連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)時域分析課件

1、1Chapter 2 2.1 系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的數(shù)學模型 2.2 LTI系統(tǒng)的響應系統(tǒng)的響應 2.3 LTI系統(tǒng)的沖激響應與階躍響應系統(tǒng)的沖激響應與階躍響應 2.4 卷積卷積2 模型模型1：R、L、C上的上的e (t ) i (t)關系關系(1) 1i te tRe tRi t框圖；流圖：相乘關系框圖；流圖：相乘關系3(2) 11tLpi ti tede tLdi tLe ttpLd4(3) 11tCpe te tidi tCde tCi ttpCd5(4) 求和求和(5) 分支分支 12y tftft 123ftftft6 模型模型2：LTI 連續(xù)時間系統(tǒng)的連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間狀態(tài)空間模

2、型模型 例例1. x1(t)為電感上的電流為電感上的電流，x2(t)為電容上的電壓為電容上的電壓 問題問題：(1) y(t) v(t) ； (2) x1(t)、x2(t) v(t)7 解：列出電壓、電流方程解：列出電壓、電流方程 12312122123122233422030122v ti titx txtiti txtitx titxtitity titiii， ， ， ， ， 、 、 ， 。 回路1電壓回路2電壓回路消去得狀態(tài)方程、輸出方程3電壓電感狀態(tài)電容狀態(tài)輸出電壓8 112212-1-11xtxt=+v t222-xtxt03xt2y t = 0+0v t3xt （）狀態(tài)方程觀測方程

3、輸出方程9 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型的一般形式的一般形式 120 ,rrv tL t tvtv t輸入輸入向量 120 ,mmy tL t tyty t輸出輸出向量 120 ,nnx tL t txtx t 120 ,nnx tL t txtx t狀態(tài)狀態(tài)向量狀態(tài)狀態(tài)向量10 解：解： 222000 , , ,n nn rm nrnmm rABCDL t tL t tL t t，狀態(tài)方程觀測方程x tx tv ty tx tv tv tx ty t 00 tA tAttA tAteeBdCeCeBDtd00 x txvy txv 0tu t：。因果矩陣指數(shù)函數(shù)其中為信號為02A2kAtkk0t

4、=x t v tv t11 = I + At +A t +=A x2!ke!xe狀態(tài)的零輸入響應狀態(tài)的零輸入響應狀態(tài)的零狀態(tài)響應狀態(tài)的零狀態(tài)響應輸出的零輸入響應輸出的零輸入響應輸出的零狀態(tài)響應輸出的零狀態(tài)響應11 11SISOn nn rm nm rABCDrm、，（）。狀態(tài)方程觀測方程 若 則成為單輸入單輸出系統(tǒng)x tx tv ty tx tv t系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：12 狀態(tài)狀態(tài)：能夠完全表征系統(tǒng)：能夠完全表征系統(tǒng)時域時域動力學行為的動力學行為的一組一組最小最小的內(nèi)部變量組。的內(nèi)部變量組。 狀態(tài)的狀態(tài)的維數(shù)維數(shù)dim x (t) = 系統(tǒng)中系統(tǒng)中獨立獨立儲能元件的個數(shù)儲

5、能元件的個數(shù) 狀態(tài)的選擇狀態(tài)的選擇不唯一不唯一 電容串聯(lián)或電感并聯(lián)則不獨立；電容串聯(lián)或電感并聯(lián)則不獨立； 獨立儲能元件個數(shù)：把電壓源斷路、電流源短路，獨立儲能元件個數(shù)：把電壓源斷路、電流源短路，串并聯(lián)仍不能簡化的儲能元件的個數(shù)。串并聯(lián)仍不能簡化的儲能元件的個數(shù)。13前例系統(tǒng)前例系統(tǒng)： 系統(tǒng)狀態(tài)的維數(shù)系統(tǒng)狀態(tài)的維數(shù) dim x (t) = 214 模型模型3：LTI 系統(tǒng)的系統(tǒng)的微分方程微分方程模型模型 有有 n 個獨立儲能元件的單輸入單輸出（個獨立儲能元件的單輸入單輸出（SISO） 系統(tǒng)，列微分方程：系統(tǒng)，列微分方程： ( )(1)(1)(0)110()(1)(1)(0)110( )( ).(

6、 )( )( )( ).( )( )nnnmmmmytayta yta ytb vtbvtbvtb vt(1)11( )(0),.,(0)0,( )?0 ,00 ,0nTnTnv tyyty txxyy：；，： （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ），已知系統(tǒng)在上因果求由系統(tǒng)的狀態(tài)向量 可推得其輸出初值二者是線性關系。00X XY Y15 模型模型4：LTI 系統(tǒng)的系統(tǒng)系統(tǒng)的系統(tǒng)算子算子模型模型 111010111010,.,.( ). ( ).( )( )( )( ) ( )( )( )( )nnnnnmnmnnnmmddppdtdtpapa pay tb pb pbv tD ppapa pa

7、N pb pb pbN py tv tH p v tD pN pD pH p： ，： ：，。，。令則系統(tǒng)的微分方程化為令有稱為算子方程其中為系統(tǒng)算子16 LTI 系統(tǒng)系統(tǒng)方程求解方程求解 1111010111.innmnmnthiiiktk iiipapa pay tb pb pbv tytAeAyAtev ty1：。，：算子方程為完全解 =齊次解+特解齊次解：等號右邊各項均為零的齊次方程的解(1)當有n個不同特征根時待定。(2)當有一個k重根時，它對應的解是特解：將代入右端，選取特解形式，求待定系數(shù)，即可得到特解i pt 。17注注：1. D(p)與與N(p)的公因式不可相消，即不可零極相消

8、的公因式不可相消，即不可零極相消。2.3. 對于不同的物理系統(tǒng)，其輸入對于不同的物理系統(tǒng)，其輸入-輸出方程可能相同輸出方程可能相同。4. 1 pp 。與一般不可交換()0( )1( ) ( )( )=tttH pv tevdev tpp零狀態(tài)：。對進行因式分解，其基本單元為證：兩邊施以算子，即可得證明18 1. 關于關于系統(tǒng)響應系統(tǒng)響應的若干概念的若干概念 1111011011 = 0, 0,0 0,0nnnmmTnTnytayta yta y tb vtbvtb v tyyyy-+-：+討論時間內(nèi)的系統(tǒng)輸出狀態(tài)狀態(tài)或狀態(tài)起始0初狀態(tài)或始一般地0- - 0- 0- (0 )(0 )Y YY Y

9、YYYY- -+ +-+-19 00 0zizsytv tytv tv t u t-：，-： ，-，！ ： ？：-，零輸入響應 由非零起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應零狀態(tài)響應系統(tǒng)儲能由產(chǎn)生的響應Q電容上電壓、電感上電流何時能發(fā)對于零輸入儲能元件的演化是連續(xù)的對于零狀態(tài)當有信號加入時，系統(tǒng)儲能發(fā)生跳了變跳變生+0000000Y YY YYYYYYYYY0關關于于零零輸輸入入與與零零狀狀態(tài)態(tài)的的討討論論20 2. 求解求解零輸入零輸入響應響應 互異特征根互異特征根 （無重根）（無重根） k 重根，該根所對應的響應有重根，該根所對應的響應有k項，參閱教材。項，參閱教材。 ziyt 11110 0 0nnnD

10、p y tytayta yta y t 121 ,nnziiytu t i+(0 )=)t(0iAeY YY Y 21 3. 求解求解零狀態(tài)零狀態(tài)響應響應 1110( )( ) ( )0( )( )( )( )( ) ( )( )( )() ( )( ) ( ) ( ) nzsniittinzsizizsv tv t u tD p y tN p v tN pN pytv tH p v tv tD ppN p eev tytB t，；：齊次解項 特解結論系統(tǒng)響應 項 iti0yAt +et = yyY Y其其中中互互異異 t zsyt22 4. 系統(tǒng)響系統(tǒng)響應應 = 自由響應自由響應 + 強迫響

11、應強迫響應 1()()0( )( )( ) ( )( )( )( ) |ikkntiizizstzizikzikktzszskkzsziAey tytytB tytA eAytA eB tAytyt 帶入，；，；齊次解強迫響應自由響應特解由=代入求得：中的齊次解與構成自由響零輸入響應應零狀態(tài)響應齊次解特解注意+y 0y 000YYYY( ) zskzsyt 。由代入式求得0Y Y23 5. 非零狀態(tài)線性系統(tǒng)非零狀態(tài)線性系統(tǒng) 定義（定義（非零狀態(tài)線性系統(tǒng)非零狀態(tài)線性系統(tǒng)）：）： 對對T，若：，若： 有：有：則稱則稱T為非零狀態(tài)線性系統(tǒng)。為非零狀態(tài)線性系統(tǒng)。 推論：線性系統(tǒng)響應推論：線性系統(tǒng)響應

12、零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 零輸入響應零輸入響應 說明：說明：11112222 (0 )( ) ( )( )(0 )( )( )( )xv tx ty txv tx ty t，11221122(0 )( )(0 )( )( )( )( )( )xv txv tx ty tx ty t，v(t)y(t)Tx(t)rnm 2121,xxtttyyt 0,0,0 xvxv txtv t；nrrn0 0 00非零狀態(tài)線性系統(tǒng)非零狀態(tài)線性系統(tǒng) 零狀態(tài)線性系統(tǒng)零狀態(tài)線性系統(tǒng) + 零輸入線性系統(tǒng)零輸入線性系統(tǒng)24復習提示復習提示： 抽一段不間斷時間（大約抽一段不間斷時間（大約 24 小時），安靜小時），安靜地把教

13、材地把教材 2.32.4 共共10頁詳細研讀兩遍、三頁詳細研讀兩遍、三遍、四遍、遍、四遍、，直到四個例題獨立完成，直到四個例題獨立完成，達到對所涉及的概念完全深入理解的程度。達到對所涉及的概念完全深入理解的程度。 上冊，上冊，pp48-57 例例2-9、2-10可鞏固沖激函數(shù)匹配法求可鞏固沖激函數(shù)匹配法求0+ 訂正訂正 25 沖激響應沖激響應 h(t) ：輸入為單位沖激函數(shù)時的零狀態(tài)：輸入為單位沖激函數(shù)時的零狀態(tài)響應。響應。 階躍響應階躍響應 ：輸入為單位階躍函數(shù)時的零狀態(tài)：輸入為單位階躍函數(shù)時的零狀態(tài)響應。響應。 h tTt( )sy t( )( )sy tTu t 11T ( )T( )T

14、 ( )dppdTTppTpd( )( )stsshu tttttuy ty ttu tyttth t=零狀態(tài)零輸入26 解算子方程求解算子方程求 h(t) ：11100degree degree 0 qqqqqiiinjjzsjN pN pytH p v tv tv tth ttD pD pN pD pqN pH pqpE pD pbD ppppp( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ).( )( )( )( ).( )( ，真分式101 jqiiiintnjjjjhD pptH ptu tptb e( )( )( )()()( ) ，上式中 27 對

15、任意兩個信號對任意兩個信號 ，兩者的卷積運，兩者的卷積運算定義為：算定義為： 性質(zhì)性質(zhì) 代數(shù)性質(zhì)代數(shù)性質(zhì) 拓撲性質(zhì)拓撲性質(zhì) 12( ) ( )f tf t、1212( )( )( )()f tf tff td11( )()()f tg th tLL、，。設 定義：是函數(shù)對可積的集合絕28卷積的性質(zhì)：卷積的性質(zhì)： 代數(shù)性質(zhì)（代數(shù)性質(zhì)（課后可自行推導課后可自行推導）11111- ( )( )( )( )- ( ) ( )( ) ( )( )( )- ( )( )( )( )( )( )( )- ( )( )( )( )( )( )( )- ( )f tg tg tf tf tg th tf tg th tf tg th tf th tg th tf tf t dtf tLf tg tf tg tf t （）（）（）： （）應習慣于這種推倒可交換性可結合性線性定義為的 范數(shù)有( )( )- ( )( )1tf tt dtt dt）， （既非積分，也曼非勒貝格積分黎29 拓撲性質(zhì)（拓撲性質(zhì)（課后可自行推導課后可自行推導）- ( )( )( )( )( ) ( )- ( )( )( ) ( ) ( )( )- ( )( )( ) tttdddf tg tf tg tf tg tdtdtdtfgd