允許參考本講稿, 可以摘錄講稿內(nèi)容.考核要求1. 期末總評成績 = 期中考試成績×50% + 期末考試成績×50%.2. 期中考試、期末考試和課堂獨(dú)立作業(yè)中沒有任何計(jì)算題和證明題，也沒有填空題和選擇題, 題型均為問答題.第1講1 . 阿基米德和他的窮竭法上小學(xué)的時(shí)候，數(shù)學(xué)老師硬是讓我們死記圓的面積是, 是圓的半徑. 數(shù)學(xué)是一門講道理的學(xué)問，但那個年紀(jì)學(xué)數(shù)學(xué)，不少知識都是老師向我們腦袋里灌進(jìn)去的結(jié)論，不便言證. 事實(shí)上，像圓這種曲線圍成的面積的求得, 只有

2、等長到二十來歲學(xué)習(xí)微積分時(shí)才能徹底搞明白其中的道理. 阿基米德被數(shù)學(xué)界尊為“數(shù)學(xué)之神”，他也不知積分是何物，但他卻能另施妙計(jì)，嚴(yán)格證明公式是成立的. 他的證明并未引用高等數(shù)學(xué)的知識.阿基米德說：“圓的面積是圓周長與其半徑之積的一半, 即.” 設(shè)是以圓周長和半徑為兩條直角邊的一個直角三角形的面積. 若, 設(shè)圓內(nèi)接正邊形的邊長為, 邊心距為，周長為，則內(nèi)接正邊形的面積，即. 但當(dāng)足夠大時(shí), 無限逼近, 總有一個時(shí)刻, , 矛盾. 若, 設(shè)圓外切正邊形的邊長為, 周長為，則外切正邊形的面積, 即. 但當(dāng)足夠大時(shí), 無限逼近, 總有一個時(shí)刻, , 矛盾. 綜上, . 上述證法是阿基米德首創(chuàng)的窮竭法，它

3、實(shí)質(zhì)上是一種無限劃分的極限過程. 他還用這種窮竭法等分圓周份，用正邊形的周長近似圓周長, 求得. 這是人類割圓求的最早記錄.在數(shù)學(xué)中，球的體積是另一個很惹人注意的問題. 在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，老師告訴我們，半徑為的球的體積，但一直到上了大學(xué), 我們才在微積分中用重積分嚴(yán)格地推導(dǎo)了這個公式的正確性. 阿基米德再天才也不知道重積分是何物，但這個問題并沒有難住他. 他用切片的辦法借助杠桿像賣青菜的小商販一樣“稱”出了球的體積. 其辦法如下. 設(shè)有一個圓柱豎直放在水平平面上，底半徑為，高為(等邊圓柱). 此柱有一內(nèi)切球，另有一個底半徑為、頂點(diǎn)在圓柱的上底中心的圓錐，此圓錐底面與圓柱下底共面. 阿基米德用兩

4、兩相距極近的一組水平平面截這三個立體. 他任取離圓錐頂為的那一片，此片厚為. 把球上的那片與錐上的那片掛在支點(diǎn)在中點(diǎn)、全長為的杠桿的左側(cè)“秤鉤”上，把柱上的那片掛在支點(diǎn)右側(cè)距支點(diǎn)為的點(diǎn)處. 由于片很薄，盡管球片和錐片都不是圓柱形薄片，但當(dāng)足夠小時(shí)，它們與以上底為底的柱片相差無幾. 于是, , .設(shè)球、柱、錐的比重均為，則如果把一切碎片都如上地掛在杠桿上，則左端的總力矩的絕對值為. 柱片形成的總力矩的絕對值為. 該值是把柱體的重量集中在其重心而得到的, 注意重心與支點(diǎn)的距離為 (力臂) . 于是,又, , 從而. 我們應(yīng)當(dāng)欣賞這位物理學(xué)和數(shù)學(xué)兩棲的偉大科學(xué)家把力學(xué)與數(shù)學(xué)結(jié)合得如此靈妙，得出了十分

5、難求的球體積公式. 阿基米德的上述方法可不是小聰明，它充分體現(xiàn)了一個大學(xué)問家的思想深度, 其中包含了現(xiàn)代微積分的許多基本理念. 我們在中學(xué)已學(xué)過定積分的定義. 上面講的是公元前三世紀(jì)的陳年老賬. 阿基米德的這種方法, 從數(shù)學(xué)上看, 恰為牛頓、萊布尼茨與柯西等十七世紀(jì)以后的大數(shù)學(xué)家們的定積分思想的始祖，阿基米德搞的正是分割、近似、求和與取極限的積分算法. 萊布尼茨說：“了解阿基米德的人，對后代杰出人物的成就就不再那么欽佩了.”現(xiàn)代數(shù)學(xué)史家M·克萊因直言：“阿基米德作品中的嚴(yán)格性比牛頓與萊布尼茨著作中的高明得多.” 阿基米德自稱：“力學(xué)便于我發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而幾何則幫助我對結(jié)論作出證明. 一旦

6、這種方法確定之后，有些人，或者我們的同代人，或者是我們的后人，將會利用它發(fā)現(xiàn)我尚未想到的定理.”阿基米德的偉大之處在于他把自然科學(xué)研究與數(shù)學(xué)研究融會成一體，一反古希臘其他數(shù)學(xué)家只注重公理、邏輯與抽象理論，而嫌棄應(yīng)用的惡習(xí). 他的上述觀點(diǎn)果真被后人繼承，發(fā)現(xiàn)了阿基米德“尚未想到的定理”. 例如, 牛頓正是從力學(xué)出發(fā)發(fā)現(xiàn)了微積分理論.十九世紀(jì)俄國彼得堡科學(xué)院院士兼應(yīng)用數(shù)學(xué)部主任、俄國數(shù)學(xué)界當(dāng)之無愧的領(lǐng)袖切比雪夫的名言是, “使數(shù)學(xué)家脫離實(shí)際，就好比把母牛關(guān)起來，不讓它接觸公牛.”這就是說, 數(shù)學(xué)只有和實(shí)際相結(jié)合, 才能使數(shù)學(xué)科學(xué)得到發(fā)展, 才能使數(shù)學(xué)理論獲得前進(jìn)的動力和不竭的發(fā)展源泉. 二十世紀(jì)最

7、著名的數(shù)學(xué)家之一，美國的猶太科學(xué)家馮·諾伊曼說：“數(shù)學(xué)的概念來源于經(jīng)驗(yàn). 如果一門數(shù)學(xué)學(xué)科遠(yuǎn)離它的經(jīng)驗(yàn)來源，或者說，如果僅僅是間接地來自現(xiàn)實(shí)性，是由現(xiàn)實(shí)激勵生成的第二代和第三代學(xué)科的話，這是一個最大的危險(xiǎn). 換言之，遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)來源，一直處于抽象的近親交配之中，這種數(shù)學(xué)學(xué)科將有蛻化的危險(xiǎn)”. 馮·諾伊曼在純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)上都有重大貢獻(xiàn)，被稱為“計(jì)算機(jī)之父”，是自動電子計(jì)算機(jī)的首創(chuàng)人，第一顆原子彈的最佳結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)者和大規(guī)模熱核反應(yīng)方案的制定者，美國原子彈曼哈頓計(jì)劃的骨干成員. 他于1955年起被美國總統(tǒng)任命為國家原子能委員會委員和導(dǎo)彈顧問委員會主席. 他作為一個數(shù)學(xué)家在這些最尖端的

8、科學(xué)領(lǐng)域中游刃有余，得益于他善于把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，再提出解決方案.雖然他僅活到53歲，于1957年去世，但他為人類遺留的科學(xué)文獻(xiàn)不但數(shù)量巨大而且水平高超. 人們已經(jīng)出版了馮·諾伊曼文集六大卷. 美國國會圖書館還珍藏著他的8000份創(chuàng)造性文稿待發(fā)表. 在中學(xué)時(shí)代, 馮·諾伊曼是匈牙利奧林匹克數(shù)學(xué)競賽第一名得主， 十八歲已被公認(rèn)為第一流的數(shù)學(xué)家. 他是古希臘阿基米德式的人物. 阿基米德的科學(xué)研究工作是完全按他上面主張的力學(xué)與幾何相輔相成的路線進(jìn)行的，即按經(jīng)驗(yàn)與理論相結(jié)合的路線來進(jìn)行的. 他用窮竭法證明了數(shù)學(xué)史上著名的“定理”:.這里, 牟合方蓋是兩個半徑相等的圓柱垂直相

9、交的公共部分. 他還證明了球面積是其大圓面積的倍，即, 其中是球半徑. 阿基米德用計(jì)算的辦法公斷了“王冠摻假案”已是家喻戶曉，他從中總結(jié)出浮力定律. 他還口出狂言曰：“給我一個支點(diǎn)，我將挪動地球!”此言狂而不妄. 事實(shí)上，由他首創(chuàng)的杠桿原理，只要有支點(diǎn)，有足夠長的杠子，此言從理論上講，是說得過去的. 當(dāng)然, 實(shí)際上找不到這樣的支點(diǎn). 大約在公元前212年，偉大的數(shù)學(xué)之神阿基米德死在羅馬士兵的刀下. 當(dāng)時(shí)阿基米德正在沙盤前研究幾何問題，羅馬侵略軍的一個目不識丁的匪兵闖入，阿基米德哪知大禍臨頭，還向那個士兵說, 請不要弄亂沙盤上的圖. 可恨那士兵手起刀落，一位聞名千古的大科學(xué)家的天才頭顱跌落在血泊

10、之中，給人類科學(xué)事業(yè)造成了巨大損失! 1965年，西西里島興建一幢賓館，挖地基時(shí)發(fā)現(xiàn)了阿基米德的墳?zāi)?，這是世界考古史上的最重大的事件之一，是世界級寶貴的出土文物，阿基米德的墓碑上刻著一個球及其外切圓柱.研究希臘數(shù)學(xué)的權(quán)威希斯說：“阿基米德的每篇著作無一例外地都是數(shù)學(xué)論文的紀(jì)念碑. 解題步驟的循循善誘，命題次序的巧妙安排，嚴(yán)格擯棄敘述的枝蔓和對整體的修飾潤色. 總之，給人的完美印象是如此之深，使讀者油然而生敬畏之情.”2 . 指數(shù)和對數(shù)九章算術(shù)中的第195題曰：“今有蒲 (香蒲) 生一日，長三尺；莞 (音關(guān), 水蔥一類的植物) 生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等?”與此題同類

11、的是九章算術(shù)中的196題：“今有垣 (音元，墻) 厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺；大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢? 各穿幾何?”“日自倍” 即當(dāng)日生長的長度是前一日的倍，“日自半”即當(dāng)日生長的長度是前一日的一半. 于是, 蒲第天生長了尺, 第天生長了尺, 第天生長了尺, , 從而到第天, 蒲的長度. 莞第天生長了尺, 第天生長了尺, 第天生長了尺, , 從而到第天, 莞的長度. 設(shè)到第日, 莞蒲等長, 則. 解得(不合題意, 舍去), .由此可知, 我國數(shù)學(xué)家在漢代已經(jīng)處理過有關(guān)指數(shù)函數(shù)的問題. 但有趣的是, 在那個時(shí)代, 世人尚不知對數(shù)是何物，所以人們是無法求得其精確解的.

12、 九章算術(shù)對此題“答曰：二日十三分日之六”，即日. 這個答數(shù)只是近似解.對于“兩鼠對穿”問題，設(shè)到第日, 兩鼠相逢，則. 解得. 九章算術(shù)對本題“答曰：二日十七分日之二”，即日. 這個答案也只能說是個近似解.“蒲莞等長”和“兩鼠對穿”這兩道題賦予中國古代數(shù)學(xué)家建立指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的大好機(jī)遇. 但他們與之擦肩而過，實(shí)在可惜!對數(shù)是英國數(shù)學(xué)家納皮爾 (Napier,15501617) 于1614年發(fā)明的. 1624年，開普勒引入符號. 十七世紀(jì)中葉，由波蘭傳教士穆尼閣把對數(shù)傳入中國. 由于對數(shù)能節(jié)省計(jì)算時(shí)間，被世人譽(yù)為“使科學(xué)家延長壽命的重大數(shù)學(xué)成就”. 1971年，尼加拉瓜發(fā)行了一套數(shù)學(xué)紀(jì)念郵

13、票, 共十枚，每張郵票上繪制了一個數(shù)學(xué)公式，號稱“世界上十個最重要的公式”，其中之一就是.納皮爾是數(shù)學(xué)家中為數(shù)不多的能工巧匠，他發(fā)明了一種計(jì)算尺，對每個自然數(shù)，做一把尺子. 例如, 號尺如左下圖所示. 如果計(jì)算, 可把號，號，號，號四把尺子拿來依次排列成右下圖. 從第行上“斜加”抄得 (表示),從第行上“斜加”抄得 (表示). 從第行上“斜加”抄得 (表示)，于是得到.由上例可以領(lǐng)教納皮爾的這種尺算法的巧妙和把大數(shù)相乘變成加法的訣竅.九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成果的集大成之作，名題趣題很多. 此書大約于漢代問世. 但究竟是何年何地何人所著，尚無定論. 全書共分九卷，是一本算術(shù)習(xí)題集，故名九章算術(shù).

14、 在中國，“九章”成了數(shù)學(xué)的代名詞. 例如, 北京的“九章書店”是數(shù)學(xué)著作的專賣店，不少大學(xué)設(shè)立“九章獎學(xué)金”等獎項(xiàng). 九章算術(shù)全書共246題，每題皆是已知具體數(shù)據(jù)的問題，絕大部分是應(yīng)用題，不談和一般情形相應(yīng)的抽象問題. 在此書中, 幾乎每題之后附有“答曰”與“術(shù)曰”兩個極簡短的注解，給出答數(shù)和計(jì)算過程(算法). 歷代大數(shù)學(xué)家, 如劉徽、祖沖之、祖暅、楊輝等都曾為九章算術(shù)作過注解. 此書已譯成俄、德、日、英等多種文字, 并在全世界發(fā)行，對世界數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)科學(xué)產(chǎn)生過可觀的積極作用.毋庸諱言，九章算術(shù)也有某些局限性. 秦始皇集權(quán)專制，焚書坑儒，鎮(zhèn)壓崇尚理性思維和邏輯推理的墨家等學(xué)派，窒息了百家爭

15、鳴的春秋學(xué)風(fēng). 漢武帝罷黜百家，獨(dú)尊儒術(shù)，把抽象思維視為不守本分，只允許數(shù)學(xué)弄點(diǎn)有關(guān)農(nóng)耕、徭役、稅收、田畝之類的實(shí)際計(jì)算. 在如此惡劣的秦漢學(xué)術(shù)背景之下成書的九章算術(shù)，難免帶有時(shí)代的烙印. 它很少研究一般性的數(shù)學(xué)理論，只求把具體題目算好，學(xué)有所止，寓理于算. 這種過度謹(jǐn)慎的思想作風(fēng)對數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)新與發(fā)展十分有害. 九章算術(shù)問世后的一千多年間，一些文人學(xué)者把九章算術(shù)無限拔高，盲目崇拜，有的儼然以衛(wèi)道士的面目出現(xiàn), 對后人學(xué)習(xí)九章算術(shù)、周髀算經(jīng)等古典著作之外的西方數(shù)學(xué)口誅筆伐, 斥之為異端邪說. 例如, 十九世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)家梅沖在勾股殘述中, 斥責(zé)人們學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)是“不肯遵守成法，自矜創(chuàng)獲，而反失其故步.”此輩墨守成規(guī)、故步自封的觀點(diǎn)顯然是井底蛙聲.附注 關(guān)于蒲莞等長問題中的高度函數(shù)問題由等比級數(shù)的求和公式, 前已求得蒲在第日后的高度. 這里, 為自然數(shù). 在前面的解法中, 我們實(shí)際上