數(shù)學(xué)分析格林公式曲面積分的條件

1、3 格林格林(Green)(Green)公式公式曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)的條件一、區(qū)域連通性的分類一、區(qū)域連通性的分類二、格林公式二、格林公式三、簡單應(yīng)用三、簡單應(yīng)用四、曲線積分與路徑無關(guān)的定義四、曲線積分與路徑無關(guān)的定義一、區(qū)域連通性的分類一、區(qū)域連通性的分類 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域為平面區(qū)域, , 如果如果D內(nèi)任一閉曲線所內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于D, , 則稱則稱D為平面單連通區(qū)為平面單連通區(qū)域域, , 否則稱為復(fù)連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域. .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD 設(shè)空間區(qū)域設(shè)空間區(qū)域G, , 如果如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成內(nèi)任一閉

2、曲面所圍成的區(qū)域全屬于的區(qū)域全屬于G, , 則稱則稱G是空間二維單連通域是空間二維單連通域; ; 如果如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面的曲面, , 則稱則稱G為空間一維單連通區(qū)域為空間一維單連通區(qū)域. .GGG一維單連通一維單連通二維單連通二維單連通一維單連通一維單連通二維不連通二維不連通一維不連通一維不連通二維單連通二維單連通二、格林公式二、格林公式定理定理1 1連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL邊界曲線邊界曲線L L的正向的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時當(dāng)觀察者沿邊界行走時,區(qū)域區(qū)域D總在他的總在他的左邊左邊. .2LD1L2L

3、1LD),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明(1)(1),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 若若區(qū)區(qū)域域D由由按按段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線圍圍成成. .如如圖圖, ,證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D

4、兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個既是分成三個既是 X型又是型又是 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來說為正方向來說為正方向?qū)LLLGD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3) 若區(qū)域不止由一條閉曲若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成線所圍成. .添加直線段添加直線段ABAB, ,CECE. .則則D的邊界曲

5、線由的邊界曲線由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA構(gòu)成構(gòu)成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來說為正方向來說為正方向?qū)LLL便便于于記記憶憶形形式式: LDQdyPdxdxdyQPyx.xyoL1. 1. 簡化曲線積分簡化曲線積分三、簡單應(yīng)用三、簡單應(yīng)用ABDBOABOAL 應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOO

6、Axdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 例例 2 2 計計算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO為為頂頂點點的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2. 2. 簡化二重積分簡化二重積分xyoAB11D則則 2yeyPxQ ,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e則則當(dāng)當(dāng)022 yx時時, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域為為D,解解令令2222,yxxQyxyP ,L(

7、(1 1) ) 當(dāng)當(dāng)D )0, 0(時時, ,(2) 當(dāng)當(dāng)D )0 , 0(時時,1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222:ryxl ,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l(wèi)的的 方方 向向取取逆逆時時針針方方向向).2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20格林公式格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域

8、D的的面面積積 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 3. 計算平面面積計算平面面積曲線曲線AMO由函數(shù)由函數(shù), 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 計計算算拋拋物物線線)0()(2 aaxyx與與x軸軸所所圍圍成成的的面面積積. .解解ONA為為直直線線0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM其中其中L是曲線是曲線| |x|+|+|y|=1|=1圍成的區(qū)域圍成

9、的區(qū)域D的正向邊界。的正向邊界。11- -1- -1LDyxO格林公式的應(yīng)用格林公式的應(yīng)用 （格林公式）（格林公式） 從從 證明了證明了： 練習(xí)練習(xí)1 1 計算積分計算積分 Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(解解 Dxycose(yxyxdd)1cose 222 A DyxyPxQdd LyyxQxyxPd),(d),( Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(練習(xí)練習(xí)2 2求星形線求星形線tytxL33sin,cos ：所界圖形的面積。所界圖形的面積。解解 DyxAdd Lyxd 2064dcoscos12ttt 2024dsincos3t tt83221436522143

10、12 yxODL11- -1- -1重要意義：重要意義： 1.1.它它建立了建立了二重積分二重積分與與曲線積分曲線積分的一種等式關(guān)系的一種等式關(guān)系2.2.它它揭示了揭示了函數(shù)在區(qū)域函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部內(nèi)部與與邊界邊界之間的內(nèi)在聯(lián)系之間的內(nèi)在聯(lián)系4.4.它的應(yīng)用范圍可以它的應(yīng)用范圍可以突破突破右手系的限制，使它的右手系的限制，使它的應(yīng)用應(yīng)用 3.3.從它出發(fā)，可以從它出發(fā)，可以導(dǎo)出導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理中的數(shù)學(xué)物理中的許多重要公式許多重要公式更加廣泛更加廣泛，而這只需要改變邊界的正向定義即可。，而這只需要改變邊界的正向定義即可。 DyxyPxQdd 1LQdyPdx四、曲線積分與路徑無關(guān)的定義四、曲線積分與路徑

11、無關(guān)的定義 2LQdyPdx如果對于區(qū)域如果對于區(qū)域 G 內(nèi)任意指定的兩點內(nèi)任意指定的兩點 A、B 以及以及 G 內(nèi)內(nèi)從點從點 A 到點到點 B 的任意兩條曲線的任意兩條曲線 L1，L2 有有 GyxoBA1L2L 1LQdyPdx 2LQdyPdx. 0 LQdyPdx)(21LLL 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxP

12、yxudd),(d(4) 在 D 內(nèi)每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān). 函數(shù)則以下四個條件等價:在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 說明說明: 積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設(shè)21, LL21ddddLLyQxPyQxP2121LLLLyQxPyQxPyQxPdddddd0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為D 內(nèi)任意任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線, 則(根據(jù)條件(1)BAyQxPddAByQxPdd證明證明 (2) (3)在D內(nèi)取定點),(00yxA因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),

13、(yxuyxxuux則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可證yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一點B( x, y ),與路徑無關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù) 證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得yQxPuddd則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu22所以從而在D內(nèi)每一點都有xQyPxyuxQyxuyP22,證明證明 (4) (1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上因此在D

14、xQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域為證畢yx說明說明:根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),xQyP則2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線添加輔助線;取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑方

15、便的積分路徑;, xQyP 若若 ),(),(1100yxByxAQdyPdxdyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC ),(11yxB ),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或xyoL LQdyPdx 則則CBAC ),(10yxDADDB與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)解解因此，積分與路徑無關(guān)。因此，積分與路徑無關(guān)。.2),( ,),( yxeyxQxeyxPyy 設(shè)設(shè)則則 P，Q 在全平面上有在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且,yeyP .yexQ . xQyP 即即oxy112全平面是單連通域。全平面是單連通域。o

16、xy112取一簡單路徑：取一簡單路徑：L1 + L2.1L2L. 10: , 0 :1 xyL. 20: , 1 :2 yxL Lyydyyxedxxe)2()( 21)2()()2()(LyyLyydyyxedxxedyyxedxxe 20100)21()(dyyedxxey.272 e因此，積分與路徑無關(guān)。因此，積分與路徑無關(guān)。,yeyP .yexQ . xQyP 即即全平面是單連通域。全平面是單連通域。解解因此，積分與路徑無關(guān)。因此，積分與路徑無關(guān)。. xQyP 即即oxy11.),( ,2),( 422yxyxQxyxyxP 設(shè)設(shè)則則 P，Q 在全平面上有連續(xù)的在全平面上有連續(xù)的一階偏

17、導(dǎo)數(shù)，且一階偏導(dǎo)數(shù)，且,2xyP .2xxQ 全平面是單連通域。全平面是單連通域。oxy11 1010422)1()02(dyydxxx .1523 因此，積分與路徑無關(guān)。因此，積分與路徑無關(guān)。. xQyP 即即,2xyP .2xxQ 全平面是單連通域。全平面是單連通域。取一簡單路徑：取一簡單路徑：L1 + L2. 10: , 0 :1 xyL. 10: , 1 :2 yxL1L2L Ldyyxdxxyx)()2(422 21)()2()()2(422422LLdyyxdxxyxdyyxdxxyxxyo) ,(yxB ),(00yxA GdyyxQdxyxPyxuyyxx),(),(),(00

18、0 dxyxPdyyxQyxuxxyy),(),(),( 000 或或CBAC DBAD ),(0yxC ),(0yxD.xQyP 解解,2)(2xyxyyyP .2)(2xyyxxxQ ,),(2xyyxP .),(2yxyxQ 例例7 驗證：在驗證：在 xoy 面內(nèi)，面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個函數(shù)是某個函數(shù)u (x, y) 的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。這里這里且且在整個在整個 xoy 面內(nèi)恒成立。面內(nèi)恒成立。xQyP 即，即，因此，在因此，在 xoy 面內(nèi)，面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個函數(shù)是某個函數(shù)u (x, y) 的全微分。的全微分。dy

19、yxdxxyxuyx 0),(0202 . 0 , 0 00 yx取取.222yx 積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 yA xoL例例9. 計算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(

20、d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域為D , 則1.1.連通區(qū)域的概念連通區(qū)域的概念; ;2.2.二重積分與曲線積分的關(guān)系二重積分與曲線積分的關(guān)系3. 3. 格林公式的應(yīng)用格林公式的應(yīng)用. .格林公式格林公式; ; LDQdyPdxdxdyyPxQ)(五、小結(jié)與與 路路 徑徑 無無 關(guān)關(guān) 的的 四四 個個 等等 價價 命命 題題條條件件 LQdyPdxD與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線 , 0)2(QdyPdxduyxUD ),()3(使內(nèi)存在在xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題 若區(qū)域若區(qū)域 如圖為如圖為復(fù)連通域，試描述格復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中林公式中曲線積分中L的方向。的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考題思考題思考題解答思考題解答oxyABCDEFG由兩部分組成由兩部分組成L外外邊界：邊界：內(nèi)內(nèi)邊界：邊界：BCDABEGFE思考與練習(xí)思考